行列式を一つに決める公理（多重線形性・交代性・正規化）

列について線形で、2 列入れ替えると符号が変わり、単位行列で $1$ になる。この 3 つを満たす関数は、$1$ つしかありません^[1]。

その $1$ つが行列式です。ライプニッツの公式も余因子展開も計算の手順であって、行列式が何かを決めているのはこの 3 条件のほうです。

列ベクトルの関数として見る

$n$ 次正方行列 $A$ の列を ${\mathbf{a}}_1,\dots ,{\mathbf{a}}_n$ とし、行列式を $n$ 変数の関数として書きます。

$$\det A=D({\mathbf{a}}_1,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n)$$

行で考えても同じ議論が通ります。転置しても値が変わらないので、どちらを基準にしてもよい。

多重線形性

$i$ 番目以外の列を固定したとき、$i$ 番目について線形になります^[1]。

$$D(\dots ,\alpha {\mathbf{u}}_i+\beta {\mathbf{v}}_i,\dots )=\alpha D(\dots ,{\mathbf{u}}_i,\dots )+\beta D(\dots ,{\mathbf{v}}_i,\dots )$$

「全体として線形」ではありません。$1$ 列ずつ、他を止めたうえで線形、という意味です。

行列全体を $c$ 倍すると、$n$ 個の列がそれぞれ $c$ 倍されます。$1$ 列ずつ外へ出すので、$c$ が $n$ 回出てくる。

$$\det (cA)=c^n\det A$$

$3$ 次で $c=2$ なら $8$ 倍。$\det (2A)=2\det A$ ではありません。

例：2 次で確かめる

$$A=\left(\begin{array}{cc}a& b\\ c& d\end{array}\right),\det A=ad-bc$$

第 1 列を $t$ 倍します。$a$ と $c$ が $ta$ と $tc$ に変わる。

$$\det \left(\begin{array}{cc}ta& b\\ tc& d\end{array}\right)=tad-btc=t(ad-bc)$$

$t$ が外へ出ました。第 2 列でも同じで、両方を $t$ 倍すれば $t^2$ になります。

交代性

$2$ つの列を入れ替えると、符号が反転します^[1]。

$$D(\dots ,{\mathbf{a}}_i,\dots ,{\mathbf{a}}_j,\dots )=-D(\dots ,{\mathbf{a}}_j,\dots ,{\mathbf{a}}_i,\dots )$$

$2$ 次で見ると分かりやすい。$ad-cb$ の $2$ 列を入れ替えると $cb-ad$ になり、符号だけが変わります。

同じ列があれば $0$

交代性から直ちに出ます。同じ列が $2$ つあるとき、その $2$ 列を入れ替えても行列は変わりません。

一方で交代性から符号が反転する。$\det A=-\det A$ となり、移項して $2\det A=0$ です^[1]。

$$D(\dots ,\mathbf{a},\dots ,\mathbf{a},\dots )=0$$

$1$ 列が $0$ ベクトルのときも $0$ になります。その列を $0$ 倍しても行列は変わらないのに、線形性からは $0$ 倍が出るためです^[1]。

一次従属なら $0$

もっと強いことが言えます。列が一次従属なら、行列式は $0$ です^[1]。

${\mathbf{a}}_1={\alpha }_2{\mathbf{a}}_2+\cdots +{\alpha }_n{\mathbf{a}}_n$ と書けたとします。第 1 列にこれを入れ、線形性で分けます。

$$D({\mathbf{a}}_1,\dots )=\sum _{k\ge 2}{\alpha }_{k}D({\mathbf{a}}_k,{\mathbf{a}}_2,\dots ,{\mathbf{a}}_n)$$

右辺の各項では、${\mathbf{a}}_k$ が第 1 列と第 $k$ 列の $2$ か所に現れます。同じ列が $2$ つあるので、全部 $0$。

逆も成り立ちます。列が一次独立なら $\det A\ne 0$。行列式が正則性の判定になるのは、この同値からです。

正規化

$3$ つ目は、単位行列で $1$ になるという条件です^[1]。

$$D({\mathbf{e}}_1,{\mathbf{e}}_2,\dots ,{\mathbf{e}}_n)=\det I=1$$

これがないと大きさが決まりません。すべての行列に $0$ を返す関数でも、多重線形性と交代性は満たしてしまいます。

$2$ 倍した関数 $2\det$ も同じく満たします。正規化はこの自由度を止め、関数を $1$ つに絞る役をします。

3 条件で $1$ つに決まる

多重線形性、交代性、正規化。この $3$ つを満たす関数 $D$ は、ただ $1$ つしか存在しません^[1,2]。

理由の筋は次のとおりです。各列を標準基底で展開し、多重線形性で開くと、$n^n$ 個の項が並びます。

同じ基底ベクトルが $2$ 回現れる項は、交代性から $0$。生き残るのは、$n$ 個の基底が全部違う位置に現れる項だけです。

そういう項は置換 $\sigma$ に対応し、$n!$ 個あります。並べ替えの符号を交代性から出し、正規化で $D({\mathbf{e}}_1,\dots ,{\mathbf{e}}_n)=1$ を入れると、値が完全に決まる。

$$\det A=\sum _{\sigma }\mathrm{sgn}(\sigma )a_{\sigma (1)1}{a}_{\sigma (2)2}\cdots a_{\sigma (n)n}$$

ライプニッツの公式が出てきました。公式が定義に見えることがありますが、順番はこちらが後です^[2]。

列に他の列の定数倍を足しても変わらない

実際の計算でいちばん使う性質です。$3$ 条件から導けます^[1]。

第 $j$ 列に第 $i$ 列の $c$ 倍を足します。多重線形性で $2$ つに分けます。

$$D(\dots ,{\mathbf{a}}_j+c{\mathbf{a}}_i,\dots )=D(\dots ,{\mathbf{a}}_j,\dots )+cD(\dots ,{\mathbf{a}}_i,\dots )$$

右辺の第 $2$ 項では、${\mathbf{a}}_i$ が第 $i$ 列と第 $j$ 列の $2$ か所にあります。同じ列が $2$ つなので $0$。

値が変わらないので、この操作は自由に使えます。掃き出しで $0$ を増やしても、行列式は動きません。

例：掃き出しで 4 次を計算する

$$A=\left(\begin{array}{cccc}2& 1& 0& 1\\ 1& 2& 1& 0\\ 0& 1& 2& 1\\ 1& 0& 1& 3\end{array}\right)$$

第 $1$ 行と第 $2$ 行を入れ替えます。交代性から符号が $-1$ 倍。

続いて第 $2$ 行から第 $1$ 行の $2$ 倍、第 $4$ 行から第 $1$ 行を引きます。ここは値が変わりません。

$$-\left|\begin{array}{cccc}1& 2& 1& 0\\ 0& -3& -2& 1\\ 0& 1& 2& 1\\ 0& -2& 0& 3\end{array}\right|$$

第 $2$ 行と第 $3$ 行を入れ替えて、符号がもう一度反転して $+1$ に戻ります。

そこから第 $3$ 行に $3$ 倍、第 $4$ 行に $2$ 倍を足すと $(0,0,4,4)$ と $(0,0,4,5)$ が出て、差をとると $(0,0,0,1)$。

対角成分は $1,1,4,1$ なので、積は $4$。入れ替えが $2$ 回で符号は正のまま、$\det A=4$ です。

第 $3$ 行で余因子展開しても $-6+14-4=4$ になり、一致します。

転置しても変わらない

$$\det (A^{\mathsf{T}})=\det A$$

ライプニッツの公式で見ると分かります。置換 $\sigma$ の項と ${\sigma }^{-1}$ の項が対応し、符号は $\mathrm{sgn}(\sigma )=\mathrm{sgn}({\sigma }^{-1})$ で変わりません。

この性質があるので、列について証明した話がそのまま行にも通ります。掃き出しで行を使ってよいのは、これがあるからです。

積の行列式

$$\det (AB)=\det A\cdot \det B$$

証明の筋は多重線形性です。$AB$ の第 $k$ 列は $A$ に $B$ の第 $k$ 列を掛けたもので、$A$ の列の一次結合になっています。

係数を $B$ の成分に持つ形で展開し、同じ列が重なる項を落とすと、ライプニッツの公式と同じ形が現れる。整理すると $\det A$ が外へ出て、残りが $\det B$ になります。

系として $\det (A^{-1})=1/\det A$。$A{A}^{-1}=I$ の両辺の行列式をとるだけです。

幾何で読む

$2$ 次なら、$\det A$ の絶対値は $2$ 本の列が張る平行四辺形の面積です。$3$ 次なら平行六面体の体積になります。

$3$ 条件は、この見方から自然に出てきます。$1$ 辺を $2$ 倍すれば面積も $2$ 倍で、これが線形性。

同じ列が $2$ つなら、平行四辺形がつぶれて面積 $0$。単位正方形の面積が $1$、というのが正規化です^[1]。

符号は向きを表します。列を入れ替えると裏返るので、符号が反転する。

交代性から出る結論も確かめます。

操作と値の関係も見ます。

発展

$3$ 条件は、体が何であっても書けます。実数でも複素数でも、有限体でも同じ形で通ります^[1]。

面積や体積という幾何の言葉は実数の話ですが、条件そのものは足し算と掛け算だけで書かれている。だから議論がそのまま移ります。

ただし交代性の書き方は $1$ 通りではありません。$1+1=0$ になる体では、$\det A=-\det A$ から $\det A=0$ が出ない。そこで「同じ列があれば $0$」のほうを条件に据えます^[3]。実数や複素数なら、どちらでも同じことになります。

さらに一般化すると、交代多重線形形式という対象になります。$n$ 次元空間の上でこの形式は $1$ 次元ぶんしかなく、その事実が「$3$ 条件で $1$ つに決まる」ことの言い換えです^[3]。

外積代数はこの見方を押し進めたもので、行列式は最高次の成分として現れます。

計算の公式は複数あり、場面で使い分けます。決めているのは公式ではなく、$3$ つの条件のほうです。

出典