数万年後まで人間の文明があったら、彼らは望遠レンズで数千万光年離れた文明を観察しているかもしれない。この仮定は「私たちさえも別の...

二次式 $ax^2 + bx + c$ がすべての実数 $x$ に対して正の値をとり続ける、あるいは負の値をとり続ける条件は、二...

二次方程式が重解をもつとき、対応する二次不等式の解は通常のパターンとは異なる書き方になります。放物線が $x$ 軸に「接する」と...

二次不等式を解く手順の中心にあるのは、対応する二次方程式を解くことです。$ax^2 + bx + c > 0$ を解くには、まず...

二次不等式を解いた後、その範囲に含まれる整数の個数を問う問題は入試でもよく出題されます。不等式を解くこと自体は基本通りですが、そ...

「$ax^2 + bx + c < 0$ が解をもたないような定数 $k$ の範囲を求めよ」という問題は、裏を返せば「$ax^2...

「$ax^2 + bx + c > 0$ がすべての実数 $x$ で成り立つような $a$ の範囲を求めよ」のように、不等式が常...

二次不等式では、不等号に等号がつくかどうかで解の書き方が変わります。$<$ と $\leq$、$>$ と $\geq$ の違いは...

$x^2$ の係数が 1 である 2 次式、たとえば $x^2 + 5x + 6$ なら、掛けて 6・足して 5 になる 2 数...

二次不等式を解くとき、因数分解できるケースは比較的わかりやすいですが、判別式 $D < 0$ のケースでは事情が変わります。二次...

因数分解とは、ひとつの式をいくつかの因数の積の形に変換する操作です。展開の逆の操作ともいえます。たとえば $x^2 + 5x +...

数学Ⅲでは指数関数 $e^x$ と対数関数 $\log x$ の微分が登場する。どちらもネイピア数 $e$ と深く結びついており...

数学Ⅱでは多項式についてのみ微分を扱ったが、数学Ⅲでは $e^x$ や $\sin x$、$\log x$ など多様な関数が登場...

数体のデデキントゼータ関数を定義し、オイラー積表示・解析接続・関数等式・類数公式との関係を解説する

デデキント整域における素イデアル分解の一意性を証明し、整数の素因数分解との類似を明確にする

体上の付値と絶対値の概念を定義し、p 進付値やアルキメデス的・非アルキメデス的の区別を解説する

被積分関数が偶関数か奇関数かによって、対称区間 $[-a, a]$ での定積分を簡単に処理できる性質があります。奇関数なら積分値...

1 つの曲線と $x$ 軸にはさまれた面積は定積分で求められますが、2 つの曲線にはさまれた領域の面積も同じ考え方で計算できます...

定積分には、積分区間を途中で分割したり、逆に 2 つの区間を 1 つにまとめたりできる性質があります。この性質は面積の計算で自然...

不定積分には、和・差・定数倍に関する便利な公式があります。これらは微分の線形性とちょうど対応しており、複雑な式の積分を部分ごとに...

Galois 拡大における不分岐素イデアルのフロベニウス元を定義し、その性質と応用を解説する

素イデアルの分解を Galois 群の部分群で捉える枠組みを解説する

群は代数的な対象ですが、適切なグラフを対応させることで幾何学的に「見る」ことができます。Cayley グラフは群の元を頂点、生成...

平面ベクトルの内積は 2 次元の成分で計算しますが、空間ベクトルでは 3 次元に拡張されます。計算の構造は同じで、成分が 1 つ...