連立一次方程式の解の構造 - 同次と非同次

連立一次方程式を行列とベクトルで表すと $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ という形になります。ここで $A$ は $m\times n$ の係数行列、$\mathbf{x}$ は $n$ 次元の未知ベクトル、$\mathbf{b}$ は $m$ 次元の定数ベクトルです。$\mathbf{b}=0$ の場合を同次（斉次）、$\mathbf{b}\ne 0$ の場合を非同次と呼びます。この 2 つの場合で解の構造が異なり、その違いを理解することが線形代数の基本になります。

同次方程式 $A\mathbf{x}=0$

同次方程式は必ず $\mathbf{x}=0$（零ベクトル）を解に持ちます。これを自明な解と呼びます。問題は、自明でない解が存在するかどうかです。

同次方程式の解全体の集合を $W=\{\mathbf{x}\in {\mathbb{R}}^n\mid A\mathbf{x}=0\}$ とすると、$W$ は ${\mathbb{R}}^n$ の部分空間になります。これを $A$ の核（カーネル）あるいは零空間（null space）と呼び、$\ker (A)$ や $\mathrm{Null}(A)$ と書きます。

部分空間であることの確認は次のとおりです。${\mathbf{x}}_1,{\mathbf{x}}_2\in W$ であれば

$$A({\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2)=A{\mathbf{x}}_1+A{\mathbf{x}}_2=0+0=0$$

なので ${\mathbf{x}}_1+{\mathbf{x}}_2\in W$ です。同様に、スカラー $c$ に対して

$$A(c{\mathbf{x}}_1)=cA{\mathbf{x}}_1=c0=0$$

なので $c{\mathbf{x}}_1\in W$ です。和とスカラー倍について閉じているため、$W$ は部分空間です。

同次方程式の解の具体例

次の同次方程式を考えます。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}0\\ 0\end{array}\right)$$

掃き出し法で行簡約化すると

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 0& 0& 0\end{array}\right)$$

となり、方程式は $x_1+2x_2+x_3=0$ の 1 本だけです。$x_2=s$, $x_3=t$ を自由変数とすると $x_1=-2s-t$ であり、解は

$$\mathbf{x}=s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

と表されます。これは 2 つのベクトルで張られる 2 次元部分空間であり、$\mathrm{nullity}(A)=2$ です。$\mathrm{rank}(A)=1$ なので、次元定理 $1+2=3$ が成り立っています。

非同次方程式 $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$

$\mathbf{b}\ne 0$ の場合、解が存在するとは限りません。解が存在するための必要十分条件は、$\mathbf{b}$ が $A$ の列空間（像）に含まれること、すなわち $\mathbf{b}\in \mathrm{Im}(A)$ です。

解が存在する場合、非同次方程式の解全体は部分空間にはなりません。零ベクトルが解ではないからです。では解全体はどのような構造を持つのかというと、次の関係があります。

${\mathbf{x}}_p$ を非同次方程式の 1 つの特殊解（particular solution）とすると、非同次方程式の一般解は

$$\mathbf{x}={\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_h$$

と書けます。ここで ${\mathbf{x}}_h$ は同次方程式 $A\mathbf{x}=0$ の任意の解です。

この事実の証明は簡単です。$\mathbf{x}$ が $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の解であるとき

$$A(\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_p)=A\mathbf{x}-A{\mathbf{x}}_p=\mathbf{b}-\mathbf{b}=0$$

なので $\mathbf{x}-{\mathbf{x}}_p\in \ker (A)$ です。逆に ${\mathbf{x}}_h\in \ker (A)$ であれば

$$A({\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_h)=A{\mathbf{x}}_p+A{\mathbf{x}}_h=\mathbf{b}+0=\mathbf{b}$$

なので ${\mathbf{x}}_p+{\mathbf{x}}_h$ は非同次方程式の解です。

非同次方程式の解の具体例

次の非同次方程式を考えます。

$$\left(\begin{array}{ccc}1& 2& 1\\ 2& 4& 2\end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_1\\ x_2\\ x_3\end{array}\right)=\left(\begin{array}{c}3\\ 6\end{array}\right)$$

係数行列は先ほどと同じなので、掃き出し後は $x_1+2x_2+x_3=3$ です。$x_2=0$, $x_3=0$ とおくと特殊解 ${\mathbf{x}}_p=(3,0,0{)}^T$ が得られます。

同次方程式の一般解は先ほど求めたとおりなので、非同次方程式の一般解は

$$\mathbf{x}=\left(\begin{array}{c}3\\ 0\\ 0\end{array}\right)+s\left(\begin{array}{c}-2\\ 1\\ 0\end{array}\right)+t\left(\begin{array}{c}-1\\ 0\\ 1\end{array}\right)$$

です。これは点 $(3,0,0)$ を通り、$\ker (A)$ と平行な 2 次元アフィン部分空間を表しています。

解の存在と一意性の分類

$A$ が $m\times n$ 行列のとき、$A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ の解は次のように分類されます。

ここで $(A|\mathbf{b})$ は拡大係数行列です。1 行目の条件は $\mathbf{b}\notin \mathrm{Im}(A)$ と同値であり、解が存在しないことを意味します。2 行目は $\ker (A)=\{0\}$ なので特殊解が唯一の解です。3 行目は $\ker (A)$ が非自明（次元 1 以上）なので、特殊解に $\ker (A)$ の元を加えた無限個の解が存在します。

正方行列の場合

$A$ が $n$ 次正方行列の場合、状況がすっきりします。

$\det (A)\ne 0$（$A$ が正則）のとき、$\mathrm{rank}(A)=n$ なので、任意の $\mathbf{b}$ に対して $A\mathbf{x}=\mathbf{b}$ は一意な解 $\mathbf{x}=A^{-1}\mathbf{b}$ を持ちます。同次方程式 $A\mathbf{x}=0$ の解は自明な解のみです。

$\det (A)=0$（$A$ が特異）のとき、$\mathrm{rank}(A)<n$ なので、同次方程式は自明でない解を持ち、非同次方程式は $\mathbf{b}$ によって解なしか無限個の解のどちらかになります。