位数が全部有限でも群は無限になれる（Burnside 問題）

有限個の元で生成され、どの元の位数も有限。それでも群が無限になることがあります^[2]。

Burnside が 1902 年に立てた問いは、そうならないだろう、というものでした^[1]。答えが出るまで 60 年かかり、しかも否定でした。

2 つの問い

Burnside は 1902 年に 2 つの問題を挙げています^[1]。

周期群とは、すべての元の位数が有限な群のことです。ねじれ群ともいいます。

2 番目は、$x^n=e$ がすべての元で成り立つ場合です。ここでの $n$ を指数といいます。

指数が一定なら位数も一定というのは自然な期待でした。有限個の生成元しかなく、各元の位数にも上限がある。それでも無限になれるとは考えにくい。

自由 Burnside 群

問いを群の言葉に直します。階数 $m$ の自由群を $F_m$、すべての $n$ 乗が生成する正規部分群を $F_m^n$ とします^[1]。

$$B(m,n)=F_m/F_m^n$$

これが自由 Burnside 群です。$m$ 個の生成元を持ち、指数が $n$ を割る群のうち、いちばん大きいもの。

だから「指数 $n$ の $m$ 生成群がすべて有限か」は、「$B(m,n)$ が有限か」と同じ問いになります^[1]。

指数 2 なら可換

$n=2$ の場合は数行で片づきます。$x^2=e$ からすべての元が自分自身の逆元です。

$$xy=(xy{)}^{-1}=y^{-1}{x}^{-1}=yx$$

可換になりました。可換で指数 $2$ なら ${\mathbb{F}}_2$ 上のベクトル空間と同じで、$m$ 生成なら次元 $m$。

$$|B(m,2)|=2^m$$

Burnside 自身が 1902 年に示しています^[1]。$B(1,n)$ が位数 $n$ の巡回群になることも同じ論文にあります^[1]。

指数 3、4、6

$n=3$ は 1933 年に Levi と van der Waerden が片づけました^[1]。$B(m,3)$ は有限で、冪零類 $3$ の可解群になります。

$$|B(m,3)|=3^{m+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{2}\right)+\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{m}{3}\right)}$$

$m=2$ なら $3^{2+1+0}=27$、$m=3$ なら $3^{3+3+1}=2187$ です^[1]。

$n=4$ は Sanov が 1940 年に示しました^[1]。位数の値は別問題で、$|B(2,4)|=2^{12}$ を Tobin が 1954 年に決めています^[1]。$|B(3,4)|=2^{69}$^[3]。

$n=6$ は Marshall Hall が 1958 年^[1]。ここで止まりました。

一般の問いは崩れた

1964 年、Golod と Shafarevich が反例を作りました^[1]。有限生成で、すべての元の位数が有限で、しかも無限な群です。

構成は環論を経由します。次数つき代数のヒルベルト級数に関する不等式から、無限次元だが局所冪零な代数を作り、その乗法群から群をとり出す^[2]。

指数は一定になりません。元ごとに位数が有限なだけで、上限がない。だからこの例は 1 番目の問いを否定しますが、2 番目には届きませんでした。

有界の問いも崩れた

4 年後、Novikov と Adian が 2 番目を否定します^[1]。1968 年、奇数 $n\ge 4381$ で $B(m,n)$ が無限だと示しました。

組み合わせ論的な議論の塊で、Novikov の以前の試みを土台にしたものです^[2]。指数が一定の無限な有限生成群として、最初の例になりました^[2]。

境界はその後下がっていきます。Adian が 1975 年に奇数 $n\ge 665$ まで押し下げました^[1]。

偶数を含む形は遅れました。Ivanov が 1994 年に $m\ge 2$、$n\ge 2^{48}$ で、Lysenok が 1996 年に $n\ge 8000$ で示しています^[1]。

制限つきの問い

2 つとも否定されたあと、問いを弱めた形が残りました^[1]。

指数 $n$ の $m$ 生成群のうち、有限なものだけを見る。それらの位数に上限があるか、という問いです。1930 年代に立てられ、1950 年に Magnus が制限つき Burnside 問題と名づけました^[1]。

同じことを、$m$ 生成で指数 $n$ の有限群が同型を除いて有限個しかないか、と書いてもよい。

Kostrikin が 1955 年と 1958 年に、指数が素数の場合を解きました^[1]。Higman が 1956 年に $n=5$ を扱っています^[1]。

同じ 1956 年、Hall と Higman が還元定理を出します^[1]。指数が素数冪の場合さえ解ければ、一般の指数でも従う、という形です。

残った素数冪の場合を Zelmanov が 1989 年に解決しました^[1]。Lie 環の理論を使う議論で、この仕事により 1994 年に Fields 賞を受けています^[1]。

3 つの問いのうち、肯定で終わったのはこれだけです。無限な例を許さない条件を足して初めて、期待どおりの結論が出ました。

別の反例

Golod と Shafarevich、Novikov と Adian のあとに、まったく違う構成が出ています^[2]。

Grigorchuk が作った群は、有限生成の無限なねじれ群で、しかも語の増大度が中間になります^[2]。多項式より速く、指数関数より遅い。そういう群の最初の例でした。

1980 年代には、異様な有限性を持つねじれ群を作る手法が発達します^[2]。Ol’shanskii の Tarski 怪物がその出発点で、その後は双曲群の理論を使うものへ広がりました^[2]。

Golod と Shafarevich の構成は、いったんこうした例に押されます^[2]。ここ数年また使われるようになり、双曲群の道具が効かない問題で結果を出しています^[2]。

残っているところ

$B(2,5)$ が有限かどうかは、いまも分かっていません^[1]。

有限だと示された最大の指数が $6$、無限だと示された最小の指数が $8000$ 前後。あいだの $7$ から $7999$ までは、ほとんど空白のままです。

Kostrikin と Higman は制限つきの問いで $n=5$ を扱えましたが、$B(2,5)$ そのものが有限かどうかは別の問題です^[1]。有限な商に上限があることと、群自体が有限であることは違う。

指数を一定に押さえても、生成元を有限個にしても、群は無限に伸びられる。$x^{665}=e$ という 1 本の関係式が、有限性を保証しないという事実に、90 年ぶんの仕事が詰まっています。

参考文献