可換環の直積と直和分解

可換環の直積は、複数の環を組にして新しい環を作る操作です。逆に、1 つの環がいつ直積に分解できるかという問題は、冪等元の理論と密接に関わっています。

環の直積の定義

可換環 $R_{1}, R_{2}, \dots, R_{n}$ の直積 $R_{1} \times R_{2} \times \dots \times R_{n}$ は、集合としては直積集合であり、演算は成分ごとに定義されます。

$(a_{1}, \dots, a_{n}) + (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} + b_{1}, \dots, a_{n} + b_{n})$

$(a_{1}, \dots, a_{n}) \cdot (b_{1}, \dots, b_{n}) = (a_{1} b_{1}, \dots, a_{n} b_{n})$

単位元は $(1, 1, \dots, 1)$ 、零元は $(0, 0, \dots, 0)$ です。各成分での環の公理がそのまま成り立つので、直積は再び可換環になります。

$n = 2$ の場合で具体的に見てみます。 $R = Z /2 Z \times Z /3 Z$ の元は $(0, 0), (0, 1), (0, 2), (1, 0), (1, 1), (1, 2)$ の 6 個です。中国剰余定理により $R ≅ Z /6 Z$ が成り立ちますが、直積の形で書くと乗法の構造が直接見えるという利点があります。

直積のイデアル構造

直積環 $R = R_{1} \times R_{2}$ のイデアルは、各成分のイデアルの直積として完全に記述できます。

$I$ が $R_{1} \times R_{2}$ のイデアルであるとき、 $I = I_{1} \times I_{2}$ と書けます。ここで $I_{1}$ は $R_{1}$ のイデアル、 $I_{2}$ は $R_{2}$ のイデアルです。

これは直積環の射影 $π_{i} : R_{1} \times R_{2} \to R_{i}$ を使って示せます。 $I_{i} = π_{i} (I)$ とおくと $I \subseteq I_{1} \times I_{2}$ は明らかです。逆の包含は、 $(a, 0) = (a, b) \cdot (1, 0)$ のように冪等元 $(1, 0)$ や $(0, 1)$ を掛けることで、各成分を独立に取り出せることから従います。

直積環には自明でない冪等元が存在し、これがイデアルの分解を可能にする。

したがって、直積環の素イデアルも完全に分類できます。 $R_{1} \times R_{2}$ の素イデアルは、 $p_{1} \times R_{2}$ （ $p_{1}$ は $R_{1}$ の素イデアル）または $R_{1} \times p_{2}$ （ $p_{2}$ は $R_{2}$ の素イデアル）のいずれかの形に限られます。

直積のイデアル

$R_{1} \times R_{2}$ のイデアルは $I_{1} \times I_{2}$ の形をしている。各成分が独立にイデアルを構成する。

直積の素イデアル

素イデアルは一方の成分が環全体になる。 $p \times R_{2}$ または $R_{1} \times q$ の形に限られる。

Spec の非連結性

$Spec (R_{1} \times R_{2})$ は $Spec (R_{1})$ と $Spec (R_{2})$ の非交和（disjoint union）に同相です。

$Spec (R_{1} \times R_{2}) ≅ Spec (R_{1}) ⊔ Spec (R_{2})$

これは上で見た素イデアルの分類から直ちに従います。素イデアルは「一方の成分に集中する」ので、空間としては 2 つの開かつ閉な部分集合に分離されます。

逆に、 $Spec (R)$ が非連結であれば $R$ は非自明な直積に分解できます。この対応は、環の分解と空間の連結成分の間の辞書として機能しています。

冪等元と直積分解

環 $R$ が直積 $R ≅ S \times T$ （ $S, T$ はいずれも零環でない）に分解できるための必要十分条件は、 $R$ に自明でない冪等元が存在することです。

元 $e \in R$ が冪等元（idempotent）であるとは $e^{2} = e$ を満たすことです。 $0$ と $1$ は自明な冪等元と呼ばれ、それ以外の冪等元を自明でない冪等元と呼びます。

$R ≅ S \times T$ のとき $e = (1, 0) \in S \times T$ は $e^{2} = (1, 0) = e$ を満たす自明でない冪等元です。逆に、 $e \in R$ が自明でない冪等元であるとき、 $f = 1 - e$ もまた冪等元であり $e f = e (1 - e) = e - e^{2} = 0$ を満たします。このとき写像

$R ⟶ R e \times R f, r \mapsto (re, r f)$

が環の同型を与えます。ここで $R e$ と $R f$ はそれぞれ $e$ と $f$ を単位元とする環です。

冪等元から直積へ

自明でない冪等元 $e$ が存在すれば $R ≅ R e \times R (1 - e)$ と分解される。

直積から冪等元へ

$R ≅ S \times T$ ならば $(1, 0)$ と $(0, 1)$ が直交する自明でない冪等元を与える。

冪等元の持ち上げ

環 $R$ とそのニルラジカル $N$ に対して、 $R / N$ の冪等元が $R$ の冪等元に持ち上がるかという問題は、環の構造を理解する上で重要です。

$\overset{e}{ˉ} \in R / N$ が冪等元であるとき、 $R$ に冪等元 $e$ が存在して $e mod N = \overset{e}{ˉ}$ を満たすかが問われます。答えは肯定的で、以下のように構成できます。

$a \in R$ を $\overset{e}{ˉ}$ の任意の持ち上げとすると、 $a^{2} - a \in N$ です。 $N$ の元はべき零なので、ある $n$ に対して $(a^{2} - a)^{n} = 0$ が成り立ちます。ここで

$e = k = n \sum 2 n - 1 (k 2 n - 1) a^{k} (1 - a)^{2 n - 1 - k}$

とおくと $e^{2} = e$ かつ $e \equiv a (mod N)$ となります。この構成は二項定理と $a (1 - a) \in N$ のべき零性を利用しています。

実用的にはニュートン法的な反復で構成するほうが見通しがよい場合もあります。 $a_{0} = a$ として $a_{n + 1} = 3 a_{n}^{2} - 2 a_{n}^{3}$ と反復すると、 $a_{n + 1}^{2} - a_{n + 1} = (a_{n}^{2} - a_{n})^{2} (2 a_{n} - 1)^{2}$ から、 $a_{n}^{2} - a_{n}$ のべき零次数が各ステップで倍以上になり、有限回で真の冪等元に収束します。

連結環

環 $R$ が連結（connected）であるとは、 $R$ の冪等元が $0$ と $1$ のみであること、すなわち $R$ が非自明な直積に分解できないことです。これは $Spec (R)$ が連結な位相空間であることと同値です。

整域は連結である（

e^{2} = e

ならば

e (e - 1) = 0

、整域では

e = 0

または

e = 1

）

局所環は連結である（自明でない冪等元は非単元かつ非零だが、極大イデアルに属さない）

Z

は連結である（整域だから）

Z /6 Z ≅ Z /2 Z \times Z /3 Z

は連結でない

有限個の極大イデアルを持つ環

環 $R$ の極大イデアルが $m_{1}, \dots, m_{n}$ の有限個であり、 $m_{1} \cap \dots \cap m_{n} = 0$ （半単純の条件）を満たすとき、中国剰余定理から

$R ≅ R / m_{1} \times \dots \times R / m_{n}$

が得られます。各 $R / m_{i}$ は体なので、 $R$ は体の有限直積に同型です。

より一般に、Artin 環は有限個の Artin 局所環の直積に分解されます。これは Artin 環の極大イデアルが有限個であること、および適当なべきで $m_{i}^{n_{i}} = 0$ となることから、

$R ≅ R / m_{1}^{n_{1}} \times \dots \times R / m_{k}^{n_{k}}$

という分解が得られるためです。各成分 $R / m_{i}^{n_{i}}$ は唯一の極大イデアルを持つ Artin 局所環になります。

無限直積と直和

無限族 ${R_{i}}_{i \in I}$ に対しても直積 $\prod_{i \in I} R_{i}$ が定義でき、これは成分ごとの演算で可換環になります。一方、直和 $⨁_{i \in I} R_{i}$ （有限個の成分を除いて零であるような元の全体）は、一般には環にはなりません。単位元 $(1, 1, 1, \dots)$ が直和に属さないためです。

有限直積

$R_{1} \times \dots \times R_{n}$ は環になる。直積と直和は一致する。

無限直積

$\prod_{i \in I} R_{i}$ は環になるが、 $⨁_{i \in I} R_{i}$ は単位元を持たず環にならない。加群としては意味を持つ。

無限直積のスペクトルは有限直積のような簡明な記述を持たず、その構造はかなり複雑になります。 $Spec (\prod_{i \in I} R_{i})$ には各 $Spec (R_{i})$ の像のほかに、超フィルターに対応する「余分な」素イデアルが現れます。