座標環の計算 - 代数曲線と代数曲面の可換環論

代数幾何では、幾何学的対象（代数多様体）を可換環（座標環）を通じて研究します。曲線や曲面の形状・特異点・交叉といった幾何学的性質が、座標環のイデアル構造や局所化に翻訳されます。ここでは具体的な計算を通じてその対応を見ていきます。

座標環の定義

体 $k$ 上のアフィン多様体 $V\subseteq {\mathbb{A}}_k^n$ に対して、$V$ の座標環（coordinate ring）は

$$k[V]=k[x_1,\dots ,x_n]/I(V)$$

で定義されます。$I(V)$ は $V$ の定義イデアル、すなわち $V$ 上で恒等的に零となる多項式全体のなすイデアルです。座標環は $V$ 上の「多項式関数の環」であり、$V$ の代数的な性質をすべて反映しています。

$k$ が代数閉体のとき、Hilbert の零点定理により $V$ の点と座標環の極大イデアルが一対一に対応します。点 $P=(a_1,\dots ,a_n)\in V$ に対応する極大イデアルは ${\mathfrak{m}}_P=({\bar{x}}_1-a_1,\dots ,{\bar{x}}_n-a_n)$ です。

平面曲線の座標環

最も単純な例として、${\mathbb{A}}_k^2$ 内の平面曲線 $C:f(x,y)=0$ を考えます。座標環は $k[C]=k[x,y]/(f)$ です。

放物線 $C:y-x^2=0$ の場合、$k[C]=k[x,y]/(y-x^2)\cong k[x]$ です。$y=x^2$ という関係式により $y$ が $x$ で表せるため、座標環は 1 変数多項式環に同型になります。これは放物線が直線 ${\mathbb{A}}^1$ と同型であることの代数的な表現です。

楕円曲線 $C:y^2-x^3+x=0$（$\text{char}(k)\ne 2$ とする）の場合、$k[C]=k[x,y]/(y^2-x^3+x)$ です。この環は $k[x]$ とは同型にならず、曲線が ${\mathbb{A}}^1$ とは本質的に異なる幾何を持つことを反映しています。

座標環から読み取れる性質

座標環の環論的性質と幾何学的性質の対応を整理します。

$k[C]$ が整域であることは $f$ が既約多項式であることと同値です。例えば $f=xy$ のとき $k[x,y]/(xy)$ は整域ではなく（$\bar{x}\cdot \bar{y}=0$ だが $\bar{x}\ne 0$、$\bar{y}\ne 0$）、対応する図形 $V(xy)=V(x)\cup V(y)$ は 2 本の直線の合併であり既約ではありません。

特異点の検出

曲線 $C:f(x,y)=0$ 上の点 $P=(a,b)$ が特異点であるとは、

$$f(a,b)=0,\frac{\partial f}{\partial x}(a,b)=0,\frac{\partial f}{\partial y}(a,b)=0$$

がすべて成り立つことです。これを座標環の局所化で捉えられます。$P$ に対応する極大イデアル ${\mathfrak{m}}_P$ での局所化 $k[C{]}_{{\mathfrak{m}}_P}$ が正則局所環であるかどうかが、$P$ が非特異かどうかに対応します。

結節点（node）の例として $C:y^2-x^2(x+1)=0$ を考えます。原点 $O=(0,0)$ では $f=f_x=f_y=0$ が成り立ち、特異点です。局所環 $k[C{]}_{{\mathfrak{m}}_O}$ の極大イデアルは $(\bar{x},\bar{y})$ で生成されますが、${\bar{y}}^2={\bar{x}}^2(\bar{x}+1)$ という関係があり、$\bar{x}+1$ は局所環で単元なので ${\bar{y}}^2={\bar{x}}^2\cdot u$（$u$ は単元）です。埋め込み次元は 2 であり、曲線の局所環の次元は 1 なので、$\text{edim}>\dim$ となり正則ではありません。

尖点（cusp）の例として $C:y^2-x^3=0$ を考えます。原点が特異点であり、局所環は $k[t^2,t^3]$ を $(t^2,t^3)$ で局所化したものに同型です。結節点と異なり、尖点では曲線は 1 本の枝しか持ちませんが、パラメータ付けに「隙間」があります。

曲面の座標環

${\mathbb{A}}_k^3$ 内の代数曲面 $S:g(x,y,z)=0$ の座標環は $k[S]=k[x,y,z]/(g)$ です。曲面の場合は Krull 次元が 2 になり、素イデアルの鎖 $(0)⊊\mathfrak{p}⊊\mathfrak{m}$ が存在します。ここで $\mathfrak{p}$ は曲面上の曲線に、$\mathfrak{m}$ は点に対応します。

平面 $S:z=0$ の場合、$k[S]=k[x,y,z]/(z)\cong k[x,y]$ であり、これは 2 次元の正則環です。

2 次曲面 $S:xy-zw=0\subseteq {\mathbb{A}}_k^4$ の座標環 $k[x,y,z,w]/(xy-zw)$ は整域ですが UFD ではありません。$\bar{x}\bar{y}=\bar{z}\bar{w}$ という関係式があり、$\bar{x}$ は既約元ですが素元ではないことが確認できます（$\bar{x}$ は $\bar{z}\bar{w}$ を割り切るが $\bar{z}$ も $\bar{w}$ も割り切らない）。

座標環の次元と多様体の次元

座標環の Krull 次元は多様体の次元に一致します。

$k[x,y]/(f)$ において $f$ が既約なら、Krull の標高定理（Hauptidealsatz）により $(f)$ の標高は 1 です。したがって $\dim k[x,y]/(f)=\dim k[x,y]-1=2-1=1$ であり、平面曲線の次元は 1 です。

同様に $k[x,y,z]/(g)$ で $g$ が既約なら $\dim k[x,y,z]/(g)=3-1=2$ であり、空間曲面の次元は 2 です。

より一般に、${\mathbb{A}}_k^n$ 内の多様体 $V$ に対して

$$\dim V=\dim k[V]=n-\text{ht}(I(V))$$

が成り立ちます。ここで $\text{ht}(I(V))$ は $I(V)$ の標高であり、多様体を定める独立な方程式の本数に対応しています。

交叉の計算

2 つの曲線 $C_1:f=0$ と $C_2:g=0$ の交叉は、イデアルの和 $(f)+(g)=(f,g)$ に対応します。交叉の座標環は

$$k[x,y]/(f,g)$$

であり、$k$-ベクトル空間としての次元が交点数（重複度込み）を与えます。

$C_1:y-x^2=0$（放物線）と $C_2:y-x=0$（直線）の交叉を計算します。

$$k[x,y]/(y-x^2,y-x)\cong k[x]/(x^2-x)\cong k[x]/(x(x-1))\cong k\times k$$

$k$-次元は 2 であり、交点は $(0,0)$ と $(1,1)$ の 2 つです。各交点での交叉重複度は 1 です。

接線の場合は異なります。$C_1:y-x^2=0$ と $C_3:y=0$（$x$ 軸）の交叉は

$$k[x,y]/(y-x^2,y)\cong k[x]/(x^2)$$

です。$k$-次元は 2 ですが、$k[x]/(x^2)$ は被約でない（$\bar{x}\ne 0$ だが ${\bar{x}}^2=0$）ため、これは原点で重複度 2 の接触をしていることを意味します。

交叉の座標環が被約であるかどうかが、交叉が横断的かどうかを判定する基準になっています。被約であれば各交点の重複度は 1 であり、べき零元が現れると交点で接触が起きています。

正規化と座標環

曲線の特異点を解消する代数的な方法の一つが正規化（normalization）です。整域 $A$ の商体 $K$ における整閉包 $\tilde{A}$ を正規化と呼び、対応する射 $\tilde{C}\to C$ が正規化射です。

尖点曲線 $C:y^2=x^3$ の座標環は $A=k[x,y]/(y^2-x^3)\cong k[t^2,t^3]$（$x=t^2$, $y=t^3$）です。商体は $K=k(t)$ であり、$t=y/x\in K$ は $A$ 上整です（$t^2=x\in A$ を満たす）。整閉包は $\tilde{A}=k[t]$ であり、正規化射は ${\mathbb{A}}^1\to C$、$t\mapsto (t^2,t^3)$ に対応します。

$A$ から $\tilde{A}$ への包含 $k[t^2,t^3]\hookrightarrow k[t]$ は、$t$ という「欠けていた」元を補うことで環を正則にする操作です。導手イデアル $\mathfrak{c}=\{a\in A\mid a\tilde{A}\subseteq A\}$ は $\mathfrak{c}=(t^2,t^3)=t^{2}k[t]$ であり、これが正規化で「修復される」場所（特異点の位置）を表しています。