位置ベクトルで内分点・外分点を求める - 高校数学の公式整理

座標平面上の点を扱うとき、原点からのベクトルを「位置ベクトル」と呼びます。位置ベクトルを使うと、線分の内分点や外分点の座標を公式的に求めることができます。

位置ベクトルとは

点 $\mathrm{A}$ の位置ベクトルとは、原点 $\mathrm{O}$ から点 $\mathrm{A}$ へ向かうベクトル $\overrightarrow{\mathrm{OA}}$ のことです。これを $\vec{a}$ と書きます。同様に点 $\mathrm{B}$ の位置ベクトルを $\vec{b}$ とします。

位置ベクトルの利点は、2 点間のベクトルを位置ベクトルの差で表せることです。

$$\overrightarrow{\mathrm{AB}}=\vec{b}-\vec{a}$$

この関係が内分点・外分点の公式の出発点になります。

内分点の位置ベクトル

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の位置ベクトル $\vec{p}$ は

$$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$

で求まります。$m$ と $n$ の位置に注意が必要で、$\mathrm{A}$ 側の比 $m$ が $\vec{b}$ の係数に、$\mathrm{B}$ 側の比 $n$ が $\vec{a}$ の係数になります。

内分点の公式の導出

点 $\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分するとは、$\overrightarrow{\mathrm{AP}}:\overrightarrow{\mathrm{PB}}=m:n$ が成り立つことです。これをベクトルで書くと

$$n\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}=m\cdot \overrightarrow{\mathrm{PB}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=\vec{p}-\vec{a}$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=\vec{b}-\vec{p}$ を代入すると

$$n(\vec{p}-\vec{a})=m(\vec{b}-\vec{p})$$

$$n\vec{p}-n\vec{a}=m\vec{b}-m\vec{p}$$

$$n\vec{p}+m\vec{p}=n\vec{a}+m\vec{b}$$

$$(m+n)\vec{p}=n\vec{a}+m\vec{b}$$

$$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$

導出過程を追うと、係数が「逆に掛かる」理由が自然に見えてきます。

中点は内分点の特別な場合

線分 $\mathrm{AB}$ の中点は $m:n=1:1$ の内分点なので

$$\vec{p}=\frac{\vec{a}+\vec{b}}{2}$$

になります。これは 2 つの位置ベクトルの平均です。

外分点の位置ベクトル

線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の位置ベクトル $\vec{q}$ は

$$\vec{q}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}(m\ne n)$$

で求まります。内分の公式と比較すると、$n$ の符号がマイナスになり、分母が $m+n$ から $m-n$ に変わっています。

外分点が線分の延長上にあることを考えると、一方の係数がマイナスになるのは直感的にも納得できます。点 $\mathrm{Q}$ は $\mathrm{A}$ から見て $\mathrm{B}$ の向こう側（$m>n$ のとき）、または $\mathrm{A}$ の手前側（$m<n$ のとき）に位置するため、$\vec{a}$ を「引く」方向に働く必要があるのです。

例題 1：内分点の座標を求める

$\mathrm{A}(1,3)$、$\mathrm{B}(7,9)$ を結ぶ線分を $2:1$ に内分する点 $\mathrm{P}$ の座標を求めます。

位置ベクトルを $\vec{a}=(1,3)$、$\vec{b}=(7,9)$ として公式に代入します。

$$\vec{p}=\frac{1\cdot (1,3)+2\cdot (7,9)}{2+1}=\frac{(1,3)+(14,18)}{3}=\frac{(15,21)}{3}=(5,7)$$

よって $\mathrm{P}(5,7)$ です。$\mathrm{P}$ は $\mathrm{A}$ と $\mathrm{B}$ の間にあり、$\mathrm{B}$ 寄りの位置にあることが座標からも確認できます。

例題 2：外分点の座標を求める

$\mathrm{A}(2,1)$、$\mathrm{B}(5,4)$ を結ぶ線分を $3:1$ に外分する点 $\mathrm{Q}$ の座標を求めます。

$$\vec{q}=\frac{-1\cdot (2,1)+3\cdot (5,4)}{3-1}=\frac{(-2,-1)+(15,12)}{2}=\frac{(13,11)}{2}=\left(\frac{13}{2},\frac{11}{2}\right)$$

$3:1$ の外分なので、$\mathrm{Q}$ は $\mathrm{B}$ の先の延長線上に位置しています。$\mathrm{B}(5,4)$ よりも $x$ 座標・$y$ 座標ともに大きい値になっており、確かに $\mathrm{B}$ の向こう側にあることが確認できます。

例題 3：内分点から比を逆算する

$\mathrm{A}(1,0)$、$\mathrm{B}(4,6)$、$\mathrm{P}(2,2)$ が一直線上にあり、$\mathrm{P}$ が線分 $\mathrm{AB}$ を $m:n$ に内分しているとき、$m:n$ を求めます。

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}=(1,2)$、$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=(2,4)=2(1,2)$ なので

$$\overrightarrow{\mathrm{PB}}=2\cdot \overrightarrow{\mathrm{AP}}$$

$\overrightarrow{\mathrm{AP}}:\overrightarrow{\mathrm{PB}}=1:2$ より、$m:n=1:2$ です。

公式で検算すると

$$\vec{p}=\frac{2\cdot (1,0)+1\cdot (4,6)}{1+2}=\frac{(2,0)+(4,6)}{3}=\frac{(6,6)}{3}=(2,2)$$

確かに $\mathrm{P}$ の座標と一致します。

内分・外分を統一的に扱う見方

外分点の公式を暗記するのが負担であれば、「外分は比の一方を負にした内分」と捉えることもできます。$m:n$ の外分は $m:(-n)$ の内分と同じ結果を与えるため、内分の公式

$$\vec{p}=\frac{n\vec{a}+m\vec{b}}{m+n}$$

で $n$ を $-n$ に置き換えれば

$$\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m+(-n)}=\frac{-n\vec{a}+m\vec{b}}{m-n}$$

となり、外分の公式がそのまま出てきます。公式を 1 つだけ覚えて、外分のときは符号を変えるという運用が実用的です。