可換環上の加群の完備化と平坦性の関係

可換環のイデアルに関する完備化は、局所化と並ぶ重要な「環を変える」操作です。完備化と平坦性の間には深い関係があり、特にネーター環の場合に美しい結果が得られます。

完備化の復習

可換環 $R$ とイデアル $I$ に対して、$I$-進完備化は逆極限

$$\hat{R}=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}R/I^n$$

として定義されます。これは $I$-進位相に関するコーシー列の同値類の環と同一視できます。自然な準同型 $R\to \hat{R}$ は $r\mapsto (r\mathrm{mod}{I}^n{)}_{n\ge 1}$ で与えられます。

最も基本的な例は $R=\mathbb{Z}$、$I=(p)$（$p$ は素数）の場合です。このとき $\hat{R}={\mathbb{Z}}_p$（$p$-進整数環）が得られます。また $R=k[x]$、$I=(x)$ の場合は $\hat{R}=k[[x]]$（形式的べき級数環）です。

加群の完備化も同様に定義されます。$R$-加群 $M$ の $I$-進完備化は

$$\hat{M}=\underset{n}{\underleftarrow{\lim }}M/I^{n}M$$

です。$\hat{R}$-加群の構造が自然に入り、$\hat{M}$ は $\hat{R}$ 上の加群として扱えます。

完備化は平坦か

完備化 $R\to \hat{R}$ が平坦であるかという問いは、ネーター性に強く依存します。

$R$ がネーター環で $I$ がそのイデアルであるとき、$\hat{R}$ は $R$ 上平坦です。これは可換環論における基本的な結果の一つであり、完備化が局所化と同様に「よい」環変換であることを保証しています。

平坦性の証明の方針

$\hat{R}$ の $R$ 上の平坦性は、Artin-Rees の補題を経由して証明されます。鍵となるのは次の同型です。

$R$ がネーター環、$M$ が有限生成 $R$-加群のとき、自然な写像

$$\hat{R}{\otimes }_{R}M⟶\hat{M}$$

は同型です。ここで $\hat{M}={\underleftarrow{\lim }}_{n}M/I^{n}M$ です。

この同型を使うと、$\hat{R}$ の平坦性は以下のように示せます。$0\to N\to M$ が $R$-加群の単射であるとき（$M$, $N$ は有限生成）、

$$0\to \hat{R}{\otimes }_{R}N\to \hat{R}{\otimes }_{R}M$$

の単射性を示せばよいですが、上の同型から $\hat{R}{\otimes }_{R}N\cong \hat{N}$、$\hat{R}{\otimes }_{R}M\cong \hat{M}$ なので、$\hat{N}\to \hat{M}$ の単射性に帰着されます。

$\hat{N}\to \hat{M}$ の単射性、すなわち $\underleftarrow{\lim }N/I^{n}N\to \underleftarrow{\lim }M/I^{n}M$ の単射性は、Artin-Rees の補題から $I^{n}M\cap N=I^{n-c}(I^{c}M\cap N)$（十分大きな $c$）が成り立ち、$N$ 上の $I$-進フィルトレーションと $M$ から誘導されるフィルトレーションが同じ位相を定めることから従います。

Artin-Rees の補題との関係

ここで Artin-Rees の補題の役割を明確にします。

$R$ をネーター環、$I$ をイデアル、$M$ を有限生成 $R$-加群、$N\subseteq M$ を部分加群とするとき、ある正整数 $c$ が存在して、すべての $n\ge c$ に対して

$$I^{n}M\cap N=I^{n-c}(I^{c}M\cap N)$$

が成り立ちます。

具体例として $R=k[x,y]$、$I=(x,y)$、$M=R$、$N=(x)$ の場合を考えます。$I^{n}R\cap (x)=(x)\cap (x,y{)}^n$ であり、これは次数 $n$ 以上の多項式で $x$ で割り切れるものの全体です。一方 $I^n\cdot (x)=(x,y{)}^n\cdot (x)$ は次数 $n+1$ 以上の多項式で $x$ を因子に持つものです。したがって $I^{n}R\cap (x)\ne I^n(x)$ ですが、$I^{n}R\cap (x)\supseteq I^{n-1}(IR\cap (x))=I^{n-1}(x)$ が成り立ち（$c=1$ で Artin-Rees が適用できる）、位相としては一致します。

テンソル積と完備化の交換

ネーター環での $\hat{R}{\otimes }_{R}M\cong \hat{M}$ という同型は非常に強力な道具です。これにより、完備化の計算がテンソル積の計算に帰着されます。

$R=\mathbb{Z}$、$I=(p)$ の場合、有限生成アーベル群 $M$ に対して

$${\mathbb{Z}}_p{\otimes }_{\mathbb{Z}}M\cong \hat{M}=\underleftarrow{\lim }M/p^{n}M$$

が成り立ちます。

$p$ と互いに素な有限群は $p$-進完備化で消えます。これは ${\mathbb{Z}}_p\otimes \mathbb{Z}/q\mathbb{Z}\cong {\mathbb{Z}}_p/q{\mathbb{Z}}_p=0$（$q$ が ${\mathbb{Z}}_p$ で単元）であることからわかります。

一般の有限生成アーベル群 $M\cong {\mathbb{Z}}^r\oplus {⨁}_i\mathbb{Z}/p_i^{a_i}\mathbb{Z}$ に対して、テンソル積の直和との交換と上の計算から ${\mathbb{Z}}_p\otimes M$ は $M$ の「$p$-成分」だけを取り出す操作になっています。

忠実平坦性の条件

$\hat{R}$ が $R$ 上平坦であっても、忠実平坦であるとは限りません。平坦な環準同型 $R\to S$ が忠実平坦であるための条件は、任意の $R$-加群 $M\ne 0$ に対して $S{\otimes }_{R}M\ne 0$ であることです。

$R$ がネーター局所環で極大イデアル $\mathfrak{m}$ に関する完備化 $\hat{R}$ を考えるとき、$\hat{R}$ は $R$ 上忠実平坦です。これは $\mathfrak{m}\hat{R}\ne \hat{R}$ であること、すなわち $\hat{R}/\mathfrak{m}\hat{R}\cong R/\mathfrak{m}\ne 0$ から従います。

忠実平坦性が成り立つ場合、完備化は多くの性質を保存します。$\hat{R}$ が $R$ 上忠実平坦であれば、$R$-加群の列 $M^{\prime }\to M\to M^{\prime \prime }$ が完全であることと ${\hat{M}}^{\prime }\to \hat{M}\to {\hat{M}}^{\prime \prime }$ が完全であることは同値です。

完備化とネーター性

ネーター環の完備化は再びネーター環です。より正確には、$R$ がネーター環で $I$ がイデアルならば $\hat{R}$ もネーター環であり、$\dim \hat{R}=\dim R/({\bigcap }_{n\ge 1}{I}^n)$ が成り立ちます。$I\subseteq \text{rad}(R)$ のときは Krull の交叉定理により ${\bigcap }_{n\ge 1}{I}^n=0$ なので $\dim \hat{R}=\dim R$ です。

さらに、$R$ がネーター局所環 $(R,\mathfrak{m})$ のとき、完備化 $\hat{R}$ もネーター局所環であり、極大イデアルは $\mathfrak{m}\hat{R}$ です。$R$ と $\hat{R}$ は同じ剰余体 $R/\mathfrak{m}\cong \hat{R}/\mathfrak{m}\hat{R}$ を持ち、次元も一致します。