中国剰余定理と互いに素なイデアル、剰余環が直積に分かれる条件

$Z /15 Z$ の元は、 $3$ で割った余りと $5$ で割った余りの組で決まります。 $15$ 通りが $3 \times 5$ の表にちょうど並ぶ。

$Z /15 Z ≅ Z /3 Z \times Z /5 Z$

これを可換環とイデアルの言葉に置きかえたものが、中国剰余定理です。

整数のとき

$m$ と $n$ が互いに素なら、次の連立合同式の解が $mn$ を法として 1 つに決まります。

$x \equiv a (mod m), x \equiv b (mod n)$

写像で書き直すと、 $x mod mn \mapsto (x mod m, x mod n)$ が環の同型になるという主張です。

$Z / mn Z ⟶ Z / m Z \times Z / n Z$

$g cd (m, n) = 1$ を外すと崩れる。この条件をイデアルの言葉へ移すところから始めます。

イデアルが互いに素とは

$R$ を可換環、 $I$ 、 $J$ をイデアルとします。互いに素とは、和が環全体になることです^[3]。

$I + J = R$

$a \in I$ 、 $b \in J$ で $a + b = 1$ と書ける、と言いかえられる。 $1$ が書けるかどうかだけを見ている。

$Z$ では $(m) + (n) = (g cd (m, n))$ となり、 $(m) + (n) = Z$ と $g cd (m, n) = 1$ が同じ条件になります。イデアルの互いに素は、整数のそれをそのまま広げたもの。

最大公約数を持ち出さずに、和が全体かどうかだけで書ける。

主張

イデアル $I_{1}, \dots, I_{n}$ に対して、次の準同型を考えます^[1]。

$f : R ⟶ R / I_{1} \times \dots \times R / I_{n}, r ⟼ (r + I_{1}, \dots, r + I_{n})$

単射と全射が、それぞれ別の条件で決まる^[1]。

単射になる条件

$I_{1} \cap \dots \cap I_{n} = (0)$ 。核がちょうど交わりになるため。

全射になる条件

$I_{1}, \dots, I_{n}$ が 2 つずつ互いに素。 $i \neq = j$ でいつも $I_{i} + I_{j} = R$ 。

2 つずつ互いに素なら、交わりと積も一致します^[2]。

$I_{1} \cap \dots \cap I_{n} = I_{1} \dots I_{n}$

$n = 2$ で書き下すと、 $I + J = R$ のとき次の同型になる。

$R / (I \cap J) ≅ R / I \times R / J$

全射になるのは互いに素なときだけ

先に、互いに素なら全射になることを見る。 $i \neq = 1$ について $a_{i} + b_{i} = 1$ （ $a_{i} \in I_{1}$ 、 $b_{i} \in I_{i}$ ）をとり、 $b^{(1)} = b_{2} \dots b_{n}$ と置きます^[3]。

$b_{i} = 1 - a_{i}$ は $I_{1}$ を法として $1$ になり、積の $b^{(1)}$ も $I_{1}$ を法として $1$ になる。一方 $b^{(1)}$ は $I_{2}, \dots, I_{n}$ のどれにも入る。

つまり $f (b^{(1)}) = (1, 0, \dots, 0)$ 。添え字をずらせば $b^{(i)}$ が同じようにとれて、 $f (b^{(i)})$ が $i$ 番目だけ $1$ になる。

あとは足し合わせるだけ。任意の $(r_{1}, \dots, r_{n})$ に対して次のように置けば足ります。

$x = r_{1} b^{(1)} + \dots + r_{n} b^{(n)}$

逆向きも短く済む。 $f$ が全射なら $(1, 0, \dots, 0)$ へ移る $x$ があります^[1]。

$x \equiv 1 (mod I_{1})$ から $1 - x \in I_{1}$ 、 $x \equiv 0 (mod I_{2})$ から $x \in I_{2}$ が言える。

$1 = (1 - x) + x \in I_{1} + I_{2}$

だから $I_{1} + I_{2} = R$ 。添え字を替えれば、どの 2 つについても同じことが言える。

核と、交わりが積になること

核は定義からすぐ分かります。 $f (r) = 0$ とは、 $r$ がどの $I_{i}$ にも入ることだからです^[2]。

$ker f = I_{1} \cap \dots \cap I_{n}$

準同型定理をあてると、全射のときに $R / (I_{1} \cap \dots \cap I_{n})$ と直積が同型になる。

交わりが積に一致することも見ておきます。 $n = 2$ で示せば、あとは帰納法です^[3]。

$I J \subseteq I \cap J$ はいつでも成り立つ。逆は $a + b = 1$ を使う。 $x \in I \cap J$ を次のように割ります。

$x = x a + x b$

$x \in J$ と $a \in I$ から $x a \in I J$ 、 $x \in I$ と $b \in J$ から $x b \in I J$ 。だから $x \in I J$ になる。

例： $Z /15 Z$

$I = (3)$ 、 $J = (5)$ とすると $I + J = Z$ で、互いに素です。 $3 \times 5$ の表の各ますに、 $0$ から $14$ がちょうど 1 つずつ入る。

同型写像は $x mod 15 \mapsto (x mod 3, x mod 5)$ です。

$x mod 15$	$x mod 3$	$x mod 5$
$1$	$1$	$1$
$2$	$2$	$2$
$4$	$1$	$4$
$7$	$1$	$2$
$11$	$2$	$1$

逆向きに組み立てる

表を引かずに $x$ を求める手順も、証明がそのまま与えます。 $3$ で割って $1$ 、 $5$ で割って $3$ になる $x$ を探す。

$a = 6 \in (3)$ 、 $b = - 5 \in (5)$ をとると $a + b = 1$ 。この 2 つが目印になる。

$b = - 5$	$3$ で割ると $1$ 、 $5$ で割ると $0$
$a = 6$	$3$ で割ると $0$ 、 $5$ で割ると $1$

欲しい余りを係数にして足すだけです。

$x = 1 \cdot b + 3 \cdot a = - 5 + 18 = 13$

$13$ を $3$ で割ると $1$ 、 $5$ で割ると $3$ 。欲しかった組になっています。

余りの組を替えても、 $a$ と $b$ は使い回せる。係数だけ差しかえればよい。

互いに素でないと崩れる

$Z /4 Z$ を $Z /2 Z \times Z /2 Z$ へ分けようとすると、うまくいきません。 $(2) + (2) = (2) \neq = Z$ だからです。

写像の両方の成分が同じ $x mod 2$ になるため、像は対角線の 2 ますだけ。残りの 2 ますに移る元がありません。

多項式でも同じ。 $(x) + (x^{2}) = (x) \neq = k [x]$ だから、 $k [x] / (x^{3})$ は $k [x] / (x) \times k [x] / (x^{2})$ と同型になりません。

$k [x] / (x^{3})$ は極大イデアルを 1 つしか持たない局所環で、直積のほうは 2 つ持つ。数が合わない。

冪でも互いに素のまま

$I + J = R$ なら、どの正の整数 $m$ 、 $n$ についても $I^{m} + J^{n} = R$ です。

$a + b = 1$ を $m + n$ 乗して展開する。

$1 = (a + b)^{m + n} = k = 0 \sum m + n (k m + n) a^{k} b^{m + n - k}$

$k \geq m$ の項は $a^{k} \in I^{m}$ に入ります。 $k < m$ の項は $m + n - k > n$ となり、 $b^{m + n - k} \in J^{n}$ に入る。

右辺のどの項も $I^{m} + J^{n}$ に属し、 $1 \in I^{m} + J^{n}$ が言えます。これと中国剰余定理を合わせると、次の同型になる。

$R / (I^{m} \cap J^{n}) ≅ R / I^{m} \times R / J^{n}$

整数へ戻すと、 $g cd (m, n) = 1$ のときの $Z / m^{a} n^{b} Z ≅ Z / m^{a} Z \times Z / n^{b} Z$ にあたる。素因数分解ごとに分けられるという話です。

単元群も分かれる

同型は単元を単元へ写すため、単元群もそのまま分かれる。

$(R / (I \cap J))^{\times} ≅ (R / I)^{\times} \times (R / J)^{\times}$

$Z$ にあてはめると、オイラー関数が積に分かれるという式になる。

$φ (mn) = φ (m) φ (n) (g cd (m, n) = 1)$

$φ (15) = φ (3) φ (5) = 2 \times 4 = 8$ 。 $15$ 未満で $15$ と互いに素な数を数えると、 $1, 2, 4, 7, 8, 11, 13, 14$ の $8$ 個で合っています。

$Spec$ では 2 つに分かれる

$I + J = R$ なら $V (I) \cap V (J) = V (I + J) = \emptyset$ です。 $V (I J) = V (I) \cup V (J)$ だから、 $Spec (R / I J)$ は交わらない 2 つの閉集合に分かれる。

直積環のスペクトルは非交和になる。環が分解することと、空間が離れることが同じ内容になっている。

幾何の側から読み直すこともできます^[1]。多様体 $X$ の部分多様体 $Y_{1}, \dots, Y_{n}$ への制限写像を見ると、単射になるのは $Y_{i}$ が $X$ を覆うとき、全射になるのは $Y_{i}$ がたがいに交わらないとき。

$Z /12 Z$ と同型になるのはどれですか。

$Z /2 Z \times Z /6 Z$
$Z /3 Z \times Z /4 Z$
$Z /2 Z \times Z /2 Z \times Z /3 Z$

__RESULT__

$12 = 3 \times 4$ で $g cd (3, 4) = 1$ だから、 $(3)$ と $(4)$ は互いに素です。 $2$ と $6$ は互いに素ではないので使えません。3 つに分ける形は $(2)$ と $(2)$ のところで崩れ、 $Z /2 \times Z /2$ が巡回群にならないぶん $Z /12$ と食い違います。

$I + J = R$ のとき、 $I^{2} + J^{3}$ はどうなりますか。

$R$ になる
$I + J$ より真に小さくなる
一般には決まらない

__RESULT__

$a + b = 1$ を $5$ 乗して展開すると、 $a$ の次数が $2$ 以上の項は $I^{2}$ に入り、 $2$ 未満の項は $b$ の次数が $4$ 以上になって $J^{3}$ に入ります。どの項も $I^{2} + J^{3}$ に属するので $1 \in I^{2} + J^{3}$ です。

イデアルの和が全体になるかどうか、それだけが分解の可否を決めます。整数の互いに素も、多項式の共通根がないことも、 $Spec$ の閉集合が交わらないことも、 $I + J = R$ の言いかえです。

参考

Andreas Gathmann, *Commutative Algebra*, RPTU Kaiserslautern-Landau.

Damian Rössler, *Commutative Algebra*, University of Oxford.

Nicolas Perrin, *Algèbre commutative*, Université de Versailles Saint-Quentin.

$\mathbb{Z}/15\mathbb{Z}$ の元は、$3$ で割った余りと $5$ で割った余りの組で決まります。イデアルの言葉に直すと、$I + J = R$ のとき $R/(I \cap J) \cong R/I \times R/J$。準同型が単射になるのは交わりが $(0)$ のとき、全射になるのは 2 つずつ互いに素なときで、逆も成り立つ。$a + b = 1$ の $a$ と $b$ を目印にすれば、連立合同式の解は係数を替えるだけで組み立てられます。$\mathbb{Z}/4\mathbb{Z}$ が $\mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$ に分かれない理由、冪をとっても互いに素のままであること、オイラー関数が積に分かれること、$\mathrm{Spec}$ が 2 つの閉集合に離れることまで。