因子とは何か - Weil 因子と Cartier 因子（代数幾何学）

代数幾何学では、曲線や曲面の上にある「特別な場所」を代数的に記述する道具が必要になります。たとえば、ある関数が零点を持つ場所や極を持つ場所を、単に集合として扱うのではなく、重複度も含めて正確に記録する仕組みが欲しいところです。この役割を果たすのが因子（divisor）という概念です。

因子には大きく分けて Weil 因子と Cartier 因子の 2 種類があり、それぞれ異なる視点から同じ現象を捉えています。

両者は、多様体が十分よい性質（正規性やネーター性など）を持つとき一致しますが、特異点がある場合には食い違いが生じます。

Weil 因子の定義

$X$ を正規ネーターな整スキームとします。$X$ 上の Weil 因子とは、余次元 1 の既約閉部分多様体（素因子）の形式的な整数係数の和です。つまり、$X$ の素因子を $Y_1,Y_2,\dots$ とすると、Weil 因子 $D$ は

$$D=\sum _i{n}_i{Y}_i(n_i\in \mathbb{Z},\text{有限個を除き }{n}_i=0)$$

という形をしています。$n_i$ がすべて $0$ 以上のとき、$D$ は有効因子（effective divisor）と呼ばれます。

具体的な例で考えてみます。射影直線 ${\mathbb{P}}^1$ の場合、素因子は各点 $[a:b]$ に対応します。たとえば $D=3[0:1]-2[1:1]$ は、点 $[0:1]$ に重複度 $3$ の零点、点 $[1:1]$ に重複度 $2$ の極を持つような状況を表しています。

Weil 因子の全体は自然にアーベル群をなし、この群を Weil 因子群 $\mathrm{Div}(X)$ と書きます。加法は係数ごとの和で定義されるので、群の構造は素因子を基底とする自由アーベル群そのものです。

有理関数と主因子

Weil 因子の中でも特に重要なのが、有理関数から作られる因子です。$X$ の関数体 $K(X)$ の元 $f\ne 0$ に対して、各素因子 $Y$ における $f$ の位数 ${\mathrm{ord}}_Y(f)$ を考えます。これは、$f$ が $Y$ に沿ってどれだけの重複度で零点（正の値）や極（負の値）を持つかを測る整数値です。

$f$ から定まる Weil 因子

$$\mathrm{div}(f)=\sum _Y{\mathrm{ord}}_Y(f)\cdot Y$$

を $f$ の主因子（principal divisor）と呼びます。$X$ が正規ネータースキームであれば、${\mathrm{ord}}_Y(f)\ne 0$ となる $Y$ は有限個しかないため、この和はきちんと定義されます。

たとえば ${\mathbb{P}}^1$ 上で有理関数 $f=x^2/(x-1)$ を考えると、$x=0$ で 2 位の零点、$x=1$ で 1 位の極を持ちます。また、$x=\infty$ での振る舞いも考慮する必要があり、$\mathrm{div}(f)=2[0]-[1]-[\infty ]$ となります。

主因子全体は $\mathrm{Div}(X)$ の部分群をなし、商群

$$\mathrm{Cl}(X)=\mathrm{Div}(X)/\{\text{主因子}\}$$

が Weil 因子類群（divisor class group）です。2 つの Weil 因子が同じ類に属するとき、それらは線形同値であるといいます。

Cartier 因子の定義

Cartier 因子は、因子を「局所的に 1 つの関数で書ける」という条件で捉え直したものです。

$X$ を整スキームとし、${\mathcal{K}}_X^{\ast }$ を $X$ の有理関数の層（の可逆元のなす層）、${\mathcal{O}}_X^{\ast }$ を正則関数の可逆元のなす層とします。$X$ 上の Cartier 因子とは、大域切断

$$\{(U_i,f_i){\}}_{i\in I}$$

の集まりであって、$X=\bigcup U_i$ は開被覆、各 $f_i\in {\mathcal{K}}_X^{\ast }(U_i)$ で、重なり $U_i\cap U_j$ 上で $f_i/f_j\in {\mathcal{O}}_X^{\ast }(U_i\cap U_j)$ を満たすものです。

直感的には、Weil 因子が「零点・極の場所と重複度のリスト」であるのに対し、Cartier 因子は「局所的にその零点・極を定義する関数の貼り合わせデータ」にあたります。

両者の関係

$X$ が正規ネーターな整スキームのとき、Cartier 因子から Weil 因子への自然な準同型が存在します。Cartier 因子 $\{(U_i,f_i)\}$ に対して、各素因子 $Y$ 上での $f_i$ の位数を読み取ることで、Weil 因子 ${\sum }_Y{\mathrm{ord}}_Y(f_i)\cdot Y$ を対応させるわけです（$Y\cap U_i\ne \varnothing$ となる $i$ をどれか 1 つ選べば、貼り合わせ条件から結果は $i$ の選び方によりません）。

この対応は常に単射ですが、全射になるかどうかは $X$ の性質に依存します。

たとえば滑らかな多様体の局所環は正則局所環であり、正則局所環は UFD なので、滑らかな多様体では Weil 因子と Cartier 因子は完全に一致します。一方、二次錐面 $V(xy-z^2)\subset {\mathbb{A}}^3$ のような特異点を持つ多様体では、Weil 因子として定義できても Cartier 因子としては表せない因子が存在します。

Cartier 因子と直線束

Cartier 因子の重要な側面は、直線束（階数 1 の局所自由層）との対応です。Cartier 因子 $D=\{(U_i,f_i)\}$ に対して、$U_i$ 上では ${\mathcal{O}}_X\cdot f_i^{-1}$ で生成される ${\mathcal{K}}_X$ の部分層を考え、貼り合わせ条件を使ってこれらを大域的に貼り合わせると、${\mathcal{O}}_X$ 加群の層 ${\mathcal{O}}_X(D)$ が得られます。この層は直線束、すなわち各点の近傍で ${\mathcal{O}}_X$ と同型になる層です。

この対応のもとで、Cartier 因子の線形同値は直線束の同型に対応します。したがって、Cartier 因子の類群はピカール群 $\mathrm{Pic}(X)$（$X$ 上の直線束の同型類がなすアーベル群）と同型になります。

この対応があるおかげで、因子の問題を層の問題に翻訳でき、コホモロジーなどの強力な道具が使えるようになります。リーマン・ロッホの定理をはじめとする代数幾何学の中心的な結果は、この因子と層の対応の上に成り立っています。

具体例 - 射影直線の場合

射影直線 ${\mathbb{P}}_k^1$（$k$ は代数閉体）の場合を見てみます。${\mathbb{P}}_k^1$ は滑らかなので、Weil 因子と Cartier 因子は一致します。

素因子は閉点 $[a:b]$ そのもので、Weil 因子は $D=\sum n_i{P}_i$（$P_i$ は閉点）の形です。有理関数 $f\in k(x{)}^{\ast }$ の主因子は、$f$ の零点と極を重複度込みで記録したものになります。

ここで重要な事実として、${\mathbb{P}}_k^1$ 上の任意の有理関数の主因子は次数 $0$ です。つまり零点の重複度の和と極の重複度の和が常に等しくなります。逆に、次数 $0$ の因子はすべて主因子になるため、Weil 因子類群は次数の情報だけで決まります。

$$\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}_k^1)\cong \mathbb{Z}$$

この同型は因子の次数写像 $\mathrm{deg}:\mathrm{Div}({\mathbb{P}}_k^1)\to \mathbb{Z}$ から誘導されます。直線束の言葉では、$\mathcal{O}(n)$（$n\in \mathbb{Z}$）がすべての直線束を尽くしており、$\mathrm{Pic}({\mathbb{P}}_k^1)\cong \mathbb{Z}$ となります。