零点と極を数え上げる（Weil 因子と Cartier 因子）

因子は、零点と極がどこに何重にあるかを 1 つの式に書き留めたものです。

集合として「ここで消える」と言うだけでは、重複度が落ちます。$x$ と $x^2$ の零点は同じ場所ですが、深さが違う。

その深さまで込みで記録するために、部分多様体に整数を割り当てます。以下では 2 通りの流儀を並べ、食い違う場面まで見ます。

素因子と Weil 因子

$X$ を整な局所ネータースキームとします。余次元 $1$ の整閉部分スキームを素因子といいます^[1]。

曲線なら点、曲面なら曲線、$n$ 次元なら $n-1$ 次元の部分多様体が素因子です。

Weil 因子は、素因子の整数係数の形式和です。

$$D=\sum _Y{n}_{Y}Y,n_Y\in \mathbb{Z}$$

$n_Y\ne 0$ となる $Y$ の族は局所有限とします^[1]。係数がすべて非負のとき有効因子といいます。

全体は素因子を基底とする自由アーベル群になり、$\mathrm{Div}(X)$ と書きます。

位数を測る

深さを与えるのが位数です。素因子 $Y$ に対応する局所環 ${\mathcal{O}}_{X,Y}$ をとります。

$Y$ は余次元 $1$ なので、この局所環は $1$ 次元です。$f\in {\mathcal{O}}_{X,Y}$ が $0$ でないとき、次で定めます^[1]。

$${\mathrm{ord}}_Y(f)=\mathrm{length}({\mathcal{O}}_{X,Y}/(f))$$

$X$ が正規なら ${\mathcal{O}}_{X,Y}$ は離散付値環になり、この長さは付値そのものです。付値の言葉で読めます。

有理関数へは商で伸ばします。$f=g/h$ に対して ${\mathrm{ord}}_Y(g)-{\mathrm{ord}}_Y(h)$ とすればよい。

零点なら正、極なら負の値になります。1 つの整数で両方を言い表しています。

主因子

有理関数から因子を作ります^[1]。

$$\mathrm{div}(f)=\sum _Y{\mathrm{ord}}_Y(f)Y$$

和は有限です。零点も極も、有限個の素因子にしか現れません。

$\mathrm{div}(fg)=\mathrm{div}(f)+\mathrm{div}(g)$ が成り立ちます。位数が積で足し算になるためです。

したがって主因子の全体は部分群をなします。この部分群で割ったものが因子類群です。

$$\mathrm{Cl}(X)=\mathrm{Div}(X)/\{\mathrm{div}(f)\}$$

同じ類に入る 2 つを線形同値といいます。関数で動かして重ねられる、という関係です。

例: 射影直線の主因子

$X={\mathbb{P}}^1$ で計算します。素因子は閉点です。

$f=\frac{x^2}{x-1}$ をとりましょう。$x=0$ で $2$ 位の零点、$x=1$ で $1$ 位の極があります。

無限遠も見ます。$s=1/x$ とすると $f=\frac{1/s^2}{1/s-1}=\frac{1}{s(1-s)}$ で、$s=0$ に $1$ 位の極があります。

$$\mathrm{div}(f)=2[0]-[1]-[\infty ]$$

係数の和は $2-1-1=0$ です。主因子の次数はいつでも $0$ になります。

逆に次数 $0$ の因子はすべて主因子です。したがって $\mathrm{Cl}({\mathbb{P}}^1)\cong \mathbb{Z}$ で、次数だけが残ります。

因子を絵にする

零点と極の並びを描いておきます。

上向きが零点、下向きが極です。棒の高さが位数にあたります。

主因子なら、上向きと下向きの合計が釣り合います。曲線がコンパクトであることの現れです。

例: 因子類群を 2 つ計算する

代表的な結果を並べます。

一意分解整域かどうかが効いています。$1$ 本の式で書けるなら主因子になり、類群がつぶれます。

Cartier 因子

もう 1 つの流儀は、局所的な式のデータとして定義します^[1]。

${\mathcal{M}}_X^{\times }$ を $0$ でない有理関数の層、${\mathcal{O}}_X^{\times }$ を可逆な正則関数の層とします。Cartier 因子は次の大域切断です。

$$\Gamma (X,{\mathcal{M}}_X^{\times }/{\mathcal{O}}_X^{\times })$$

具体的には、開被覆 $\{U_i\}$ と有理関数 $f_i\in {\mathcal{M}}_X^{\times }(U_i)$ の組で、重なりの上で $f_i/f_j$ が可逆な正則関数になるものです。

$f_i$ の選び方には可逆関数倍の自由があります。商層をとることで、その自由を吸収しています。

「局所的には 1 本の式で書ける」という条件が、定義に組み込まれた形です。

局所の式を貼り合わせる

貼り合わせのようすを動かします。

零点と極をどこへ動かしても、次数は $0$ のままです。${\mathbb{P}}^1$ ではこれらがすべて線形同値になります。

$f=(x-a)/(x-b)$ が、その 2 点を結ぶ有理関数です。$a$ と $b$ を動かすと、因子が連続的に移り変わります。

Cartier から Weil へ

2 つの流儀は写像で結ばれます^[1]。

Cartier 因子 $\{(U_i,f_i)\}$ に対して、各素因子 $Y$ で ${\mathrm{ord}}_Y(f_i)$ を読みます。$Y$ と交わる $U_i$ をどれか 1 つ選べばよく、貼り合わせ条件から結果は選び方によりません。

$f_i/f_j$ が可逆なので位数が $0$、だから重なりの上で値が一致するためです。

こうして Weil 因子が得られます。逆向きは、いつでも作れるとは限りません。

Weil 因子 $D$ が Cartier であることと、層 $\mathcal{O}(D)$ が可逆であることが同値です^[1]。

一致する条件

局所環が一意分解整域なら、2 つは一致します^[1]。

このとき余次元 $1$ の部分多様体は局所的に $1$ 本の式で書けます。局所的に主因子なので Cartier です。

正則局所環は一意分解整域でした^[5]。したがって滑らかな多様体では、Weil 因子と Cartier 因子が完全に一致します。

特異点があると崩れます。次の例が典型です。

例: 二次錐で食い違う

$X:xy=z^2$ を ${\mathbb{A}}^3$ の中で考えます。原点が特異点です。

$D$ を $x=z=0$ で定まる直線とします。$X$ の上で余次元 $1$ なので Weil 因子です。

$D$ は原点の近くで主因子になりません^[1]。$x=0$ は集合として $D$ を切り出しますが、重複度が $2$ になるためです。

$$\mathrm{div}(x)=2D$$

$2D$ は主因子ですが $D$ は主因子ではない。したがって $[D]$ は位数 $2$ の元になります。

$$\mathrm{Cl}(X)\cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z}$$

$D$ は Weil 因子でありながら Cartier 因子ではありません。原点で $1$ 本の式に書けないためです。

直線束との対応

Cartier 因子のいちばんの効きどころが、直線束との対応です^[1]。

$D=\{(U_i,f_i)\}$ に対して、$U_i$ の上で $f_i^{-1}$ が生成する ${\mathcal{M}}_X$ の部分層をとり、貼り合わせます。できた層 $\mathcal{O}(D)$ は可逆層、つまり階数 $1$ の局所自由層です^[3]。

線形同値な Cartier 因子は、同型な直線束を与えます。逆に、整なネータースキームの上ではどの直線束もある Cartier 因子から来ます^[1]。

したがって Cartier 因子の類群がピカール群と同型になります。

$$\mathrm{Pic}(X)\cong \{\text{Cartier 因子}\}/\{\text{主因子}\}$$

${\mathbb{P}}^1$ なら $\mathrm{Pic}\cong \mathbb{Z}$ で、$n$ に対応するのが $\mathcal{O}(n)$ です^[3]。

因子の問題が層の問題に翻訳され、コホモロジーが使えるようになります。

有効因子という見方

係数が非負の因子には、別の定義もあります^[2]。

有効 Cartier 因子とは、イデアル層が可逆になる閉部分スキームのことです。局所的に $1$ 本の非零因子で切り出される、という条件になります。

この定義なら、整でないスキームや被約でないスキームでも扱えます。位数を使わずに済むためです。

一般の Cartier 因子は、有効なもの 2 つの差として書けます。分子と分母に分けた形です。

次数とサイクル

曲線の場合、因子の次数が基本的な不変量になります。

$\mathrm{deg}D=\sum n_Y$ と定めると、主因子の次数は $0$ です。だから次数は類の上で決まります。

因子類群は、余次元 $1$ の Chow 群にほかなりません^[4]。${\mathrm{CH}}_{n-1}(X)=\mathrm{Cl}(X)$ が成り立ちます。

サイクルの理論から見ると、因子は余次元 $1$ の場合にあたります。いちばん扱いやすい場合として、古くから調べられてきました。

練習

滑らかな点だけを見ているうちは、この差に出会いません。特異点で初めて 2 つが分かれます。

よくある誤り

まとめます。

局所的に 1 本の式で書けるか。Cartier かどうかは、この問いだけで決まります。

参考文献