デデキント整域における素イデアル分解の一意性を証明し、整数の素因数分解との類似を明確にする

体上の付値と絶対値の概念を定義し、p 進付値やアルキメデス的・非アルキメデス的の区別を解説する

被積分関数が偶関数か奇関数かによって、対称区間 $[-a, a]$ での定積分を簡単に処理できる性質があります。奇関数なら積分値...

1 つの曲線と $x$ 軸にはさまれた面積は定積分で求められますが、2 つの曲線にはさまれた領域の面積も同じ考え方で計算できます...

定積分には、積分区間を途中で分割したり、逆に 2 つの区間を 1 つにまとめたりできる性質があります。この性質は面積の計算で自然...

不定積分には、和・差・定数倍に関する便利な公式があります。これらは微分の線形性とちょうど対応しており、複雑な式の積分を部分ごとに...

Galois 拡大における不分岐素イデアルのフロベニウス元を定義し、その性質と応用を解説する

素イデアルの分解を Galois 群の部分群で捉える枠組みを解説する

群は代数的な対象ですが、適切なグラフを対応させることで幾何学的に「見る」ことができます。Cayley グラフは群の元を頂点、生成...

平面ベクトルの内積は 2 次元の成分で計算しますが、空間ベクトルでは 3 次元に拡張されます。計算の構造は同じで、成分が 1 つ...

三角形の面積は「底辺 × 高さ ÷ 2」で求められますが、座標やベクトルが与えられている場合、高さを直接求めるのは手間がかかりま...

代数幾何では、幾何学的対象（代数多様体）を可換環（座標環）を通じて研究します。曲線や曲面の形状・特異点・交叉といった幾何学的性質...

三角形の重心は 3 つの中線が交わる点で、位置ベクトルを使うと非常にシンプルな公式で表せます。この公式は図形問題で繰り返し登場す...

二重に並んだ数の和 $\sum_{m,n} a_{mn}$ を計算するとき、「先に $m$ で足してから $n$ で足す」のと「...

可換環のイデアルに関する完備化は、局所化と並ぶ重要な「環を変える」操作です。完備化と平坦性の間には深い関係があり、特にネーター環...

群論には未解決だった期間の長さや問題の深さで際立つ問いがいくつかありますが、Burnside 問題はその代表格です。問い自体は素...

座標平面上の点を扱うとき、原点からのベクトルを「位置ベクトル」と呼びます。位置ベクトルを使うと、線分の内分点や外分点の座標を公式...

2 つのベクトルが平行か垂直かを判定する場面は、図形問題や座標平面上の計算で頻繁に登場します。判定には「実数倍」と「内積」という...

可換環上の加群を調べるとき、自由加群の概念だけでは不十分な場面が多く現れます。局所自由加群と有限表示加群は、自由加群を一般化しつ...

冪等元は $e^2 = e$ を満たす元であり、環の直積分解やイデアルの分裂と直結する概念です。前回の記事では冪等元と直積の関係...

代数幾何学では、曲線や曲面の上にある「特別な場所」を代数的に記述する道具が必要になります。たとえば、ある関数が零点を持つ場所や極...

可換環の直積は、複数の環を組にして新しい環を作る操作です。逆に、1 つの環がいつ直積に分解できるかという問題は、冪等元の理論と密...

群の表現とは、群の元をベクトル空間上の線型変換として実現することです。抽象的な群の構造を、行列という具体的で計算しやすい対象に翻...

中国剰余定理は整数論でよく知られた定理ですが、可換環の言葉で定式化すると、イデアルの互いに素という条件のもとで剰余環が直積に分解...