数列が収束するかどうかを判定したいとき、極限値そのものがわからなくても判定できる方法があります。「項どうしの距離がどんどん近づい...

数列の極限を考えるとき、収束しない数列には通常の意味での極限値が存在しません。しかし、どんな有界数列にも「上側からの極限」と「下...

放物線 $y^2 = 4px$ 上の点は、1 つのパラメータ $t$ を使って $(pt^2,\ 2pt)$ と表せます。この媒...

放物線は、ある定点（焦点）とある定直線（準線）からの距離が等しい点の軌跡として定義されます。この定義から放物線の標準形の方程式を...

通常の順列や組み合わせでは、一度選んだものは再び選べません。しかし実際には「同じものを何度でも選べる」場面が多くあります。サイコ...

5 人を一列に並べる順列は $5! = 120$ 通りです。では、5 人が円形のテーブルに座る場合はどうなるでしょうか。一列に並...

三角比の値がわかっていて、その値をとる角度 $\theta$ を求める問題を三角方程式といいます。数学 I の範囲では $0° ...

三角形の面積といえば「底辺 × 高さ ÷ 2」が基本ですが、高さが直接わからない三角形も多くあります。2 辺の長さとその間の角が...

漸化式で定義された数列が収束するとき、その極限値を求める定番の手法があります。「収束するならば極限値は $\alpha$ である...

極限を直接計算するのが難しい数列や関数に対して、上下から別の式で挟み込むことで極限を確定させる手法があります。これが**はさみう...

等比数列の各項をすべて足し合わせたものを**無限等比級数**といいます。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a, ar, ...

数列 $\{a_n\}$ において、$n$ を限りなく大きくしたとき、$a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近...

三角比には $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の 3 つがありますが、これらは互いに...

被覆空間の定義を述べ、円周や トーラスなどの具体例を通じてその構造を解説します。

連立一次不等式は、複数の不等式を同時に満たす $x$ の範囲を求める問題です。方程式の連立と違って「解が範囲で出る」のが特徴で、...

二次方程式を解く方法はいくつかありますが、因数分解が使える場合はそれが最も速い解法です。特に $ax^2 + bx + c = ...

可算集合と非可算集合の定義を述べ、Cantorの対角線論法による実数の非可算性の証明を解説します。

集合論の三大同値命題である選択公理・Zornの補題・整列可能定理の内容と、それらが互いに同値であることの証明の流れを解説します。

絶対値つきの不等式は、一見すると難しそうに見えますが、絶対値の意味を正しく理解すれば機械的に解くことができます。ここでは場合分け...

二次方程式 $ax^2 + bx + c = 0$ の 2 つの解を $\alpha, \beta$ とするとき、解を直接求めな...

ラプラス変換の基本性質と公式を学んだところで、いよいよ微分方程式を実際に解いていきます。ラプラス変換による解法の最大の強みは、初...

変数分離法は偏微分方程式を解くための最も基本的な手法です。「偏微分方程式を常微分方程式に帰着させる」という発想自体は明快ですが、...

非同次線形微分方程式の特殊解を求める方法として、未定係数法と定数変化法の 2 つを学びました。理論を理解していても、実際に手を動...

前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...