ベクトルの平行条件と垂直条件 - 高校数学での判定方法

2 つのベクトルが平行か垂直かを判定する場面は、図形問題や座標平面上の計算で頻繁に登場します。判定には「実数倍」と「内積」という 2 つの道具を使いますが、それぞれどの場面で使うかを整理しておくことが重要です。

平行条件 - 実数倍の関係

2 つのベクトル $a$ と $b$ が平行であるとは、一方が他方の実数倍になっていることを意味します。つまり、ある実数 $k$ が存在して

$b = k a (a \neq = 0)$

が成り立つとき、 $a ∥ b$ と書きます。 $k > 0$ なら同じ向き、 $k < 0$ なら逆向きです。

同じ向きの平行

$k > 0$ のとき、 $a$ と $b$ は同じ方向を指す。たとえば $b = 3 a$ なら、 $b$ は $a$ の 3 倍の長さで同方向。

逆向きの平行

$k < 0$ のとき、 $a$ と $b$ は反対方向を指す。たとえば $b = - 2 a$ なら、 $b$ は $a$ の 2 倍の長さで逆方向。

成分表示での平行条件

$a = (a_{1}, a_{2})$ 、 $b = (b_{1}, b_{2})$ と成分で表されているとき、 $b = k a$ は各成分について $b_{1} = k a_{1}$ 、 $b_{2} = k a_{2}$ を意味します。ここから $k$ を消去すると

$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$

という条件が得られます。この式は「たすき掛けの差がゼロ」と覚えると使いやすいです。

たとえば $a = (2, 3)$ 、 $b = (4, 6)$ の場合、 $2 \times 6 - 3 \times 4 = 12 - 12 = 0$ なので平行だと判定できます。実際 $b = 2 a$ です。

垂直条件 - 内積がゼロ

2 つのベクトル $a$ と $b$ が垂直であるとは、内積が 0 になることです。

$a \cdot b = 0 \Leftrightarrow a ⊥ b$

内積の定義 $a \cdot b = ∣ a ∣∣ b ∣ cos θ$ から考えると、 $cos 90° = 0$ なので内積が 0 になるのは自然な結果です。

成分表示では

$a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

が垂直条件になります。

たとえば $a = (3, 4)$ 、 $b = (4, - 3)$ の場合、 $3 \times 4 + 4 \times (- 3) = 12 - 12 = 0$ なので垂直です。

平行と垂直の判定をまとめる

条件	成分での式
平行 $a ∥ b$	$a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$
垂直 $a ⊥ b$	$a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$

平行条件は「たすき掛けの差」、垂直条件は「成分同士の積の和」で、どちらもシンプルな式です。混同しやすいため、平行は「交差して掛ける」、垂直は「そのまま掛けて足す」と区別して覚えると確実です。

例題 1：平行なベクトルの成分を求める

$a = (2, - 1)$ と $b = (x, 3)$ が平行であるとき、 $x$ の値を求めます。

平行条件 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ に代入すると

$2 \times 3 - (- 1) \times x = 0$

$6 + x = 0$

$x = - 6$

検算として $b = (- 6, 3) = - 3 (2, - 1) = - 3 a$ が確認でき、確かに平行（逆向き）になっています。

例題 2：垂直なベクトルの成分を求める

$a = (1, 2)$ と $b = (t, - 3)$ が垂直であるとき、 $t$ の値を求めます。

垂直条件 $a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} = 0$ に代入すると

$1 \times t + 2 \times (- 3) = 0$

$t - 6 = 0$

$t = 6$

内積を計算すると $1 \times 6 + 2 \times (- 3) = 6 - 6 = 0$ で確かに垂直です。

例題 3：平行条件と垂直条件の使い分け

3 点 $A (1, 2)$ 、 $B (3, 5)$ 、 $C (4, a)$ について、 $AB ⊥ AC$ となる $a$ の値を求めます。

まず各ベクトルの成分を計算します。

$AB = (3 - 1, 5 - 2) = (2, 3)$

$AC = (4 - 1, a - 2) = (3, a - 2)$

垂直条件から

$2 \times 3 + 3 \times (a - 2) = 0$

$6 + 3 a - 6 = 0$

$3 a = 0$

$a = 0$

よって $C (4, 0)$ のとき、 $AB$ と $AC$ は垂直になります。

$a = (4, - 2)$ と $b = (3, k)$ が平行であるとき、 $k$ の値はいくつですか？

$k = 6$
$k = - 6$
$k = - \frac{3}{2}$
$k = \frac{3}{2}$

__RESULT__

平行条件 $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ より、 $4 k - (- 2) \times 3 = 4 k + 6 = 0$ を解いて $k = - \frac{3}{2}$ です。検算すると $b = (3, - \frac{3}{2}) = \frac{3}{4} (4, - 2) = \frac{3}{4} a$ で確かに平行です。

零ベクトルに関する注意

平行条件 $b = k a$ は $a \neq = 0$ を前提としています。零ベクトル $0$ は大きさが 0 で方向が定まらないため、平行・垂直の議論の対象外です。一方、垂直条件 $a \cdot b = 0$ は零ベクトルでも形式的に成り立ちますが、「零ベクトルはすべてのベクトルに垂直」というのは便宜的な扱いであり、図形的な意味での垂直とは異なります。問題文で $a \neq = 0$ 、 $b \neq = 0$ が明記されていない場合でも、平行・垂直の判定では非零ベクトルを想定するのが一般的です。