三角形の重心と位置ベクトル - 高校数学での求め方

三角形の重心は 3 つの中線が交わる点で、位置ベクトルを使うと非常にシンプルな公式で表せます。この公式は図形問題で繰り返し登場するため、導出の流れとともに身につけておく価値があります。

重心の定義

三角形の重心とは、各頂点と対辺の中点を結ぶ線分（中線）が交わる 1 点のことです。3 本の中線は必ず 1 点で交わり、その交点が重心になります。

重心には「各中線を $2:1$ に内分する」という性質があります。頂点側から測って $2$、対辺の中点側が $1$ です。

重心の位置ベクトル

三角形 $\mathrm{ABC}$ の頂点の位置ベクトルをそれぞれ $\vec{a}$、$\vec{b}$、$\vec{c}$ とすると、重心 $\mathrm{G}$ の位置ベクトル $\vec{g}$ は

$$\vec{g}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$

で表されます。3 つの位置ベクトルの平均という、覚えやすい形です。

公式の導出

辺 $\mathrm{BC}$ の中点を $\mathrm{M}$ とします。$\mathrm{M}$ の位置ベクトルは

$$\vec{m}=\frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}$$

です。重心 $\mathrm{G}$ は中線 $\mathrm{AM}$ を $\mathrm{A}$ 側から $2:1$ に内分する点なので、前回の内分点の公式を使うと

$$\vec{g}=\frac{1\cdot \vec{a}+2\cdot \vec{m}}{2+1}=\frac{\vec{a}+2\cdot \frac{\vec{b}+\vec{c}}{2}}{3}=\frac{\vec{a}+\vec{b}+\vec{c}}{3}$$

辺 $\mathrm{AB}$ や辺 $\mathrm{AC}$ の中点から出発しても同じ結果になります。どの中線を使っても重心は同じ点に定まるということが、この計算からも確認できます。

座標での計算

位置ベクトルを成分で書けば、重心の座標は各頂点の座標の平均になります。$\mathrm{A}(x_1,y_1)$、$\mathrm{B}(x_2,y_2)$、$\mathrm{C}(x_3,y_3)$ のとき

$$\mathrm{G}\left(\frac{x_1+x_2+x_3}{3},\frac{y_1+y_2+y_3}{3}\right)$$

です。ベクトルの公式と座標の公式はまったく同じことを言っています。

例題 1：重心の座標を求める

$\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(4,8)$、$\mathrm{C}(7,-1)$ の三角形の重心 $\mathrm{G}$ の座標を求めます。

$$\mathrm{G}=\left(\frac{1+4+7}{3},\frac{2+8+(-1)}{3}\right)=\left(\frac{12}{3},\frac{9}{3}\right)=(4,3)$$

例題 2：重心の条件から頂点を求める

三角形 $\mathrm{ABC}$ の重心が $\mathrm{G}(3,5)$ で、$\mathrm{A}(1,2)$、$\mathrm{B}(6,4)$ のとき、$\mathrm{C}$ の座標を求めます。

$\mathrm{C}(x,y)$ とおくと、重心の公式から

$$\frac{1+6+x}{3}=3,\frac{2+4+y}{3}=5$$

それぞれ解くと

$$7+x=9\Rightarrow x=2$$

$$6+y=15\Rightarrow y=9$$

よって $\mathrm{C}(2,9)$ です。

検算として $\mathrm{G}=\left(\frac{1+6+2}{3},\frac{2+4+9}{3}\right)=\left(\frac{9}{3},\frac{15}{3}\right)=(3,5)$ で一致します。

例題 3：重心が中線を 2:1 に内分することの確認

$\mathrm{A}(0,0)$、$\mathrm{B}(6,0)$、$\mathrm{C}(3,6)$ の三角形で、重心が各中線を $2:1$ に内分していることを確認します。

まず重心の座標は

$$\mathrm{G}=\left(\frac{0+6+3}{3},\frac{0+0+6}{3}\right)=(3,2)$$

辺 $\mathrm{BC}$ の中点 $\mathrm{M}$ は

$$\mathrm{M}=\left(\frac{6+3}{2},\frac{0+6}{2}\right)=\left(\frac{9}{2},3\right)$$

中線 $\mathrm{AM}$ 上で $\mathrm{G}$ が $\mathrm{A}$ から $2:1$ の位置にあるか確認します。

$$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=(3,2),\overrightarrow{\mathrm{GM}}=\left(\frac{9}{2}-3,3-2\right)=\left(\frac{3}{2},1\right)$$

$\overrightarrow{\mathrm{AG}}=2\cdot \overrightarrow{\mathrm{GM}}$ が成り立つので、$\mathrm{AG}:\mathrm{GM}=2:1$ です。

同様に辺 $\mathrm{AC}$ の中点 $\mathrm{N}=\left(\frac{3}{2},3\right)$ を用いた中線 $\mathrm{BN}$ でも確認できます。

$$\overrightarrow{\mathrm{BG}}=(-3,2),\overrightarrow{\mathrm{GN}}=\left(\frac{3}{2}-3,3-2\right)=\left(-\frac{3}{2},1\right)$$

$\overrightarrow{\mathrm{BG}}=2\cdot \overrightarrow{\mathrm{GN}}$ なので、こちらも $2:1$ に内分しています。

重心の位置ベクトルによる表し方

座標が与えられていない場合でも、位置ベクトルを使って重心に関する式を立てることができます。重心 $\mathrm{G}$ については

$$\overrightarrow{\mathrm{GA}}+\overrightarrow{\mathrm{GB}}+\overrightarrow{\mathrm{GC}}=\vec{0}$$

が成り立ちます。これは重心の重要な性質で、「重心から各頂点へ向かうベクトルの和がゼロになる」ことを意味しています。

この性質は、座標を持ち出さずに図形の性質を証明する場面で役に立ちます。たとえば「ある点が重心であること」を示すには、その点から 3 頂点へのベクトルの和が $\vec{0}$ になることを示せば十分です。