比熱と熱容量の違い - 公式・物質ごとの値・熱量の保存

同じ火にかけても、水はなかなか熱くならないのに、フライパンはすぐ熱くなります。同じ熱を受けても温度の上がり方が違う。

その違いを表す量が比熱です。物体ごとにまとめた量が熱容量になる。

$Q = m c Δ T = C Δ T$

以下では熱と温度の区別から始め、熱容量と比熱の違いを押さえ、熱量の保存で混合の問題を解けるところまで進みます。

熱と温度は別のもの

温度は物体の熱さの度合いで、単位は $K$ か $^{\circ} C$ です。分子がどれくらい激しく動いているかを表す量。

熱は移動するエネルギーで、単位は $J$ です。高温の物体から低温の物体へ流れる。

$100^{\circ} C$ の湯 $1 g$ と $100^{\circ} C$ の湯 $1 kg$ は同じ温度ですが、持っているエネルギーは 1000 倍違います。温度が同じでも熱の量は違う。

「熱が高い」という言い方はしません。高いのは温度で、熱は量として多い少ないと言う。

触れさせておくと温度がそろう

温度の違う 2 つの物体を触れさせると、高いほうから低いほうへ熱が流れます。やがて同じ温度で落ち着く。

この状態を熱平衡といいます。温度という量が測れるのは、熱平衡が推移的に成り立つおかげです。A と B がつり合い、B と C がつり合えば、A と C もつり合う。

落ち着く温度は真ん中とは限りません。温まりにくい側へ寄る。

左は温まりにくく冷めにくい物体、右はその逆です。落ち着く先が左に近い位置になっている。

どちらへどれだけ寄るかを決める量が、次に見る熱容量です。

熱容量

その物体の温度を $1 K$ 上げるのに要る熱を熱容量といいます。記号は $C$ 、単位は $J/K$ 。

$Q = C Δ T$

熱容量は物体ごとの量です。同じ鉄でも、大きいかたまりのほうが熱容量は大きい。

$Δ T$ は温度差なので、 $^{\circ} C$ で測っても $K$ で測っても同じ値になります。差をとる場面では単位を直す必要がない。

比熱

物質 $1 g$ の温度を $1 K$ 上げるのに要る熱を比熱といいます。記号は $c$ 、単位は $J/ (g \cdot K)$ 。

質量 $m$ の物体なら、熱容量は比熱に質量を掛けたものになる。

$C = m c$

$Q = m c Δ T$

比熱は物質で決まる量です。鉄なら大きさによらず $0.45 J/ (g \cdot K)$ で変わらない。

熱容量と比熱の違い

混同しやすいところなので、図で分けておく。

左の組は同じ鉄で、質量だけが 2 倍です。熱容量は 2 倍になりますが、比熱は同じ $0.45$ のまま。

右の組は同じ $100 g$ で、物質が違います。比熱が違うので熱容量も違う。

物質の性質を言いたいときは比熱、目の前の物体について言いたいときは熱容量を使う。

例：水を温めるのに要る熱

$20^{\circ} C$ の水 $500 g$ を $80^{\circ} C$ まで温めます。水の比熱を $4.2 J/ (g \cdot K)$ とする。

温度差は $60 K$ です。

$Q = 500 \times 4.2 \times 60 = 1.26 \times 1 0^{5} J$

$126 kJ$ が要ります。 $1000 W$ の電気ケトルなら、すべてが水に入るとして $126$ 秒。実際は容器も温まるのでもう少しかかる。

物質によって比熱が違う

主な物質の比熱を並べる。どれも $25^{\circ} C$ での値です。

物質	比熱 J/(g·K)	熱容量 100 g あたり
水	4.18	418 J/K
氷	2.05	205 J/K
エタノール	2.44	244 J/K
空気	1.01	101 J/K
アルミニウム	0.90	90 J/K
ガラス	0.84	84 J/K
鉄	0.45	45 J/K
銅	0.39	39 J/K
鉛	0.13	13 J/K

高校の問題では水を $4.2$ 、鉄を $0.45$ に丸めて使うことが多い。

水の棒だけが突き出ています。鉄のおよそ 9 倍、鉛の 32 倍。

金属はどれも低い値です。だからスプーンは湯につけるとすぐ熱くなり、口に運ぶころには冷めている。

例：同じ熱を加えて比べる

$100 g$ の水と $100 g$ の鉄に、それぞれ $4200 J$ ずつ加えます。

水のほうは温度差が次のようになる。

$Δ T = \frac{4200}{100 \times 4.2} = 10 K$

$Δ T = \frac{4200}{100 \times 0.45} = 93 K$

鉄は $93 K$ も上がりました。同じ熱を入れても、比熱が小さいほど温度が跳ね上がる。

同じ質量の水と鉄を、同じ火で同じ時間だけ熱しました。温度が高くなるのはどちらですか。

水
鉄
どちらも同じ
火の強さで決まる

__RESULT__

同じ熱を受けたとき、 $Δ T = Q / (m c)$ は比熱に反比例します。鉄の比熱は水の 9 分の 1 ほどなので、温度は 9 倍近く上がります。

水の比熱が大きいこと

水の比熱が高いのは、分子どうしが水素結合で結ばれているからです。加えた熱の一部が結合をゆるめるほうへ回り、そのぶん温度が上がりにくくなる。

この性質が気候を左右します。海は温まりにくく冷めにくいので、まわりの気温の振れ幅を小さく抑える。

砂浜は昼に足を置けないほど熱くなり、夜には冷えきります。すぐ隣の海はほとんど動かない。

海に近い土地の気温が内陸より穏やかなのも、同じ理由です。湯たんぽに水を使うのも、大きな熱容量に熱をためられるからになります。

熱量の保存

外へ熱が逃げない状態で 2 つの物体を触れさせると、片方が失った熱と、もう片方が得た熱が等しくなります。これを熱量の保存という。

高温側を $m_{1}, c_{1}, t_{1}$ 、低温側を $m_{2}, c_{2}, t_{2}$ 、落ち着く温度を $t$ とすると、次の式になる。

$m_{1} c_{1} (t_{1} - t) = m_{2} c_{2} (t - t_{2})$

左辺も右辺も正の値になるよう、温度差を引く向きに気をつけて書きます。高温側は $t_{1} - t$ 、低温側は $t - t_{2}$ 。

例：お湯と水を混ぜる

$80^{\circ} C$ の湯 $200 g$ と $20^{\circ} C$ の水 $300 g$ を混ぜます。落ち着く温度を求める。

どちらも水なので比熱は共通で、式から消える。

$200 \times (80 - t) = 300 \times (t - 20)$

$16000 - 200 t = 300 t - 6000$

$t = 44^{\circ} C$

真ん中の $50^{\circ} C$ より低くなりました。量の多い水のほうへ引っぱられている。

赤と青の棒がいつも同じ長さで伸びていきます。片方が失った分だけ、もう片方が受けとっている。

温度のほうは同じ幅では動きません。湯は $36 K$ 下がり、水は $24 K$ しか上がらない。質量が違うからです。

例：金属の比熱を測る

$100^{\circ} C$ に熱した金属 $200 g$ を、 $20^{\circ} C$ の水 $300 g$ に入れました。全体が $25^{\circ} C$ で落ち着いたとする。

金属が失った熱と水が得た熱を等しく置く。

$200 \times c \times (100 - 25) = 300 \times 4.2 \times (25 - 20)$

$15000 c = 6300$

$c = 0.42 J/ (g \cdot K)$

鉄の $0.45$ に近い値が出ました。この手順が比熱の測り方そのものです。

外側との間に断熱材をはさみ、熱が逃げないようにします。かき混ぜ棒は水の温度を場所によらず同じにするためのもの。

内側の容器も温度計もいっしょに温まります。きちんと測るなら、その分を式に入れる必要がある。

容器の熱容量を忘れない

問題文に容器の熱容量が書いてあれば、低温側にまとめて足す。容器は水と同じ温度変化をするからです。

容器の熱容量を $C_{0}$ と書くと、次の形になります。

$m_{1} c_{1} (t_{1} - t) = (m_{2} c_{2} + C_{0}) (t - t_{2})$

$C_{0}$ は $J/K$ の値なので、質量を掛けません。ここで $m$ を掛けてしまう誤りが多い。

例：容器を含めて解く

熱容量 $80 J/K$ の容器に $20^{\circ} C$ の水 $200 g$ が入っています。そこへ $90^{\circ} C$ の湯 $100 g$ を注ぐ。

容器は水と同じ $20^{\circ} C$ から温まる。

$100 \times 4.2 \times (90 - t) = (200 \times 4.2 + 80) (t - 20)$

$420 (90 - t) = 920 (t - 20)$

$t = 42^{\circ} C$

容器を無視して解くと $43.3^{\circ} C$ になります。 $1.3 K$ のずれ。容器が熱を分けとった分だけ低くなっている。

カロリーとジュール

熱の単位にはカロリーもあります。水 $1 g$ を $1^{\circ} C$ 上げる熱が $1 cal$ で、 $4.184 J$ にあたる。

定義がこうなっているので、水の比熱はカロリーで測るとちょうど $1 cal/ (g \cdot K)$ です。

$1 cal = 4.2 J$

物理では $J$ を使います。食品の表示に出るカロリーは $1000$ 倍の $kcal$ で、記号が大文字の $Cal$ になっていることもある。

1 mol あたりで測ることもある

気体を扱うときは、質量ではなく物質量で割った値を使う。 $1 mol$ を $1 K$ 上げる熱がモル比熱です。

固体や液体では $1 g$ あたりの比熱、気体では $1 mol$ あたりのモル比熱。どちらで割ったかで数値がまるで変わるので、単位を見て見分けます。

気体では体積を止めるか圧力を止めるかでも値が変わる。固体や液体ではその差がほとんどないので、区別せずに 1 つの比熱を使います。

よくある誤り

最後に、間違えやすいところを並べます。

熱容量と比熱をとり違える。熱容量は物体の量で

J/K

、比熱は物質の量で

J/ (g \cdot K)

です。

容器の熱容量に質量を掛ける。

C

はすでに物体全体の値なので、そのまま使います。

混ぜた温度を平均で出す。質量や比熱が違えば真ん中にはなりません。

温度差を K に直そうとする。

Δ T

は差なので

^{\circ} C

のままで同じ値です。

熱と温度を同じものと考える。温度が同じでも、質量が違えば持つエネルギーは違います。

高温側の温度差を

t - t_{1}

と書く。負になるので、

t_{1} - t

と書きます。

比熱が温度によらない定数だと思う。厳密には温度で変わりますが、高校では一定として扱います。

水の比熱を

1

のまま J で計算する。

J

なら

4.2

、

cal

なら

1

です。

質量の単位を混ぜる。比熱が

J/ (g \cdot K)

なら質量も

g

でそろえます。

参考文献

Specific heat capacity - Wikipedia

Heat capacity - Wikipedia

Table of specific heat capacities - Wikipedia

Calorimetry - Wikipedia

Zeroth law of thermodynamics - Wikipedia

Properties of water - Wikipedia

Calorie - Wikipedia

Spezifische Wärmekapazität - Wikipedia（ドイツ語）

Capacité thermique massique - Wikipédia（フランス語）

熱容量は物体で決まり、比熱は物質で決まります。$Q = mc\Delta T$ と $C = mc$ の使い分け、主な物質の比熱、湯と水を混ぜたときの温度、容器の熱容量を含めた解き方を高校物理の範囲で解説します。