熱の伝わり方と熱膨張｜伝導・対流・放射と線膨張率

熱いスープに金属のスプーンを差しておくと、柄まで熱くなります。ストーブの前に立つと、間の空気が冷たくても顔が熱い。

同じ「熱が伝わる」でも仕組みが違います。伝わり方は 3 つに分けられる。

温度が変われば物の長さも変わる。この記事では伝わり方と膨張の両方を扱います。

伝わり方は 3 つ

熱の伝わり方は伝導、対流、放射の 3 つに分けられます。どれも高温から低温へ向かう。

伝導と対流には間をつなぐ物が要ります。放射だけは真空を越えられる。太陽の熱が届くのも放射です。

実際の場面では 3 つが混ざっています。やかんの湯なら、火から鍋底へ伝導、鍋の中で対流、外へ放射。

伝導

固体の中を、物が動かないまま熱が伝わる伝わり方です。分子はその場で震えているだけで、動いているのは振動の勢いだけ。

白い点の位置は動きません。震えが大きくなるだけで、その勢いが隣へ次々と渡っていく。

金属では自由に動ける電子もいっしょに運ぶので、伝導が特に速くなる。金属がよく熱を伝えるのはこの電子のはたらきです。

フーリエの法則

厚さ $d$、断面積 $S$ の板の両側に温度差 $\Delta T$ があるとき、単位時間に伝わる熱は次のように書ける。

$$\frac{Q}{t}=\lambda \frac{S\Delta T}{d}$$

$\lambda$ は熱伝導率で、単位は $W/(\mathrm{m}\cdot \mathrm{K})$ です。物質ごとに決まる値。

薄いほど、広いほど、温度差が大きいほど熱がよく通る。厚さが分母にあるところが要点で、断熱材を厚くすると効くのはここです。

例：窓ガラスと発泡スチロール

面積 $2.0{\mathrm{m}}^2$、内外の温度差 $20\mathrm{K}$ として比べる。

厚さ $3.0\mathrm{mm}$ のガラスは $\lambda =0.90$ です。

$$\frac{Q}{t}=0.90\times \frac{2.0\times 20}{0.0030}=1.2\times 10^4\mathrm{W}$$

厚さ $30\mathrm{mm}$ の発泡スチロールは $\lambda =0.040$ になる。

$$\frac{Q}{t}=0.040\times \frac{2.0\times 20}{0.030}=53\mathrm{W}$$

$225$ 倍の差が付きました。ガラスの $1.2\times 10^4\mathrm{W}$ は現実には出ません。両面に張りつく空気の層が効いて、実際はずっと小さくなる。

それでも窓が弱点だという結論は変わりません。だから二重ガラスにして、間に空気をはさむ。

熱伝導率の違い

主な物質の熱伝導率を並べる。桁が大きく違うので、対数の目盛りで描きました。

金属が飛び抜けて大きく、気体がいちばん小さい。銅と空気では 1 万 6 千倍の開きがあります。

断熱材が効くのは、中に細かい空気をたくさん閉じこめているからです。空気そのものが動けなければ、対流も起こらない。

セーターや羽毛が暖かいのも同じ理屈です。繊維ではなく、繊維がつかまえた空気が効いている。

対流

液体や気体では、温まった部分そのものが動いて熱を運ぶ。これが対流です。

温まると膨張して密度が小さくなり、浮力で上がる。冷えた部分が下りてきて、循環が生まれます。

赤い粒が上がり、青くなって下りてきます。運んでいるのは熱ではなく、熱を持った分子そのもの。

固体では対流が起こりません。分子が動けないので、伝導しか残らない。

外から動かさない対流を自然対流、扇風機やポンプで動かすものを強制対流という。エアコンや車のラジエーターが強制対流です。

放射

物はどれも、温度に応じて電磁波を出しています。これが放射で、間に何もなくても伝わる。

太陽から地球へ熱が届くのは放射です。宇宙空間には伝導も対流も担う物がありません。

放射で出ていく電力は、絶対温度の 4 乗に比例する。

$$P=\epsilon \sigma S{T}^4$$

$\sigma$ はシュテファン・ボルツマン定数で $5.67\times 10^{-8}W/({\mathrm{m}}^2\cdot {\mathrm{K}}^4)$。

$\epsilon$ は放射率で、$0$ から $1$ の値をとります。

まわりからも放射を受けるので、正味の出入りは差になる。

$$P=\epsilon \sigma S(T^4-T_0^4)$$

例：体から出ていく放射

表面積 $1.8{\mathrm{m}}^2$、表面温度 $33{}^{\circ }\mathrm{C}$ の人が、$20{}^{\circ }\mathrm{C}$ の部屋にいるとします。放射率を $1$ として正味の放射を求める。

温度を $\mathrm{K}$ に直すと $306\mathrm{K}$ と $293\mathrm{K}$ です。

$$P=5.67\times 10^{-8}\times 1.8\times (306^4-293^4)$$

$$P=1.4\times 10^2\mathrm{W}$$

$140\mathrm{W}$ ほどが体から出ていきます。白熱電球 2 個ぶんの熱を、じっとしていても放している。

$4$ 乗が効くので、温度が少し違うだけで大きく変わります。部屋の温度を $2\mathrm{K}$ 上げると、この値は $20\mathrm{W}$ ほど減る。

熱膨張

温度が上がると、たいていの物は伸びます。分子の震えが大きくなり、たがいの平均の間隔が広がるからです。

長さの変わり方は、もとの長さと温度差に比例する。

$$\Delta l=\alpha l\Delta T$$

$\alpha$ は線膨張率で、単位は $1/K$ です。金属では $10^{-5}$ の桁になる。

表の値は $10^{-6}/K$ を単位にしています。

鉄筋コンクリートが成り立つのは、鉄とコンクリートの線膨張率がほぼ同じだからです。違えば温度が変わるたびにはがれてしまう。

例：レールの伸び

長さ $25\mathrm{m}$ の鉄のレールが、$-10{}^{\circ }\mathrm{C}$ から $40{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで温まります。$\alpha =1.2\times 10^{-5}/K$ とする。

温度差は $50\mathrm{K}$ です。

$$\Delta l=1.2\times 10^{-5}\times 25\times 50=1.5\times 10^{-2}\mathrm{m}$$

$15\mathrm{mm}$ 伸びました。レールの継ぎ目にすきまを空けてあるのは、この伸びを逃がすためです。

橋にも同じ仕組みがあります。継ぎ目をふさいでしまうと、伸びる先がなくなって力がかかる。

体膨張は線膨張の 3 倍

立体の体積の変わり方は、次のように書ける。

$$\Delta V=\beta V\Delta T$$

$\beta$ は線膨張率のおよそ 3 倍になる。

$$\beta =3\alpha$$

縦と横と奥行きが同じ割合で伸びるので、掛け合わせると 3 倍の割合になります。$\alpha \Delta T$ が小さいので、2 乗と 3 乗の項は落としてよい。

例：鉄の球の体積

体積 $1000\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$ の鉄の球を $100\mathrm{K}$ 温める。

$$\beta =3\times 1.2\times 10^{-5}=3.6\times 10^{-5}/K$$

$$\Delta V=3.6\times 10^{-5}\times 1000\times 100=3.6\mathrm{c}{\mathrm{m}}^3$$

$0.36\%$ の増加です。目には分かりませんが、精密な機械では効いてくる。

バイメタル

線膨張率の違う 2 枚の金属を貼り合わせると、温度で曲がります。よく伸びるほうが外側になる。

アルミと鉄では線膨張率が 2 倍ほど違います。長さ $100\mathrm{mm}$ を $100\mathrm{K}$ 温めると、伸びの差は $0.11\mathrm{mm}$ ほど。

わずかな差ですが、貼り合わせてあるので逃げ場がなく、曲がりに変わる。サーモスタットや温度計に使われる仕組みです。

水の異常膨張

たいていの物は温めれば膨らみますが、水は $4{}^{\circ }\mathrm{C}$ 付近で様子が違う。

$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ から温めると $4{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで縮み、そこから先で膨らむ。

$4{}^{\circ }\mathrm{C}$ で密度が最大になる。

だから冬の湖は表面から凍ります。冷えた水が $4{}^{\circ }\mathrm{C}$ までは沈みますが、それより冷たい水は軽くて上に残る。

氷が水に浮くのも、氷のほうが密度が小さいからです。湖の底が凍らないおかげで、生き物が越冬できます。

よくある誤り

最後に、間違えやすいところを並べます。

参考文献