熱力学の計算問題｜状態方程式・第一法則・熱効率・潜熱

熱力学の問題は、どの量が止まっているかを見つけるところから始まります。止まった量が決まれば、使う式もほぼ決まる。

問題は状態方程式から気体分子運動論まで順に並べてあります。後半には図から値を読みとる問題も置きました。

使う定数は次のとおりとします。

問題 1：物質量を求める

$1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、$27{}^{\circ }\mathrm{C}$ で体積 $12.5\mathrm{L}$ の理想気体があります。物質量を求めなさい。

解答 1

体積を ${\mathrm{m}}^3$ に、温度を $\mathrm{K}$ に直します。

$$V=12.5\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3,T=300\mathrm{K}$$

$$n=\frac{pV}{RT}=\frac{1.0\times 10^5\times 12.5\times 10^{-3}}{8.31\times 300}=0.50\mathrm{mol}$$

$\mathrm{L}$ のまま代入すると $1000$ 倍ずれる。$R$ が $\mathrm{J}$ の単位を持つ以上、体積は ${\mathrm{m}}^3$ でそろえます。

問題 2：3 つの量が同時に変わる

$1.5\times 10^5\mathrm{Pa}$、$27{}^{\circ }\mathrm{C}$ で $4.0\mathrm{L}$ の気体があります。

これを $1.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、$127{}^{\circ }\mathrm{C}$ にしたときの体積を求めなさい。

解答 2

物質量が変わらないので、ボイル・シャルルの法則が使えます。

$$\frac{p_1{V}_1}{T_1}=\frac{p_2{V}_2}{T_2}$$

$$\frac{1.5\times 10^5\times 4.0}{300}=\frac{1.0\times 10^5\times V_2}{400}$$

$$2000=250V_2,V_2=8.0\mathrm{L}$$

比の式なので、体積は $\mathrm{L}$ のままで差し支えありません。左右で単位がそろっていればよい。

圧力が $2/3$ 倍、温度が $4/3$ 倍なので、合わせて 2 倍になっています。

問題 3：分子の数を求める

問題 1 の気体に含まれる分子の数を求めなさい。

解答 3

物質量にアボガドロ定数を掛けます。

$$N=0.50\times 6.0\times 10^{23}=3.0\times 10^{23}$$

$0.50\mathrm{mol}$ でも $10^{23}$ の桁になる。1 個ずつ数える話ではないと分かります。

問題 4：水を温める熱

$20{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $250\mathrm{g}$ を $70{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで温めます。要る熱を求めなさい。

解答 4

温度差は $50\mathrm{K}$ です。

$$Q=mc\Delta T=250\times 4.2\times 50=5.3\times 10^4\mathrm{J}$$

$\Delta T$ は差なので、${}^{\circ }\mathrm{C}$ で測っても $\mathrm{K}$ で測っても同じ値になる。ここは直さなくてよい。

問題 5：湯と水を混ぜる

$60{}^{\circ }\mathrm{C}$ の湯 $150\mathrm{g}$ と $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $350\mathrm{g}$ を混ぜます。熱が外へ逃げないとして、落ち着く温度を求めなさい。

解答 5

湯が失った熱と水が得た熱を等しく置きます。どちらも水なので比熱は消える。

$$150\times (60-t)=350\times (t-10)$$

$$9000-150t=350t-3500$$

$$500t=12500,t=25{}^{\circ }\mathrm{C}$$

真ん中の $35{}^{\circ }\mathrm{C}$ ではありません。量の多い水のほうへ引っぱられる。

問題 6：容器の熱容量を含める

熱容量 $84J/K$ の容器に、$15{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $200\mathrm{g}$ が入っています。ここへ $95{}^{\circ }\mathrm{C}$ の湯 $100\mathrm{g}$ を注いだときの温度を求めなさい。

解答 6

容器は水と同じ $15{}^{\circ }\mathrm{C}$ から温まるので、低温側にまとめます。

$$100\times 4.2\times (95-t)=(200\times 4.2+84)(t-15)$$

$$420(95-t)=924(t-15)$$

$$1344t=53760,t=40{}^{\circ }\mathrm{C}$$

容器の熱容量に質量を掛けてはいけません。$84J/K$ はすでに容器全体の値です。

容器を無視して解くと $41.7{}^{\circ }\mathrm{C}$ になる。容器が熱を分けとったぶん、実際は低くなります。

問題 7：氷を溶かして温める

$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の氷 $80\mathrm{g}$ を、$50{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水にするまでの熱を求めなさい。

解答 7

溶かす段と温める段に分けます。

$$Q_1=mL=80\times 334=2.67\times 10^4\mathrm{J}$$

$$Q_2=mc\Delta T=80\times 4.2\times 50=1.68\times 10^4\mathrm{J}$$

$$Q=2.67\times 10^4+1.68\times 10^4=4.4\times 10^4\mathrm{J}$$

溶かすほうが大きい。$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ から $50{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで温めるより、$0{}^{\circ }\mathrm{C}$ のまま溶かすほうが熱を食います。

問題 8：加熱曲線から融解熱を読む

氷 $50\mathrm{g}$ を $-20{}^{\circ }\mathrm{C}$ から一定の割合で加熱したところ、次のグラフになりました。融解熱を求めなさい。

解答 8

平らな区間が融解にあたります。$2.1\mathrm{kJ}$ から $18.8\mathrm{kJ}$ までなので、融解に使われた熱は差になる。

$$Q=18.8-2.1=16.7\mathrm{kJ}$$

$$L=\frac{16700}{50}=334J/g$$

はじめの $2.1\mathrm{kJ}$ は氷を $-20{}^{\circ }\mathrm{C}$ から $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで温めた分です。検算すると $50\times 2.1\times 20=2100\mathrm{J}$ で合っています。

問題 9：必要な氷の量

$40{}^{\circ }\mathrm{C}$ の水 $200\mathrm{g}$ に $0{}^{\circ }\mathrm{C}$ の氷を入れて、$10{}^{\circ }\mathrm{C}$ にしたい。要る氷の質量を求めなさい。

解答 9

水が失う熱を先に出します。

$$200\times 4.2\times 30=2.52\times 10^4\mathrm{J}$$

氷は溶けたあと $10{}^{\circ }\mathrm{C}$ まで温まるので、2 段ぶんを受けとる。

$$m\times 334+m\times 4.2\times 10=376m$$

$$376m=25200,m=67\mathrm{g}$$

溶けたあとの水が温まるぶんを忘れると、$m=75\mathrm{g}$ という違う答えが出ます。

問題 10：体積を止めて加熱する

単原子分子の理想気体 $2.0\mathrm{mol}$ を、体積を止めたまま $150\mathrm{K}$ 上げます。$Q$、$\Delta U$、$W$ を求めなさい。

解答 10

ふたが動かないので仕事はゼロです。

$$W=0$$

$$\Delta U=\frac{3}{2}nR\Delta T=1.5\times 2.0\times 8.31\times 150=3.7\times 10^3\mathrm{J}$$

$$Q=\Delta U+W=3.7\times 10^3\mathrm{J}$$

加えた熱がまるごと内部エネルギーになる。

問題 11：圧力を止めて加熱する

同じ気体を、今度は圧力を止めて $150\mathrm{K}$ 上げます。$Q$、$\Delta U$、$W$ を求めなさい。

解答 11

内部エネルギーは温度だけで決まるので、問題 10 と同じ値です。

$$\Delta U=3.7\times 10^3\mathrm{J}$$

仕事は $p\Delta V=nR\Delta T$ から出ます。

$$W=2.0\times 8.31\times 150=2.5\times 10^3\mathrm{J}$$

$$Q=3.7\times 10^3+2.5\times 10^3=6.2\times 10^3\mathrm{J}$$

同じ温度上昇なのに、定圧では熱が $2.5\times 10^3\mathrm{J}$ 多く要りました。そのぶんが仕事に回っている。

問題 12：温度を止める

理想気体を等温のまま膨張させ、$400\mathrm{J}$ の熱を与えました。$\Delta U$ と $W$ を求めなさい。

解答 12

温度が変わらないので内部エネルギーは動きません。

$$\Delta U=0$$

$$W=Q-\Delta U=400\mathrm{J}$$

受けとった熱がそのまま仕事として出ていく。等温変化では熱が入り続けても温度が上がりません。

問題 13：断熱で圧縮する

単原子分子の理想気体 $1.0\mathrm{mol}$ を、熱を通さない容器で圧縮し、外から $250\mathrm{J}$ の仕事を加えました。温度変化を求めなさい。

解答 13

気体がした仕事は $-250\mathrm{J}$、熱の出入りはゼロです。

$$\Delta U=Q-W=0-(-250)=250\mathrm{J}$$

$$250=\frac{3}{2}\times 1.0\times 8.31\times \Delta T$$

$$\Delta T=20\mathrm{K}$$

熱を一切与えていないのに $20\mathrm{K}$ 上がりました。仕事がそのまま内部エネルギーに変わっている。

問題 14：サイクルの仕事

理想気体を次の図のように 1 周させます。1 周での正味の仕事と、正味の熱を求めなさい。

解答 14

辺ごとに仕事を出します。定積の 2 辺はどちらもゼロです。

$$W_{BC}=3.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=1200\mathrm{J}$$

$$W_{DA}=1.0\times 10^5\times (-4.0\times 10^{-3})=-400\mathrm{J}$$

$$W=1200-400=800\mathrm{J}$$

長方形の面積として一度に出すこともできる。縦が $2.0\times 10^5\mathrm{Pa}$、横が $4.0\times 10^{-3}{\mathrm{m}}^3$ です。

$$W=2.0\times 10^5\times 4.0\times 10^{-3}=800\mathrm{J}$$

1 周して元の状態に戻るので $\Delta U=0$ になります。したがって正味の熱も $800\mathrm{J}$。

膨張の辺で $1200\mathrm{J}$ 積み上がり、圧縮の辺で $400\mathrm{J}$ 戻されます。差の $800\mathrm{J}$ が囲む面積にあたる。

問題 15：熱効率

熱機関が高温の熱源から $2000\mathrm{J}$ を受けとり、低温側へ $1400\mathrm{J}$ を捨てました。熱効率を求めなさい。

解答 15

仕事は差です。

$$W=2000-1400=600\mathrm{J}$$

$$e=\frac{W}{Q_1}=\frac{600}{2000}=0.30$$

熱効率は $30\%$ になります。$1400\mathrm{J}$ は捨てるほかない。

問題 16：効率の上限

問題 15 の機関が $500\mathrm{K}$ と $300\mathrm{K}$ の熱源のあいだで働いているとします。効率の上限を求め、問題 15 の結果と比べなさい。

解答 16

カルノー効率を計算します。

$$e_{\max }=1-\frac{T_2}{T_1}=1-\frac{300}{500}=0.40$$

上限は $40\%$ です。問題 15 の $30\%$ はこれを下回っているので、矛盾しません。

もし $45\%$ という報告があれば、計算を見る前に退けられる。セルシウス温度を入れると $1-27/227=0.88$ となり、まったく違う値が出ます。

問題 17：分子の速さ

$27{}^{\circ }\mathrm{C}$ の酸素の二乗平均速度を求めなさい。酸素分子のモル質量を $32g/mol$ とします。

解答 17

モル質量を $kg/mol$ に直します。

$$M=32\times 10^{-3}kg/mol$$

$$\sqrt{\overline{v^2}}=\sqrt{\frac{3RT}{M}}=\sqrt{\frac{3\times 8.31\times 300}{0.032}}=4.8\times 10^{2}m/s$$

秒速 $480\mathrm{m}$ ほどで、音速の $340m/s$ より速い。$g/mol$ のまま入れると $1000$ 倍ずれます。

問題 18：断熱圧縮の温度

$300\mathrm{K}$ の二原子分子の理想気体を、体積が $8$ 分の $1$ になるまで断熱圧縮します。$\gamma =1.4$ として、圧縮後の温度を求めなさい。

解答 18

温度と体積の式を使います。

$$T_1{V}_1^{\gamma -1}=T_2{V}_2^{\gamma -1}$$

$$T_2=T_1{\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^{\gamma -1}=300\times 8^{0.4}$$

$$T_2=6.9\times 10^2\mathrm{K}$$

$390\mathrm{K}$ 近く上がりました。指数が $\gamma$ ではなく $\gamma -1$ である点に気をつけます。

つまずきやすいところ

計算そのものより、単位と条件の読み落としで間違えることが多い。

参考文献