求まらない量を求まる量ではさむ……はさみうちの原理と追い出しの原理

$\frac{sin n}{n}$ の値は $n = 1$ で $0.8415$ 、 $n = 10$ で $- 0.0544$ 、 $n = 100$ で $- 0.00506$ と、符号を変えながら $0$ に潰れていく。

$sin n$ 自体は $n$ が整数のとき規則を持たず、 $n \to \infty lim sin n$ は存在しない。分子の極限が求まらないので、四則の公式は当てられない。

そこで大きさだけを押さえる。 $- 1 \leq sin n \leq 1$ はつねに成り立つので、 $n > 0$ で各辺を $n$ で割る。

$- \frac{1}{n} \leq \frac{sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$

両端はどちらも $0$ に向かう。あいだに挟まれた $\frac{sin n}{n}$ にも $0$ 以外の逃げ場がない。

はさみうちの原理

3 つの数列 ${a_{n}}$ 、 ${b_{n}}$ 、 ${c_{n}}$ について、 $a_{n} \leq b_{n} \leq c_{n}$ が成り立つとする^[2]^[3]。

$n \to \infty lim a_{n} = n \to \infty lim c_{n} = α ⟹ n \to \infty lim b_{n} = α$

外側の 2 つが同じ値へ向かうなら、内側もその値へ向かうしかない。ドイツ語ではサンドイッチの定理とも呼ばれる^[3]。

不等式は最初の項から成り立つ必要はない。ある番号 $N$ より先で成り立てば十分である^[3]。極限は先のほうしか見ないためである。

関数の極限でも同じ

$x \to a$ のとき $f (x) \leq g (x) \leq h (x)$ で、 $f$ と $h$ の極限が同じ $L$ なら、 $g$ の極限も $L$ になる^[1]^[4]。

離散か連続かの違いだけで、中身は変わらない。証明も同じ形で書ける。

代表例が $x^{2} sin \frac{1}{x}$ である^[4]。 $sin$ の中身が暴れても、 $- 1$ と $1$ のあいだには収まる。

$- x^{2} \leq x^{2} sin \frac{1}{x} \leq x^{2}$

両端とも $x \to 0$ で $0$ なので、あいだも $0$ である。

例：有界なものを減衰で割る

$n \to \infty lim \frac{cos ^{2} n}{n}$ を求める。 $0 \leq cos^{2} n \leq 1$ から次が出る。

$0 \leq \frac{cos ^{2} n}{n} \leq \frac{1}{n}$

両端が $0$ に向かうので、極限は $0$ である。

$\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}}$ も同じ形になる。 $\frac{( - 1 ) ^{n}}{n ^{2}} = \frac{1}{n ^{2}}$ なので、 $\pm \frac{1}{n ^{2}}$ で挟めばよい。

分子が有界で分母が発散する。この形はすべて $0$ に潰れる。

例：階乗を累乗で割る

$n \to \infty lim \frac{n !}{n ^{n}}$ を求める。分子は $1 \cdot 2 \dots n$ 、分母は $n$ を $n$ 個掛けたもの。

因子ごとに分けて書く。

$\frac{n !}{n ^{n}} = \frac{1}{n} \cdot \frac{2}{n} \cdot \frac{3}{n} \dots \frac{n}{n}$

2 個目から先はすべて $1$ 以下なので、全体は先頭の $\frac{1}{n}$ 以下になる。

$0 < \frac{n !}{n ^{n}} \leq \frac{1}{n}$

したがって極限は $0$ である。 $n = 10$ で $0.000363$ 、 $n = 20$ で $2.3 \times 1 0^{- 9}$ 。

例： $n$ 乗根をとる

$n \to \infty lim n n$ を求める。 $n n = 1 + h_{n}$ （ $h_{n} \geq 0$ ）と置き、両辺を $n$ 乗する。

二項定理で開いたうち、第 3 項だけを残して下から押さえる。

$n = (1 + h_{n})^{n} \geq \frac{n ( n - 1 )}{2} h_{n}^{2} (n \geq 2)$

両辺を $n$ で割って整理すると $0 \leq h_{n}^{2} \leq \frac{2}{n - 1}$ になる。

右辺が $0$ に向かうので $h_{n} \to 0$ 、つまり $n n \to 1$ である。 $n = 100$ で $1.0471$ 、 $n = 1000$ で $1.0069$ 。

例：和の $n$ 乗根

$n \to \infty lim n 2^{n} + 3^{n}$ を求める。中身は $3^{n}$ より大きく、 $2 \cdot 3^{n}$ より小さい。

$3 = n 3^{n} \leq n 2^{n} + 3^{n} \leq n 2 \cdot 3^{n} = 3 n 2$

$n 2 \to 1$ なので右端は $3$ に向かう。左端は定数の $3$ 。よって極限は $3$ である。

同じ手で $n a^{n} + b^{n}$ は大きいほうの値に向かうと分かる。項が何個あっても最大のものが残る。

例：和の全体を挟む

$n \to \infty lim (\frac{1}{n ^{2} + 1} + \frac{1}{n ^{2} + 2} + \dots + \frac{1}{n ^{2} + n})$ を求める。項の個数が $n$ 個で、 $n$ とともに増える。

項ごとに極限をとる手は使えない。 $0$ が $n$ 個ぶん集まった形で、和が $0$ になる保証がないためである。

いちばん大きい項と小さい項で全体を挟む。どの項も $\frac{1}{n ^{2} + n}$ 以上、 $\frac{1}{n ^{2} + 1}$ 以下である。

$\frac{n}{n ^{2} + n} \leq k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k} \leq \frac{n}{n ^{2} + 1}$

左端は $\frac{1}{n + 1} \to 0$ 、右端も $0$ に向かう。よって和の極限は $0$ である。

例：ガウス記号を挟む

$n \to \infty lim \frac{[ n x ]}{n}$ を求める。 $[]$ は超えない最大の整数を表す。

定義から $n x - 1 < [n x] \leq n x$ が成り立つ。各辺を $n$ で割る。

$x - \frac{1}{n} < \frac{[ n x ]}{n} \leq x$

両端とも $x$ に向かうので、極限は $x$ である。切り捨てた誤差は高々 $1$ なので、 $n$ で割れば消える。

はさみうちが効くのは、誤差の大きさに上限が言えるときである。

値そのものが分からなくても、 $\pm 1$ の範囲に収まると言えれば十分になる。

追い出しの原理

下から押さえるだけで発散が言える場合もある。 $a_{n} \leq b_{n}$ で $a_{n} \to \infty$ なら、 $b_{n} \to \infty$ である。

調和級数の発散がその例になる。部分和を $\frac{1}{2}$ 、 $\frac{1}{3} + \frac{1}{4}$ 、 $\frac{1}{5} + \dots + \frac{1}{8}$ と束にすると、どの束も $\frac{1}{2}$ 以上。

束を $m$ 個集めれば $\frac{m}{2}$ 以上になるので、部分和はいくらでも大きくなる。上から押さえる必要はない。

はさみうち

上と下の両方が要る。行き先が有限の値のとき

追い出し

下だけ、または上だけでよい。行き先が無限大のとき

不等式をどう作るか

はさみうちで難しいのは最初の一手である。どの不等式を持ってくるかは、式の形ごとに違う。

三角関数は

∣ sin ∣ \leq 1

、

∣ cos ∣ \leq 1

で押さえる。

階乗は因子を分け、

1

以下の部分をまとめて捨てる。

累乗根は二項定理で下から押さえる。

項が増える和は、最大の項と最小の項の個数倍で挟む。

整数部分は

x - 1 < [x] \leq x

を使う。

共通しているのは、正確な値を求めずに大きさの範囲だけを言う点である。求まらない量を、求まる量ではさむ。

$n \to \infty lim \frac{( - 1 ) ^{n} n}{n ^{2} + 1}$ はいくつか。

$0$
$1$
振動して発散する

__RESULT__

絶対値をとると $\frac{n}{n ^{2} + 1} \leq \frac{n}{n ^{2}} = \frac{1}{n}$ である。 $\pm \frac{1}{n}$ で挟めるので極限は $0$ になる。符号が交互に変わっても、幅が $0$ へ絞られるので収束する。

和の形も確かめる。

$n \to \infty lim k = 1 \sum n \frac{1}{n ^{2} + k}$ はいくつか。

$0$
$1$
$\infty$

__RESULT__

どの項も $\frac{1}{n ^{2} + n}$ 以上 $\frac{1}{n ^{2} + 1}$ 以下である。 $n$ 倍して挟むと $\frac{n}{n ^{2} + n}$ と $\frac{n}{n ^{2} + 1}$ になり、どちらも $1$ に向かう。項が $0$ に向かっても、個数が増えるので和は $0$ にならない。

値が求まらない量でも、上下から押さえられれば行き先は決まる。押さえる式をどこから持ってくるかが、そのまま問題の難しさになっている。

参考

*The Limit Laws*. Calculus Volume 1, OpenStax.

*Sequences*. Calculus Volume 2, OpenStax.

Einschnürungssatz. Lexikon der Mathematik, Spektrum.

Squeeze Theorem. Wolfram MathWorld.

$\sin n$ には規則がなく、$\lim_{n \to \infty} \sin n$ は存在しません。それでも $-\frac{1}{n} \leq \frac{\sin n}{n} \leq \frac{1}{n}$ と挟めば行き先が $0$ に決まります。不等式は最初の項から成り立つ必要がなく、ある番号から先で足りる。$\frac{n!}{n^{n}}$、$\sqrt[n]{n}$、$\sqrt[n]{2^{n}+3^{n}}$、$x^{2}\sin\frac{1}{x}$、項の個数が増える和、ガウス記号の $\frac{[nx]}{n}$ まで 8 通り並べ、下からだけ押さえる追い出しの原理と、押さえる不等式の作り方 5 種も添えました。