二次方程式の解と係数の関係

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、解を直接求めなくても $α + β$ や $α β$ の値がわかる関係式があります。これを解と係数の関係（ヴィエタの公式）と呼びます。

解と係数の関係の導出

二次方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ （ $a \neq = 0$ ）が 2 つの解 $α, β$ を持つとき、左辺は次のように因数分解できます。

$a (x - α) (x - β) = 0$

これを展開すると、

$a (x^{2} - (α + β) x + α β) = 0$

つまり $a x^{2} - a (α + β) x + a α β = 0$ となります。もとの方程式 $a x^{2} + b x + c = 0$ と係数を比較すると、

$- a (α + β) = b, a α β = c$

両辺を $a$ で割れば、解と係数の関係が得られます。

解と係数の関係

$α + β = - \frac{b}{a}$ （2 解の和）

$α β = \frac{c}{a}$ （2 解の積）

解の公式との違い

解の公式は解そのものを求めるのに対し、解と係数の関係は解の和と積だけを係数から直接読み取る

特に $a = 1$ のとき、 $x^{2} + b x + c = 0$ の 2 解について $α + β = - b$ 、 $α β = c$ となり、非常にシンプルな形になります。

例題 1：解の和と積を求める

$2 x^{2} - 5 x + 3 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $α + β$ と $α β$ を求めよ。

$a = 2, b = - 5, c = 3$ なので、解と係数の関係をそのまま適用します。

$α + β = - \frac{- 5}{2} = \frac{5}{2}, α β = \frac{3}{2}$

実際に解の公式で求めると $α = 1, β = \frac{3}{2}$ で、和は $\frac{5}{2}$ 、積は $\frac{3}{2}$ と一致します。このように、解を求めずに和と積がわかるのがこの公式の強みです。

例題 2：対称式の値を求める

解と係数の関係が真価を発揮するのは、 $α^{2} + β^{2}$ や $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ のような対称式の計算です。対称式とは $α$ と $β$ を入れ替えても値が変わらない式のことで、すべて $α + β$ と $α β$ で表せるという重要な性質を持ちます。

$x^{2} - 3 x + 1 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $α^{2} + β^{2}$ と $\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ を求めよ。

まず解と係数の関係から $α + β = 3$ 、 $α β = 1$ です。

$α^{2} + β^{2}$ は次の変形で求めます。

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β = 3^{2} - 2 \cdot 1 = 7$

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β}$ は通分すると $α + β$ と $α β$ だけで表せます。

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β} = \frac{3}{1} = 3$

よく使う対称式の変形

$α^{2} + β^{2} = (α + β)^{2} - 2 α β$ は最頻出の変形です。2 乗の和を直接扱うのではなく、和の 2 乗から積の 2 倍を引くという発想がポイントになります。

逆数の和

$\frac{1}{α} + \frac{1}{β} = \frac{α + β}{α β}$ も定番の変形です。通分するだけで和と積の形に帰着します。

例題 3：3 乗の和を求める

$x^{2} + 2 x - 1 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $α^{3} + β^{3}$ を求めよ。

解と係数の関係から $α + β = - 2$ 、 $α β = - 1$ です。

3 乗の和には因数分解の公式を使います。

$α^{3} + β^{3} = (α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$

値を代入すると、

$(- 2)^{3} - 3 \cdot (- 1) \cdot (- 2) = - 8 - 6 = - 14$

この公式は $(α + β) (α^{2} - α β + β^{2})$ から導くこともできますが、上の形のほうが $α + β$ と $α β$ をそのまま代入できるため実用的です。

例題 4：2 解を持つ二次方程式の復元

2 つの解の和が $4$ 、積が $- 5$ であるような二次方程式を 1 つ求めよ。

解と係数の関係を逆に使う問題です。 $α + β = 4$ 、 $α β = - 5$ のとき、 $a = 1$ として、

$x^{2} - (α + β) x + α β = 0$

に代入すれば、

$x^{2} - 4 x - 5 = 0$

が得られます。実際に因数分解すると $(x - 5) (x + 1) = 0$ で、解は $5$ と $- 1$ です。和は $4$ 、積は $- 5$ で条件を満たしています。

この逆問題は、 $x^{2} - (和) x + (積) = 0$ と覚えておくと便利です。解がわかっていて方程式を作る場面は、二次方程式の復元と呼ばれ、数列や他の分野でもよく登場します。

与えられた和と積から二次方程式を構成する操作のこと。

例題 5：定数を含む方程式

$x^{2} - 4 x + k = 0$ の 2 つの解の比が $1 : 3$ であるとき、定数 $k$ の値を求めよ。

2 解を $α, 3 α$ とおきます。解と係数の関係から、

$α + 3 α = 4, α \cdot 3 α = k$

第 1 式から $4 α = 4$ なので $α = 1$ です。第 2 式に代入すると、

$k = 1 \cdot 3 \cdot 1 = 3$

このように「2 解の比」「2 解の差」などの条件が与えられたとき、解と係数の関係を連立方程式として使うのが定石です。

例題 6：差の 2 乗と判別式

$x^{2} + p x + q = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $(α - β)^{2}$ を $p, q$ で表せ。

差の 2 乗を展開すると、

$(α - β)^{2} = (α + β)^{2} - 4 α β = p^{2} - 4 q$

この結果は判別式 $D = b^{2} - 4 a c$ で $a = 1, b = p, c = q$ としたものと一致します。つまり $(α - β)^{2} = D / a^{2}$ という関係があり、判別式が「2 解の隔たり」を測る指標であることが見て取れます。

(α - β)^{2} = p^{2} - 4 q

2 解の差の 2 乗は和と積だけで表せる

判別式

D = p^{2} - 4 q

$D > 0$ なら異なる 2 実数解、 $D = 0$ なら重解、 $D < 0$ なら実数解なし

よく使う対称式のまとめ

対称式	変形
$α + β$	$- b / a$
$α β$	$c / a$
$α^{2} + β^{2}$	$(α + β)^{2} - 2 α β$
$α^{3} + β^{3}$	$(α + β)^{3} - 3 α β (α + β)$

解と係数の関係は、解を求める手間を省くだけでなく、対称式の計算や方程式の復元、定数の決定など幅広い場面で活躍します。「和と積がわかれば十分」という発想に慣れることが、二次方程式を自在に扱うための鍵になります。

$x^{2} - 6 x + 5 = 0$ の 2 つの解を $α, β$ とするとき、 $α^{2} + β^{2}$ の値は？

__RESULT__

$α + β = 6$ 、 $α β = 5$ なので、 $α^{2} + β^{2} = 6^{2} - 2 \cdot 5 = 36 - 10 = 26$ です。