放物線の媒介変数表示と通過点、高校数学の二次曲線

放物線 $y^2=4px$ は、$1$ つの文字で書き表せます。

$$x=p{t}^2,y=2pt$$

代入して確かめます。$y^2=4p^2{t}^2$、$4px=4p\cdot p{t}^2=4p^2{t}^2$。一致しました。

$t$ が実数全体を動けば、放物線の全体をなぞります。楕円や双曲線と違って場合分けが要りません。

$t$ が負から正へ進むと、点は下の枝から頂点を通って上の枝へ移ります。横の位置 $t^2$ はいったん $0$ まで戻り、また離れていきます。

y を媒介変数にする

$p=1$ のとき $x=t^2$, $y=2t$。$y$ と $t$ が比例しているので、$t$ を $\frac{y}{2}$ と読み替えられます。

つまり媒介変数は、実質 $y$ 座標そのもの。$y$ を主役にして $x=\frac{y^2}{4p}$ と書くのと同じことです。

放物線は $x$ について解こうとすると平方根が現れて $2$ 本に割れますが、$y$ について解けば $1$ 本で済みます。媒介変数表示はその性質を利用しています。

通過点を出す

$y^2=4x$ の場合、$p=1$ なので $(t^2,2t)$。$t$ に数を入れていきます。

$t$ と $-t$ で $x$ が同じになり、$y$ の符号だけが反対。放物線が $x$ 軸について対称であることが、この対応に現れています。

別の係数のとき

$y^2=8x$ なら $4p=8$ で $p=2$。媒介変数表示は $x=2t^2$, $y=4t$ です。

$t=1$ で $(2,4)$、$t=2$ で $(8,8)$。代入して $16=8\cdot 2$、$64=8\cdot 8$ とどちらも成り立ちます。

$y^2=x$ なら $p=\frac{1}{4}$ で $x=\frac{t^2}{4}$, $y=\frac{t}{2}$。分数が出て扱いにくいので、この場合は $x=s^2$, $y=s$ と置き直すほうが楽です。

媒介変数の置き方は $1$ 通りではありません。式が簡単になる置き方を選びます。

上下に開く場合

$x^2=4py$ なら $x$ を媒介変数にとります。

$$x=2pt,y=p{t}^2$$

代入して $4p^2{t}^2=4p\cdot p{t}^2$ で合います。$y=a{x}^2$ の形なら、$x=t$, $y=a{t}^2$ と置くのがいちばん素直です。

$t$ を整数で動かすと、格子の上にきれいな点が並びます。$t$ と $-t$ が上下対称に置かれる様子も見えます。

弦の性質を調べる

放物線 $y^2=4px$ 上の $2$ 点を $\mathrm{A}(p{a}^2,2pa)$, $\mathrm{B}(p{b}^2,2pb)$ とします。直線 $\mathrm{AB}$ の傾きを計算します。

$$\frac{2pa-2pb}{p{a}^2-p{b}^2}=\frac{2p(a-b)}{p(a-b)(a+b)}=\frac{2}{a+b}$$

$a-b$ が約分され、$2$ 点の媒介変数の和だけで傾きが決まりました。座標のまま計算するより、はるかに軽い。

$y^2=4x$ で $t=1$ の点 $(1,2)$ と $t=3$ の点 $(9,6)$ を結ぶ傾きは $\frac{2}{1+3}=\frac{1}{2}$。実際 $\frac{6-2}{9-1}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$ です。

接線も媒介変数で

$\mathrm{B}$ を $\mathrm{A}$ に近づけると $b\to a$ になり、傾きは $\frac{2}{2a}=\frac{1}{a}$。これが $t=a$ における接線の傾きです。

接線の式は次のようになります。

$$y-2pa=\frac{1}{a}(x-p{a}^2)$$

整理すると $ay=x+p{a}^2$。$y^2=4x$ の $t=2$ での接線なら $2y=x+4$、つまり $y=\frac{x}{2}+2$ です。

検算します。接点は $(4,4)$。代入して $2\cdot 4=4+4$ で合っています。

焦点を通る弦

$y^2=4px$ の焦点 $(p,0)$ を通る弦の $2$ 端を $t=a$, $t=b$ とします。直線が焦点を通る条件を出してみます。

$3$ 点が一直線上にあるので、傾きが等しい。$\frac{2pa-0}{p{a}^2-p}=\frac{2}{a+b}$ から

$$\frac{2a}{a^2-1}=\frac{2}{a+b}$$

たすきに掛けて $a(a+b)=a^2-1$、整理すると $ab=-1$ です。

焦点を通る弦の両端では、媒介変数の積が $-1$ になります。$y^2=4x$ で $t=2$ の点を通るなら、相手は $t=-\frac{1}{2}$。座標は $\left(\frac{1}{4},-1\right)$ です。

面積の問題

$y^2=4x$ と直線 $x=4$ で囲まれた部分の面積を求めます。媒介変数ではなく、$y$ で積分するほうが速い形です。

$x=\frac{y^2}{4}$ で、$x=4$ との交点は $y=\pm 4$。

$${\int }_{-4}^4\left(4-\frac{y^2}{4}\right)dy={\left[4y-\frac{y^3}{12}\right]}_{-4}^4$$

$\left(16-\frac{64}{12}\right)-\left(-16+\frac{64}{12}\right)=32-\frac{32}{3}=\frac{64}{3}$ です。

$x$ で積分すると $\sqrt{x}$ が現れて $2$ 倍する手間が入ります。放物線は $y$ を主役にすると軽くなる、という点で媒介変数表示と同じ発想です。

媒介変数を使う判断

$2$ 点や接線が絡む問題では、媒介変数を置くと文字が減ります。座標を $(x_1,y_1)$ と置くと $y_1^2=4p{x}_1$ という条件式が別に要りますが、$(p{t}^2,2pt)$ なら条件が最初から入っている。

$1$ 点あたり文字が $2$ つから $1$ つに減る。$2$ 点なら $4$ 文字が $2$ 文字になります。この差が計算量に効いてきます。