公比を 1 と比べるだけで決まる等比数列 r^n の収束と発散

公比が $2$ なら $2,4,8,16,\dots$ と増え、$0.5$ なら $0.5,0.25,0.125,\dots$ と縮み、$-1$ なら $-1,1,-1,1,\dots$ を繰り返します。

初項が何であっても、行き先は公比 $r$ だけで決まる。$r$ の範囲を 4 つに分ければ、$\{r^n\}$ の振る舞いはすべて言い切れます^[1]。

境目は $r=1$ と $r=-1$ の 2 点です。$r=1$ は収束の側に含まれ、$r=-1$ は含まれません。

$|r|<1$ なら $0$ に落ちる

$r=0$ は明らかなので $0<|r|<1$ とします。$\frac{1}{|r|}>1$ なので $\frac{1}{|r|}=1+h$（$h>0$）と置ける。

ベルヌーイの不等式 $(1+h{)}^n\ge 1+nh$ を使います^[2]。

$$\frac{1}{|r{|}^n}=(1+h{)}^n\ge 1+nh$$

逆数をとると $|r^n|=|r{|}^n\le \frac{1}{1+nh}$ です。右辺は $n$ を大きくすればいくらでも小さくなる。

どんな幅を決めても、$1+nh$ がその逆数を超える番号が必ずあります。実数のアルキメデス性がそれを保証します^[2]。

したがって $|r^n|\to 0$、つまり $r^n\to 0$ となります。符号が交互に変わっても、絶対値が潰れるので結論は同じ。

$r>1$ なら上へ抜ける

$r=1+h$（$h>0$）と置けば、同じ不等式から $r^n\ge 1+nh$ が出ます。

$1+nh$ はどんな壁も越えるので、$r^n$ も越える。$r=1.01$ のようにわずかに $1$ を超えるだけでも同じです。

$1.01^{100}=2.70$、$1.01^{1000}=20959$。はじめは動きが鈍く、途中から一気に伸びます。

$r\le -1$ は行き先を言えない

$r=-1$ では $-1,1,-1,1,\dots$ と 2 つの値を往復します。どちらにも落ち着かないので収束しません。

$r=-2$ なら $-2,4,-8,16,\dots$ で、符号が入れ替わりながら絶対値が伸びる。$+\infty$ とも $-\infty$ とも書けません。

$|r|>1$ で $r$ が負なら、必ずこの形になります。振動して発散、と呼びます。

例：初項が付いた形

初項 $a$、公比 $r$ の等比数列は $a{r}^{n-1}$ です^[3]。$a$ は $n$ に無関係な定数なので、極限の外へ出せます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }a{r}^{n-1}=a\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^{n-1}$$

$|r|<1$ なら初項が何であっても $0$。$r>1$ なら $a$ の符号によって $+\infty$ か $-\infty$ に分かれます。

$a=3$、$r=\frac{2}{3}$ なら $3\cdot {\left(\frac{2}{3}\right)}^{n-1}\to 0$ です。$n=20$ で $0.00116$。

例：底の違う 2 つの比

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{2^n-3^n}{2^n+3^n}$ を求めます。大きいほうの $3^n$ で分子と分母を割る。

$$\frac{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n-1}{{\left(\frac{2}{3}\right)}^n+1}\to \frac{0-1}{0+1}=-1$$

${\left(\frac{2}{3}\right)}^n\to 0$ が効いています。公比の大小を見て、大きいほうで割るのが手順。

例：公比が文字のとき

$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{r^n}{1+r^n}$ は、$r$ の範囲で答えが変わります。場合分けが要る形の代表です。

$|r|<1$ なら $r^n\to 0$ で、極限は $\frac{0}{1+0}=0$。

$r=1$ なら $\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$ です。$r>1$ では分子と分母を $r^n$ で割ると $\frac{1}{{\left(\frac{1}{r}\right)}^n+1}\to 1$。

$r\le -1$ では $r^n$ が振動するので、極限は存在しません。

答えが $0$、$\frac{1}{2}$、$1$、なしと 4 通りに割れます。$r$ の値を 1 つ決めるまで、式の値は 1 つに決まりません。

例：$n$ を掛けても $0$ に勝てない

$|r|<1$ のとき $\underset{n\to \infty }{\lim }n{r}^n=0$ です。$n$ が伸びても、$r^n$ の縮み方のほうが速い。

$\frac{1}{|r|}=1+h$ と置き、二項定理の第 3 項だけを残します。

$$(1+h{)}^n\ge \frac{n(n-1)}{2}{h}^2(n\ge 2)$$

これを使うと $n|r{|}^n\le \frac{2n}{n(n-1)h^2}=\frac{2}{(n-1)h^2}$ となり、右辺が $0$ に向かいます。

$r=0.9$ で試すと、$n=50$ で $0.257$、$n=200$ で $0.0141$、$n=500$ で $0.0000082$。いったん増えてから落ちます。

例：収束する範囲を決める

数列 $\{(x-1{)}^n\}$ が収束する $x$ の範囲を求めます。公比が $x-1$ の等比数列です。

収束の条件は $-1<x-1\le 1$。左は等号なし、右は等号ありです。

$$0<x\le 2$$

$x=2$ では $1^n=1$ で収束、$x=0$ では $(-1{)}^n$ になって振動します。等号の付け方がそのまま答えを変える。

半減期は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列

放射性炭素は 5730 年ごとに半分になります^[4]。$5730n$ 年後の残量は、初期量に ${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ を掛けた値。

$|r|<1$ なので $n\to \infty$ で $0$ に向かいます。ただしどの $n$ でも $0$ にはならない。

$100$ グラムから始めて $10$ グラムまで減るのに約 19000 年かかります^[4]。半分になる時間が一定、という性質が等比数列の形を生んでいます。

公比の絶対値を $1$ と比べる。この一手で、あとは境目の等号を確かめるだけになります。

境目の扱いも確かめます。

公比を $1$ と $-1$ と比べる。それだけで $\{r^n\}$ の話は終わり、残りは場合分けを丁寧に書く作業になります。

参考文献