数列の極限 - 等比数列 r^n の収束条件と発散

数列 $\{a_n\}$ において、$n$ を限りなく大きくしたとき、$a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近づくなら、この数列は $\alpha$ に収束するといいます。記号では次のように書きます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{a}_n=\alpha$$

逆に、$n$ をどれだけ大きくしても一定の値に近づかない場合、数列は発散するといいます。正の無限大に向かって際限なく大きくなる場合は ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=\infty$、負の方向なら ${\lim }_{n\to \infty }{a}_n=-\infty$ と表します。どちらでもなく値が定まらない場合（振動など）は、単に「発散する」とだけ述べます。

等比数列 $r^n$ の極限

等比数列の極限は、公比 $r$ の値によって振る舞いが完全に決まります。数列 $\{r^n\}$ について、$r$ の範囲ごとに結果を整理すると次のようになります。

この 4 つの場合分けが等比数列の極限のすべてです。それぞれ具体的な数値で確認していきます。

$r>1$ の場合：正の無限大に発散

$r=2$ のとき、$r^n$ の値は $2,4,8,16,32,\dots$ と急激に増大していきます。

$r>1$ であれば、$r$ を掛けるたびに値が前より大きくなるため、$n$ を増やすほど $r^n$ はいくらでも大きくなります。$r=1.01$ のようにわずかに $1$ を超える場合でも、$n$ が十分大きければ $r^n$ は限りなく大きくなります。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=\infty (r>1)$$

$r=1$ の場合：定数列

$r=1$ のとき、$r^n=1^n=1$ です。$n$ がいくつであっても値は常に $1$ で変わりません。すべての項が同じ値をとる定数列であり、当然ながら $1$ に収束します。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{1}^n=1$$

$-1<r<1$ の場合：$0$ に収束

この範囲が最も重要です。$|r|<1$ のとき、$r$ を掛けるたびに絶対値が小さくなっていくため、$r^n$ は $0$ に近づいていきます。

$r=0.5$ のとき、値の推移は $0.5,0.25,0.125,0.0625,\dots$ です。

$r$ が負の場合も同様です。$r=-0.5$ なら $-0.5,0.25,-0.125,0.0625,\dots$ と正負を交互に繰り返しながら、絶対値はどんどん小さくなります。符号が入れ替わっても $|r^n|=|r{|}^n$ であり、$|r|<1$ なので $0$ に収束する点は変わりません。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n=0(-1<r<1)$$

なお $r=0$ の場合、$r^n=0$ で定数列ですが、${\lim }_{n\to \infty }{0}^n=0$ なのでこの式に含まれます。

$r\le -1$ の場合：振動して発散

$r=-1$ のとき、$r^n$ は $-1,1,-1,1,\dots$ と正と負を永遠に行き来します。どこか一つの値に近づくことはないため、発散です。

$r=-2$ のとき、$r^n$ は $-2,4,-8,16,-32,\dots$ と符号を交互に変えながら絶対値も際限なく大きくなります。これも発散ですが、$+\infty$ とも $-\infty$ とも書けません。正と負の両方に振れるため、単に「振動して発散する」と表現します。

等比数列の極限の証明（$|r|<1$ の場合）

$-1<r<1$ のとき ${\lim }_{n\to \infty }{r}^n=0$ であることを、もう少し踏み込んで示します。

$r=0$ のときは明らかなので、$0<|r|<1$ とします。$|r|<1$ より $\frac{1}{|r|}>1$ なので、$\frac{1}{|r|}=1+h$（$h>0$）と置けます。二項定理より、

$$\frac{1}{|r{|}^n}=(1+h{)}^n\ge 1+nh$$

が成り立ちます。したがって、

$$|r^n|=|r{|}^n\le \frac{1}{1+nh}$$

です。$n\to \infty$ のとき $1+nh\to \infty$ なので $\frac{1}{1+nh}\to 0$ となり、はさみうちの原理（$0\le |r^n|\le \frac{1}{1+nh}\to 0$）から $|r^n|\to 0$、すなわち $r^n\to 0$ が得られます。

等比数列 $a\cdot r^{n-1}$ への拡張

実際の問題では、初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $\{a\cdot r^{n-1}\}$ の極限を求める場面が多く出てきます。$a$ は $n$ に依存しない定数なので、極限の性質から次が成り立ちます。

$$\underset{n\to \infty }{\lim }a\cdot r^{n-1}=a\cdot \underset{n\to \infty }{\lim }{r}^{n-1}$$

つまり $r^n$ の極限がわかっていれば、定数倍しただけなので結果はすぐに求まります。$|r|<1$ なら初項が何であっても $0$ に収束し、$r>1$ なら $a>0$ のとき $+\infty$ に、$a<0$ のとき $-\infty$ に発散します。