コーシー列と完備性

数列が収束するかどうかを判定したいとき、極限値そのものがわからなくても判定できる方法があります。「項どうしの距離がどんどん近づいていく」という性質だけで収束を保証するのがコーシー列の考え方であり、この性質が成り立つ空間を「完備」と呼びます。

収束の判定と極限値の問題

数列 ${a_{n}}$ が $L$ に収束することの定義は、任意の $ε > 0$ に対してある $N$ が存在し、 $n \geq N$ ならば $∣ a_{n} - L ∣ < ε$ となることです。しかし、この定義を使うには極限値 $L$ を事前に知っている必要があります。

たとえば $a_{n} = \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k ^{2}}$ という数列が収束するかどうかを考えるとき、極限値が $\frac{π ^{2}}{6}$ であることを知らなければ定義から直接確認するのは困難です。極限値を知らなくても収束を判定できる基準が必要になります。

コーシー列の定義

数列 ${a_{n}}$ がコーシー列（Cauchy sequence）であるとは、次の条件を満たすことです。

任意の $ε > 0$ に対して、ある自然数 $N$ が存在し、 $m, n \geq N$ ならば $∣ a_{m} - a_{n} ∣ < ε$ が成り立つ。

収束の定義

各項 $a_{n}$ と極限値 $L$ の距離が小さくなる。極限値 $L$ が必要。

コーシー列の定義

項どうし $a_{m}$ と $a_{n}$ の距離が小さくなる。極限値を知らなくてよい。

コーシー列の条件は「十分先の項どうしがいくらでも近づく」ことだけを要求しています。項の行き先がどこであるかには言及していません。

収束列はコーシー列

収束する数列は必ずコーシー列になります。これは比較的簡単に示せます。

${a_{n}}$ が $L$ に収束するとします。任意の $ε > 0$ に対して、ある $N$ が存在し $n \geq N$ ならば $∣ a_{n} - L ∣ < \frac{ε}{2}$ です。 $m, n \geq N$ のとき、三角不等式から

$∣ a_{m} - a_{n} ∣ \leq ∣ a_{m} - L ∣ + ∣ L - a_{n} ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

となるので、 ${a_{n}}$ はコーシー列です。

${a_{n}}$ が $L$ に収束

$a_{m}$ も $a_{n}$ も $L$ の近くにいる

三角不等式で $∣ a_{m} - a_{n} ∣$ が小さい

${a_{n}}$ はコーシー列

逆に、コーシー列は必ず収束するでしょうか。これは数列が住んでいる空間の性質に依存します。

コーシー列が収束しない例：有理数の場合

有理数の数列で、 $2$ に近づいていく列を考えます。たとえばニュートン法を用いて

$a_{1} = 1, a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{2}{a _{n}})$

と定めると、各 $a_{n}$ はすべて有理数であり、 $2$ に急速に近づきます。

$n$	$a_{n}$
1	$1$
2	$3/2$
3	$17/12$
4	$577/408$

この数列はコーシー列の条件を満たしています。項どうしの差はどんどん小さくなります。しかし、極限値である $2$ は有理数ではありません。有理数の世界 $Q$ の中だけで考えると、この数列は「行き先がない」のです。

これがコーシー列でありながら収束しない例です。有理数の空間には「隙間」があり、数列がその隙間に向かって進んでいくと、空間の中に到達点が存在しないという事態が起こります。

完備性の定義

空間の中で「すべてのコーシー列が収束する」という性質を完備性（completeness）と呼びます。

距離空間 $(X, d)$ が完備であるとは、 $X$ 内の任意のコーシー列が $X$ 内の点に収束することです。

空間に「隙間」がなく、コーシー列の極限がすべて空間内に収まっている状態。

実数全体の集合 $R$ は完備な空間です。一方、有理数全体 $Q$ は完備ではありません。歴史的に見ると、実数の構成（デデキントの切断やコーシー列による構成）は、まさにこの「有理数の隙間を埋めて完備な空間を作る」操作にあたります。

実数の完備性の証明

実数上でコーシー列が必ず収束することを示します。証明の流れは次のとおりです。

ステップ 1：コーシー列は有界

${a_{n}}$ がコーシー列であるとします。 $ε = 1$ に対して、ある $N$ が存在し $m, n \geq N$ ならば $∣ a_{m} - a_{n} ∣ < 1$ です。特に $n \geq N$ のとき $∣ a_{n} ∣ < ∣ a_{N} ∣ + 1$ なので、

$∣ a_{n} ∣ \leq max {∣ a_{1} ∣, ∣ a_{2} ∣, \dots, ∣ a_{N - 1} ∣, ∣ a_{N} ∣ + 1}$

により ${a_{n}}$ は有界です。

ステップ 2：ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理を適用

有界数列には収束する部分列が存在します。 ${a_{n}}$ の部分列 ${a_{n_{k}}}$ が $L$ に収束するとします。

ステップ 3：コーシー列は収束部分列があれば全体も収束

任意の $ε > 0$ に対して、コーシー列の条件から $m, n \geq N_{1}$ ならば $∣ a_{m} - a_{n} ∣ < \frac{ε}{2}$ 、部分列の収束から $k \geq K$ ならば $∣ a_{n_{k}} - L ∣ < \frac{ε}{2}$ です。 $n \geq N_{1}$ かつ $n_{k} \geq N_{1}$ となる $k$ を取ると、

$∣ a_{n} - L ∣ \leq ∣ a_{n} - a_{n_{k}} ∣ + ∣ a_{n_{k}} - L ∣ < \frac{ε}{2} + \frac{ε}{2} = ε$

となり、 ${a_{n}}$ は $L$ に収束します。

この証明のポイントは、コーシー列であることと部分列が収束することを組み合わせている点です。コーシー列の条件が「項どうしが近い」ことを保証し、部分列の収束が「行き先の候補」を提供しています。

完備性と同値な命題

実数の完備性は、解析学における他のいくつかの基本的な性質と同値です。

上限の公理（連続性の公理）

空でない上に有界な実数の部分集合は上限（supremum）を持つ。

ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理

有界な実数列は収束する部分列を持つ。

区間縮小法の原理

長さが $0$ に収束する閉区間の列 $[a_{1}, b_{1}] \supset [a_{2}, b_{2}] \supset \dots$ の共通部分はちょうど 1 点からなる。

単調収束定理

上に有界な単調増加数列は収束する。

これらの命題はどれか 1 つを公理として採用すれば、残りは定理として証明できます。実数論の体系をどこから出発するかによって、どれが「公理」でどれが「定理」かが変わりますが、内容としてはすべて同じこと——実数に隙間がないこと——を述べています。

完備性が崩れる空間の例

完備でない空間をもう少し見てみます。

開区間 $(0, 1)$ は通常の距離で完備ではありません。数列 $a_{n} = \frac{1}{n}$ はコーシー列ですが、極限値 $0$ は $(0, 1)$ に属しません。一方、閉区間 $[0, 1]$ は完備です。端点が含まれているかどうかが本質的な違いになります。

また、連続関数の空間 $C [0, 1]$ に一様ノルム $∥ f ∥ = sup_{x \in [0, 1]} ∣ f (x) ∣$ を入れると完備な空間（バナッハ空間）になります。しかし、 $L^{1}$ ノルム $∥ f ∥ = \int_{0}^{1} ∣ f (x) ∣ d x$ を入れた場合の連続関数の空間は完備ではありません。連続関数のコーシー列が不連続な関数に収束してしまう場合があるためです。

コーシー列の応用：縮小写像の原理

完備距離空間上では、縮小写像の不動点定理（バナッハの不動点定理）が成り立ちます。

完備距離空間 $(X, d)$ 上の写像 $T : X \to X$ が、ある $0 < c < 1$ に対して

$d (T (x), T (y)) \leq c \cdot d (x, y)$

を満たすとき、 $T$ はただ 1 つの不動点を持ちます。任意の初期値 $x_{0}$ から $x_{n + 1} = T (x_{n})$ で数列を定めると、この数列はコーシー列となり、完備性からその極限が不動点として存在します。

先ほど $2$ の近似に使ったニュートン法も、適切な条件のもとで縮小写像の原理により収束が保証されます。常微分方程式の解の存在と一意性を示すピカールの逐次近似法も、本質的にはこの定理に基づいています。

有理数 $Q$ 上のコーシー列 ${a_{n}}$ について正しい記述はどれですか？

必ず有理数に収束する
有理数に収束するとは限らない
コーシー列にはなれない
必ず発散する

__RESULT__

$Q$ は完備ではないため、 $Q$ 内のコーシー列が $Q$ 内の点に収束するとは限りません。 $2$ に近づく有理数列がその典型例です。