前回の記事で扱ったラプラス変換の基本公式は、$e^{at}$, $\sin(\omega t)$, $t^n$ といった滑らかな...

ラプラス変換は、微分方程式を代数方程式に変換する強力な道具です。この記事では、ラプラス変換と逆変換の定義を確認したうえで、計算の...

微分方程式の問題は大きく分けて初期値問題と境界値問題の 2 種類があります。初期値問題では、ある一点での関数値と導関数値を指定し...

ラプラス方程式 $\Delta u = 0$ は「源のない場」を記述しますが、現実の物理現象では電荷や質量、熱源などの「源」が存...

次数付き環における Hilbert 関数の定義から出発し、Hilbert 多項式の存在定理と次元・重複度との関係を解説する

整域の整閉包を具体的に計算する方法と、整閉性を判定するための理論的・実践的な手法を解説する

半群環・モノイド環の定義と基本性質を解説し、多項式環やLaurent多項式環が特殊な場合として統一的に理解できることを示す

整域の商体の構成から出発し、関数体の概念と拡大の理論を体系的に解説する

多項式環と形式的冪級数環の代数的性質を体系的に比較し、両者の共通点と本質的な違いを明らかにする

整数論における二次形式の理論は、ガウスが『算術研究』（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）で体系...

整数の世界で方程式を解くとき、まず各素数 $p$ を法として解を調べ、次にそれを $p^2, p^3, \dots$ と持ち上げ...

ディリクレの算術級数定理は「$\gcd(a, q) = 1$ ならば $p \equiv a \pmod{q}$ を満たす素数が...

リーマンのゼータ関数 $\zeta(s) = \sum_{n=1}^{\infty} n^{-s}$ が素数の分布を支配するとい...

整数論における二次形式の理論は、ガウスが『算術研究』（Disquisitiones Arithmeticae, 1801）で体系...

代数的整数論において「類数は有限である」という事実は基本的な定理の一つだが、その証明の核心にあるのがミンコフスキーの凸体定理であ...

有限次元の線形代数では、実対称行列（あるいはエルミート行列）は必ず直交対角化できる。固有値を対角成分に並べた対角行列と、固有ベク...

作用素 $T$ のスペクトルを調べるとは、$(T - \lambda I)$ が可逆かどうかを $\lambda$ ごとに判定す...

線形代数で学ぶ固有値・固有ベクトルは、有限次元の行列に対する理論だ。行列 $A$ に対して $Ax = \lambda x$ を...

曲線の長さ（弧長）を求める問題は、面積や体積と並ぶ積分の重要な応用だ。直線の長さは 2 点間の距離で求まるが、曲がった線の長さは...

コンパクト作用素の理論は抽象的に見えるが、具体例を通じて理解すると見通しがよくなる。ここでは代表的なコンパクト作用素を取り上げ、...

ヒルベルト・シュミット作用素は、コンパクト作用素のなかでもさらに「よい性質」をもつクラスだ。行列のフロベニウスノルムの無限次元版...

フレドホルム理論は、コンパクト作用素による摂動 $I - T$ の可逆性や解の構造を調べる理論だ。無限次元空間における線形方程式...

レトラクトは位相空間とその部分空間の関係を記述する概念であり、ホモトピー論において中心的な役割を果たす。レトラクション、変形レト...

位相幾何学の根本的な問いは「2つの空間は本質的に同じか」である。この問いに答えるための道具がホモトピー不変量だ。ホモトピー同値な...