群 $G$ が集合 $X$ に作用しているとき、軌道の数を求める問題は組合せ論で頻繁に現れます。素朴に数えようとすると「回転して...

可換環 $R$ のイデアルに対しては、和・積・交叉・商という 4 つの基本的な演算が定義されます。これらの演算はイデアルの集合に...

行列を未知数とする方程式を行列方程式と呼びます。$AX = B$ のような単純な形であれば $X = A^{-1}B$ で解けま...

ベクトルをある部分空間に「落とす」操作を射影と呼びます。この操作を行列で表したものが射影行列であり、射影行列は $P^2 = P...

置換積分は、被積分関数の中に合成関数の構造を見抜き、変数を置き換えることで積分を簡単にする手法です。ここでは様々なパターンの置換...

連立一次方程式を行列とベクトルで表すと $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ という形になります。ここで $A$...

行列式は正方行列に対して定義されるスカラー値の関数であり、行列が正則かどうかを判定する基本的な道具です。行列式にはいくつかの重要...

関数級数 $\sum f_n(x)$ の和として定義された関数を微分したり積分したりするとき、$\sum$ と $\frac{d...

関数列 $\{f_n\}$ が極限関数 $f$ に「収束する」とはどういうことかを考えるとき、各点収束と一様収束という 2 つの...

有界な数列は、どんなに複雑に振動していても、必ずどこかに収束する部分列を含んでいます。これがボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定...

数列が収束するかどうかを判定したいとき、極限値そのものがわからなくても判定できる方法があります。「項どうしの距離がどんどん近づい...

数列の極限を考えるとき、収束しない数列には通常の意味での極限値が存在しません。しかし、どんな有界数列にも「上側からの極限」と「下...

放物線 $y^2 = 4px$ 上の点は、1 つのパラメータ $t$ を使って $(pt^2,\ 2pt)$ と表せます。この媒...

放物線は、ある定点（焦点）とある定直線（準線）からの距離が等しい点の軌跡として定義されます。この定義から放物線の標準形の方程式を...

通常の順列や組み合わせでは、一度選んだものは再び選べません。しかし実際には「同じものを何度でも選べる」場面が多くあります。サイコ...

5 人を一列に並べる順列は $5! = 120$ 通りです。では、5 人が円形のテーブルに座る場合はどうなるでしょうか。一列に並...

三角比の値がわかっていて、その値をとる角度 $\theta$ を求める問題を三角方程式といいます。数学 I の範囲では $0° ...

三角形の面積といえば「底辺 × 高さ ÷ 2」が基本ですが、高さが直接わからない三角形も多くあります。2 辺の長さとその間の角が...

漸化式で定義された数列が収束するとき、その極限値を求める定番の手法があります。「収束するならば極限値は $\alpha$ である...

極限を直接計算するのが難しい数列や関数に対して、上下から別の式で挟み込むことで極限を確定させる手法があります。これが**はさみう...

等比数列の各項をすべて足し合わせたものを**無限等比級数**といいます。初項 $a$、公比 $r$ の等比数列 $a, ar, ...

数列 $\{a_n\}$ において、$n$ を限りなく大きくしたとき、$a_n$ がある一定の値 $\alpha$ に限りなく近...

三角比には $\sin\theta$、$\cos\theta$、$\tan\theta$ の 3 つがありますが、これらは互いに...

被覆空間の定義を述べ、円周や トーラスなどの具体例を通じてその構造を解説します。