放物線は焦点と準線から等しい距離にある点の集まり

$1$ つの点と $1$ 本の直線から等しい距離にある点を集めると、放物線になります。点を焦点、直線を準線といいます。

$PF = PH$

楕円は $2$ 点からの距離の和、双曲線は差でした。放物線だけは、点と直線の距離を比べます。

$2$ 本のバーが同じ長さのまま伸び縮みします。点が曲線から外れると差が出る。等しさを保つ位置の集まりが放物線です。

標準形を導く

焦点を $(p, 0)$ 、準線を $x = - p$ とします。点 $(x, y)$ について条件を書き下します。

$(x - p)^{2} + y^{2} = ∣ x + p ∣$

両辺を $2$ 乗して展開します。

$x^{2} - 2 p x + p^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 p x + p^{2}$

$x^{2}$ と $p^{2}$ が消え、 $- 2 p x + y^{2} = 2 p x$ 。整理すると標準形が出ます。

$y^{2} = 4 p x$

$2$ 乗が $1$ 回で済むのが放物線の特徴です。楕円や双曲線では $2$ 回必要でした。

焦点と準線の読み方

$y^{2} = 4 p x$ を見たら、 $4 p$ が $y^{2}$ の右にある係数。 $p$ はその $\frac{1}{4}$ です。

焦点	$(p, 0)$
準線	$x = - p$
頂点	原点
軸	$x$ 軸

$p > 0$ なら右に開き、 $p < 0$ なら左に開きます。焦点と準線は、頂点をはさんで反対側に同じ距離だけ離れています。

数を入れる

$y^{2} = 8 x$ の焦点と準線を求めます。 $4 p = 8$ なので $p = 2$ 。

焦点は $(2, 0)$ 、準線は $x = - 2$ です。頂点の原点から左右に $2$ ずつ離れています。

$y^{2} = - 12 x$ なら $4 p = - 12$ で $p = - 3$ 。焦点は $(- 3, 0)$ 、準線は $x = 3$ 。左に開く放物線です。

$y^{2} = x$ なら $4 p = 1$ で $p = \frac{1}{4}$ 。焦点は $(\frac{1}{4}, 0)$ 、準線は $x = - \frac{1}{4}$ になります。

上下に開く放物線

軸が $y$ 軸のときは、 $x$ と $y$ を入れかえた形です。

$x^{2} = 4 p y$

焦点は $(0, p)$ 、準線は $y = - p$ 。中学と高校の $y = a x^{2}$ はこの型で、 $4 p = \frac{1}{a}$ の関係にあります。

$y = x^{2}$ なら $x^{2} = y$ で $4 p = 1$ 、 $p = \frac{1}{4}$ 。焦点は $(0, \frac{1}{4})$ 、準線は $y = - \frac{1}{4}$ です。

$y = \frac{1}{8} x^{2}$ なら $x^{2} = 8 y$ で $p = 2$ 。焦点 $(0, 2)$ 、準線 $y = - 2$ になります。

焦点を上げると準線が下がり、放物線の開きが広がります。焦点が頂点に近いほど、細く尖った形になる。 $p$ $1$ つで形が決まります。

頂点が原点にないとき

$(h, k)$ を頂点とする放物線は、 $x$ を $x - h$ 、 $y$ を $y - k$ に置きかえた形です。

$(y - k)^{2} = 4 p (x - h)$

焦点は $(h + p, k)$ 、準線は $x = h - p$ 。頂点からの相対位置で考えます。

$y^{2} - 4 y - 8 x + 20 = 0$ を整理してみます。 $y$ について平方完成します。

$(y - 2)^{2} - 4 - 8 x + 20 = 0$

$(y - 2)^{2} = 8 x - 16 = 8 (x - 2)$ 。頂点 $(2, 2)$ 、 $4 p = 8$ で $p = 2$ 。焦点は $(4, 2)$ 、準線は $x = 0$ です。

定義を使う問題

放物線 $y^{2} = 8 x$ 上の点 $P$ について、 $PF = 5$ のときの $P$ の座標を求めます。

$p = 2$ なので準線は $x = - 2$ 。定義から $PH = PF = 5$ で、 $PH$ は $x + 2$ に等しい。

$x + 2 = 5 ⟹ x = 3$

$y^{2} = 24$ から $y = \pm 26$ 。求める点は $(3, \pm 26)$ です。

距離の公式を使うと $(x - 2)^{2} + y^{2} = 5$ を解くことになり、 $2$ 乗の計算が増えます。準線に置きかえるほうが速い。

最短距離の問題

放物線 $y^{2} = 4 x$ 上の点と、点 $A (5, 0)$ を結ぶ線分の長さの最小値を求めます。

点を $(t^{2}, 2 t)$ と媒介変数で置きます。 $p = 1$ なので $x = p t^{2} = t^{2}$ , $y = 2 pt = 2 t$ です。

$AP^{2} = (t^{2} - 5)^{2} + 4 t^{2} = t^{4} - 10 t^{2} + 25 + 4 t^{2} = t^{4} - 6 t^{2} + 25$

$u = t^{2} \geq 0$ と置くと $u^{2} - 6 u + 25 = (u - 3)^{2} + 16$ 。 $u = 3$ で最小値 $16$ 、したがって $AP$ の最小値は $4$ です。

$t^{2} = 3$ から $t = \pm 3$ 、点は $(3, \pm 23)$ 。媒介変数を使うと $1$ 変数の問題に落ちます。

反射の性質

軸に平行に入ってきた光線は、放物線で反射すると必ず焦点に集まります。パラボラアンテナや反射望遠鏡がこの性質を使っています。

逆に焦点から出た光は、反射して軸に平行な平行光線になる。懐中電灯やヘッドライトの反射鏡がこの形です。

「焦点」という名前も、光が焦げるほど集まる点、という意味から来ています。定義の「焦点と準線から等距離」という条件が、この反射の性質を生んでいます。

楕円は 2 点からの距離の和、双曲線は差、放物線だけは点と直線の距離を比べます。条件を書き下して 2 乗すると y² = 4px が 1 回で出る。4p の 4 分の 1 が焦点までの距離です。上下に開く型、頂点が原点にないときの平方完成、準線に置きかえて距離を出す問題、媒介変数で最短距離を求める例、反射の性質まで。