放物線は焦点と準線から等しい距離にある点の集まり

$1$ つの点と $1$ 本の直線から等しい距離にある点を集めると、放物線になります。点を焦点、直線を準線といいます。

$$\mathrm{PF}=\mathrm{PH}$$

楕円は $2$ 点からの距離の和、双曲線は差でした。放物線だけは、点と直線の距離を比べます。

$2$ 本のバーが同じ長さのまま伸び縮みします。点が曲線から外れると差が出る。等しさを保つ位置の集まりが放物線です。

標準形を導く

焦点を $(p,0)$、準線を $x=-p$ とします。点 $(x,y)$ について条件を書き下します。

$$\sqrt{(x-p{)}^2+y^2}=|x+p|$$

両辺を $2$ 乗して展開します。

$$x^2-2px+p^2+y^2=x^2+2px+p^2$$

$x^2$ と $p^2$ が消え、$-2px+y^2=2px$。整理すると標準形が出ます。

$$y^2=4px$$

$2$ 乗が $1$ 回で済むのが放物線の特徴です。楕円や双曲線では $2$ 回必要でした。

焦点と準線の読み方

$y^2=4px$ を見たら、$4p$ が $y^2$ の右にある係数。$p$ はその $\frac{1}{4}$ です。

$p>0$ なら右に開き、$p<0$ なら左に開きます。焦点と準線は、頂点をはさんで反対側に同じ距離だけ離れています。

数を入れる

$y^2=8x$ の焦点と準線を求めます。$4p=8$ なので $p=2$。

焦点は $(2,0)$、準線は $x=-2$ です。頂点の原点から左右に $2$ ずつ離れています。

$y^2=-12x$ なら $4p=-12$ で $p=-3$。焦点は $(-3,0)$、準線は $x=3$。左に開く放物線です。

$y^2=x$ なら $4p=1$ で $p=\frac{1}{4}$。焦点は $\left(\frac{1}{4},0\right)$、準線は $x=-\frac{1}{4}$ になります。

上下に開く放物線

軸が $y$ 軸のときは、$x$ と $y$ を入れかえた形です。

$$x^2=4py$$

焦点は $(0,p)$、準線は $y=-p$。中学と高校の $y=a{x}^2$ はこの型で、$4p=\frac{1}{a}$ の関係にあります。

$y=x^2$ なら $x^2=y$ で $4p=1$、$p=\frac{1}{4}$。焦点は $\left(0,\frac{1}{4}\right)$、準線は $y=-\frac{1}{4}$ です。

$y=\frac{1}{8}{x}^2$ なら $x^2=8y$ で $p=2$。焦点 $(0,2)$、準線 $y=-2$ になります。

焦点を上げると準線が下がり、放物線の開きが広がります。焦点が頂点に近いほど、細く尖った形になる。$p$ $1$ つで形が決まります。

頂点が原点にないとき

$(h,k)$ を頂点とする放物線は、$x$ を $x-h$、$y$ を $y-k$ に置きかえた形です。

$$(y-k{)}^2=4p(x-h)$$

焦点は $(h+p,k)$、準線は $x=h-p$。頂点からの相対位置で考えます。

$y^2-4y-8x+20=0$ を整理してみます。$y$ について平方完成します。

$$(y-2{)}^2-4-8x+20=0$$

$(y-2{)}^2=8x-16=8(x-2)$。頂点 $(2,2)$、$4p=8$ で $p=2$。焦点は $(4,2)$、準線は $x=0$ です。

定義を使う問題

放物線 $y^2=8x$ 上の点 $\mathrm{P}$ について、$\mathrm{PF}=5$ のときの $\mathrm{P}$ の座標を求めます。

$p=2$ なので準線は $x=-2$。定義から $\mathrm{PH}=\mathrm{PF}=5$ で、$\mathrm{PH}$ は $x+2$ に等しい。

$$x+2=5⟹x=3$$

$y^2=24$ から $y=\pm 2\sqrt{6}$。求める点は $(3,\pm 2\sqrt{6})$ です。

距離の公式を使うと $\sqrt{(x-2{)}^2+y^2}=5$ を解くことになり、$2$ 乗の計算が増えます。準線に置きかえるほうが速い。

最短距離の問題

放物線 $y^2=4x$ 上の点と、点 $\mathrm{A}(5,0)$ を結ぶ線分の長さの最小値を求めます。

点を $(t^2,2t)$ と媒介変数で置きます。$p=1$ なので $x=p{t}^2=t^2$, $y=2pt=2t$ です。

$${\mathrm{AP}}^2=(t^2-5{)}^2+4t^2=t^4-10t^2+25+4t^2=t^4-6t^2+25$$

$u=t^2\ge 0$ と置くと $u^2-6u+25=(u-3{)}^2+16$。$u=3$ で最小値 $16$、したがって $\mathrm{AP}$ の最小値は $4$ です。

$t^2=3$ から $t=\pm \sqrt{3}$、点は $(3,\pm 2\sqrt{3})$。媒介変数を使うと $1$ 変数の問題に落ちます。

反射の性質

軸に平行に入ってきた光線は、放物線で反射すると必ず焦点に集まります。パラボラアンテナや反射望遠鏡がこの性質を使っています。

逆に焦点から出た光は、反射して軸に平行な平行光線になる。懐中電灯やヘッドライトの反射鏡がこの形です。

「焦点」という名前も、光が焦げるほど集まる点、という意味から来ています。定義の「焦点と準線から等距離」という条件が、この反射の性質を生んでいます。