放物線の方程式と焦点・準線｜高校数学

放物線は、ある定点（焦点）とある定直線（準線）からの距離が等しい点の軌跡として定義されます。この定義から放物線の標準形の方程式を導出し、焦点と準線の関係を整理していきます。

放物線の定義

平面上に、1 つの定点 $F$ と、 $F$ を通らない 1 つの定直線 $l$ があるとします。点 $P$ が次の条件を満たしながら動くとき、 $P$ の軌跡を放物線といいます。

$PF = P d$

ここで $P d$ は点 $P$ から直線 $l$ に下ろした垂線の長さです。定点 $F$ を放物線の焦点、定直線 $l$ を準線と呼びます。

楕円・双曲線の定義

2 つの焦点からの距離の和（楕円）または差（双曲線）が一定

放物線の定義

1 つの焦点からの距離と 1 つの準線からの距離が等しい

楕円や双曲線は焦点が 2 つ必要ですが、放物線は焦点 1 つと準線 1 本で定まるという点が大きな違いです。

標準形の導出

焦点を $F (p, 0)$ （ただし $p > 0$ ）、準線を $x = - p$ とおきます。放物線上の任意の点を $P (x, y)$ とすると、定義より

$PF = P d$

が成り立ちます。左辺は点 $P$ と焦点 $F$ の距離なので

$PF = (x - p)^{2} + y^{2}$

右辺は点 $P$ から準線 $x = - p$ への距離なので

$P d = ∣ x + p ∣ = x + p$

となります（放物線上の点は $x \geq 0$ を満たすため絶対値を外せます）。 $PF = P d$ の両辺を 2 乗すると

$(x - p)^{2} + y^{2} = (x + p)^{2}$

左辺を展開して整理しましょう。

$x^{2} - 2 p x + p^{2} + y^{2} = x^{2} + 2 p x + p^{2}$

$x^{2}$ と $p^{2}$ が両辺で消えるため

$y^{2} = 4 p x$

が得られます。これが放物線の標準形です。

焦点と準線の読み取り方

標準形 $y^{2} = 4 p x$ から、焦点と準線はすぐに読み取れます。

方程式	$y^{2} = 4 p x$
焦点	$(p, 0)$
準線	$x = - p$
頂点	原点 $(0, 0)$
対称軸	$x$ 軸
開く向き	$x$ 軸正の方向

$p$ の値が大きいほど放物線は広く開き、小さいほど焦点付近で鋭く曲がります。 $p$ は焦点から頂点までの距離であり、同時に頂点から準線までの距離でもあるという点を覚えておくと便利です。

具体例

放物線 $y^{2} = 12 x$ の焦点と準線を求めてみます。 $4 p = 12$ より $p = 3$ なので、焦点は $(3, 0)$ 、準線は $x = - 3$ です。

放物線 $y^{2} = 8 x$ の焦点の座標はどれですか？

$(8, 0)$
$(2, 0)$
$(4, 0)$
$(0, 2)$

__RESULT__

$4 p = 8$ より $p = 2$ なので、焦点は $(2, 0)$ です。

4 つの向きの放物線

ここまでは $x$ 軸正方向に開く放物線を扱いましたが、焦点と準線の配置を変えると 4 つの向きが得られます。

方程式	焦点	準線
$y^{2} = 4 p x$	$(p, 0)$	$x = - p$
$y^{2} = - 4 p x$	$(- p, 0)$	$x = p$
$x^{2} = 4 p y$	$(0, p)$	$y = - p$

$x^{2} = - 4 p y$ のときは焦点が $(0, - p)$ 、準線が $y = p$ で、下方向に開く放物線になります。table の列数制限のため別途示しましたが、共通しているのは焦点と準線が対称軸上で頂点を挟んで等距離にあるという構造です。

放物線 $x^{2} = - 16 y$ の準線はどれですか？

$y = - 4$
$x = 4$
$y = 4$
$x = - 4$

__RESULT__

$x^{2} = - 4 p y$ の形なので $4 p = 16$ より $p = 4$ です。下向きに開く放物線のため、準線は焦点の反対側の $y = 4$ となります。

放物線の通過点と方程式の決定

放物線の方程式に含まれる未知数は $p$ の 1 つだけなので、通過する 1 点が分かれば方程式を決定できます。

たとえば、 $y^{2} = 4 p x$ が点 $(3, 6)$ を通るとき、 $36 = 12 p$ より $p = 3$ となり、方程式は $y^{2} = 12 x$ と確定します。

楕円 $\frac{x ^{2}}{a ^{2}} + \frac{y ^{2}}{b ^{2}} = 1$ は未知数が $a, b$ の 2 つあるため 2 つの条件が必要ですが、放物線はパラメータが 1 つなので 1 条件で決まります。

標準形 $y^{2} = 4 p x$ において、形状を決める自由度は $p$ のみ。

まとめ

放物線は「焦点からの距離 = 準線からの距離」という単純な条件から生まれる曲線です。標準形 $y^{2} = 4 p x$ を導出する流れは、この等距離条件を座標で表して両辺を 2 乗するだけなので、手順を一度理解すれば忘れにくいでしょう。焦点と準線の位置は $p$ の値で決まり、符号と変数の入れ替えで 4 方向の放物線を扱えるようになります。