連立一次不等式と数直線〜共通範囲が解になる、重ならなければ解なし
と を同時に満たす は、 です。
片方ずつ解くと と になる。この 2 つを数直線に並べ、重なったところを読む。
両方を満たす範囲を共通範囲といいます。連立一次不等式で求めるものが、この共通範囲です。
端の等号は片方の不等式だけで決まる
の左端に等号がなく、右端にあるのは、 と からそれぞれ引き継いだため。
左端の を決めているのは のほう。等号がないため、 は共通範囲に入りません。
右端の を決めているのは で、こちらは等号つき。 は入る。
数直線では、入らない端を白丸、入る端を黒丸で書き分ける。答えを書くときは、その丸をそのまま不等号に移す。
例 1：向きが違う 2 つ
の両辺に を足して 、両辺を で割って 。
は両辺から を引いて です。
下限を決める不等式と上限を決める不等式が 1 つずつあるため、共通範囲は両側からはさまれた形になる。答えは です。
例 2：向きが同じ 2 つ
から 、 から で 。
どちらも下限だけを決めていて、上限がありません。 より大きい数は より大きい数でもあるため、厳しいほうの がそのまま共通範囲になる。
上限と下限が 1 つずつ決まり、 のようにはさまれた範囲が残る
同じ側の限界が 2 つ並ぶ。厳しいほうだけが効き、もう一方は消える
例 3：重ならないとき
から で 。 からは です。
より大きく、同時に より小さい数はありません。重なりが 1 つもないとき、答えは解なしになる。
例 4：1 点だけ残るとき
と を解くと、 と になる。
以上であり 以下でもある数は だけ。共通範囲は の 1 点に縮む。
左端が に届いたところで、共通範囲は 1 点になる。 を越えると重なりが消えて、解なしに変わります。
例 5：不等式が 3 つ
、、 の 3 つを同時に満たす を求めます。
| より | |
1 つ目と 3 つ目は同じ 。残るのは と の 2 つで、共通範囲は です。
数が増えても、1 つずつ解いてから重ねる手順は変わらない。
不等式を 1 つずつ解く
数直線に並べて重ねる
残った範囲の端と等号を読む
と を同時に満たす はどれですか。
- 解なし
の形
のように不等号が 2 つ並んだ式は、2 つの不等式を 1 本にまとめた書き方です。
は、 と の 両方 を同時に満たす を指しています。
連立不等式を 1 本に書いたもの。どちらか一方でよいという意味ではない。
が真ん中にしかないため、3 か所すべてに同じ操作をあてれば、真ん中を だけにできる。
各辺から を引いて 、各辺を で割って 。
2 つに分けて別々に解いても同じ答えにたどり着く。まとめて処理すると書く量が減ります。
負の数で割ると 2 か所とも向きが変わる
の各辺を で割ります。
負の数で割ると不等号は逆を向く。並んでいる 2 つが同時に変わる。
左右をひっくり返して です。 を で割った が上限に、 を で割った が下限に移る。
片方の向きだけを変えると と が並び、まったく別の範囲になる。
を満たす はどれですか。
各辺から を引くと 、各辺を で割って です。 は、引き算だけで止めて で割り忘れた形になります。
が 2 か所以上にあるとき
は、真ん中だけでなく左端にも があります。
3 か所から を引いても になり、右端に が残る。真ん中を だけにする道がありません。
この形は 2 つに分けて解く。 から 、 から 。
共通範囲は です。 なら 、 なら 。両端とも条件を満たしている。
どちらの手順になるかは、 の位置だけで決まる。 が真ん中にしかなければまとめて処理でき、2 か所以上にあれば分ける。
端の値をもとの式に入れる
求めた共通範囲が合っているかは、端の値を入れると分かります。
例 1 の なら、 をもとの と の両方に入れる。 と で、どちらも成り立ちます。
のほうは が崩れる。左端が白丸だったことと合っています。
範囲の外も 1 つ見ておく。 なら が崩れ、上限のほうも効いていると分かる。
端の 2 つと外の 1 つ。この 3 か所を見れば、等号の見落としも書き写しの誤りも見つかります。
4x≤12 から x≤3、x+6>4 から x>−2 です。上限の 3 は等号つきの不等式、下限の −2 は等号なしの不等式が決めているため、−2<x≤3 になります。