候補が出ても収束するとは限らない（漸化式で定まる数列の極限）

$a_{1} = 0$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ で作る数列は $0$ 、 $1$ 、 $1.5$ 、 $1.75$ 、 $1.875$ 、 $1.9375$ と進みます。行き先は $2$ 。

その $2$ は、漸化式の $a_{n + 1}$ と $a_{n}$ を両方 $α$ に置きかえた方程式から出ます。

$α = \frac{1}{2} α + 1 ⟹ α = 2$

数列が $α$ に収束するなら $a_{n + 1}$ も $α$ に収束するので、両辺の極限をとればこの式になる。

ただし、これで出るのは候補です。本当に収束するかどうかは別に確かめます。

方程式を満たす点を探す

漸化式 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ で $n \to \infty lim a_{n} = α$ とすると、 $α = f (α)$ が成り立ちます。

この $α$ を $f$ の不動点といいます。 $y = f (x)$ のグラフと直線 $y = x$ の交点が、そのまま候補になる。

図で追うと動きが見えます。 $a_{n}$ から $f (a_{n})$ へ縦に動き、次に $y = x$ に当てて横に戻す。これを繰り返すと階段ができます。

例：一次の漸化式は等比数列に直せる

候補が $2$ だと分かったら、 $b_{n} = a_{n} - 2$ と置いて差を見ます。

$b_{n + 1} = a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} a_{n} + 1 - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2) = \frac{1}{2} b_{n}$

${b_{n}}$ は公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列です。 $b_{1} = - 2$ なので $b_{n} = - 2 (\frac{1}{2})^{n - 1}$ 。

$\frac{1}{2} < 1$ より $b_{n} \to 0$ 、つまり $a_{n} \to 2$ が確定しました。候補が本物だったと分かる。

一般に $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p \neq = 1$ ）では、 $α = \frac{q}{1 - p}$ と置けば $b_{n + 1} = p b_{n}$ になります。

収束するかどうかは $∣ p ∣$ だけで決まります。 $∣ p ∣ < 1$ なら収束、 $∣ p ∣ \geq 1$ なら（ $b_{1} \neq = 0$ のとき）発散する。

傾きが引き寄せるか突き放すか

不動点のまわりで何が起きるかは、 $y = f (x)$ の傾きで決まります。傾きの絶対値が $1$ より小さければ、階段は交点へ吸い寄せられる。

$1$ より大きいと、逆に交点から離れていきます。同じ不動点でも、写像しだいで振る舞いが正反対になる。

距離が毎回一定の割合より小さくなる写像を縮小写像と呼びます。縮小写像は不動点をただ 1 つ持ち、どこから始めてもそこへ収束します^[2]。

誤差の評価まで付きます。縮小の比を $c$ とすると、 $ℓ$ 回目の誤差は $\frac{c ^{ℓ}}{1 - c} ∣ a_{2} - a_{1} ∣$ 以下です^[2]。

$f (x) = \frac{x}{2} + 1$ なら $c = \frac{1}{2}$ 、 $∣ a_{2} - a_{1} ∣ = 1$ なので、 $a_{5}$ の誤差は $\frac{( 1/2 ) ^{4}}{1/2} = 0.125$ 以下。実際 $∣2 - 1.875∣ = 0.125$ です。

収束の速さは等比級数と同じ^[4]。1 回ごとに誤差が一定の割合で縮みます。

$α = f (α)$ を解く手続きは、収束を前提にしたときの必要条件を書き出しているだけです。

候補が求まっても、そこへ行くとは限らない。傾きを見るか、単調性と有界性を示すかで裏づける。

例：根号を含む漸化式

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ を考えます。まず $α = 2 α + 3$ を解く。

両辺を 2 乗すると $α^{2} - 2 α - 3 = 0$ で、 $(α - 3) (α + 1) = 0$ 。平方根の値は負にならないので $α = 3$ が候補です。

項を並べると $1$ 、 $2.2361$ 、 $2.7335$ 、 $2.9098$ 、 $2.9698$ と $3$ に寄っていきます。

この場合は等比数列に直せないので、単調に増えることと上に有界であることを示します^[1]。

上に有界であることを示す

数学的帰納法を使います。 $a_{1} = 1 < 3$ は成り立つ。

$a_{k} < 3$ を仮定すると $2 a_{k} + 3 < 9$ なので $a_{k + 1} = 2 a_{k} + 3 < 3$ です。すべての $n$ で $a_{n} < 3$ が言えました。

単調に増えることを示す

差ではなく 2 乗の差を見ると符号が読めます。

$a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = (2 a_{n} + 3) - a_{n}^{2} = - (a_{n} - 3) (a_{n} + 1)$

$0 < a_{n} < 3$ なので $(a_{n} - 3) < 0$ 、 $(a_{n} + 1) > 0$ となり、右辺は正。 $a_{n} > 0$ だから $a_{n + 1} > a_{n}$ です。

上に有界で単調増加な数列は収束します^[1]。行き先は候補の $3$ に決まる。

すべての $n$ で $a_{n} < 3$

すべての $n$ で $a_{n} < a_{n + 1}$

上限を越えずに増え続けるので $3$ に収束する

例：ヘロンの方法

$a_{1} = 2$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} (a_{n} + \frac{2}{a _{n}})$ の行き先を求めます。 $α = \frac{1}{2} (α + \frac{2}{α})$ を解くと $α^{2} = 2$ 。

正の側をとって $α = 2$ です。 $2$ を計算する古い方法として知られています。

収束の速さが桁違いです。 $a_{2} = 1.5$ 、 $a_{3} = 1.4166667$ 、 $a_{4} = 1.4142157$ 、 $a_{5} = 1.4142135624$ 。

$n$	$a_{n}$	誤差
$2$	$1.5$	$0.0857864$
$3$	$1.4166667$	$0.0024531$
$4$	$1.4142157$	$0.0000021$
$5$	$1.4142135624$	$1.6 \times 1 0^{- 12}$

正しい桁数が 1 回ごとにほぼ倍になります。等比の速さより速い。

$f (x) = x^{2} - 2$ にニュートン法を当てると、 $x - \frac{x ^{2} - 2}{2 x} = \frac{1}{2} (x + \frac{2}{x})$ でこの漸化式そのものです^[3]。

不動点での傾きが $0$ になると、この速さが出ます。傾きが小さいほど強く引き寄せられる。

例：黄金比が出てくる漸化式

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a _{n}}$ の行き先を求めます。 $α = 1 + \frac{1}{α}$ から $α^{2} - α - 1 = 0$ 。

正の解は $α = \frac{1 + 5}{2} = 1.6180339887 \dots$ 、黄金比です。

項は $1$ 、 $2$ 、 $1.5$ 、 $1.6667$ 、 $1.6$ 、 $1.625$ と上下に揺れながら寄っていきます。分数で書くと $\frac{1}{1}$ 、 $\frac{2}{1}$ 、 $\frac{3}{2}$ 、 $\frac{5}{3}$ 、 $\frac{8}{5}$ 。

分子と分母にフィボナッチ数が並びます。漸化式を展開すると $1 + \frac{1}{1 + \frac{1}{1 + \dots}}$ という連分数になる。

不動点での傾きは $- \frac{1}{α ^{2}} = 0.382$ で $1$ より小さい。だから引き寄せられます。

候補があっても収束するとは限らない

$a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2$ を見ます。 $α = α^{2} - 2$ を解くと $α = 2$ または $α = - 1$ が候補として出ます。

$a_{1} = 0$ なら $0$ 、 $- 2$ 、 $2$ 、 $2$ 、 $2$ と、3 項目から $2$ で止まります。候補どおり。

$a_{1} = 3$ にすると $3$ 、 $7$ 、 $47$ 、 $2207$ 、 $4870847$ と一気に発散します。候補は同じなのに行き先が違う。

不動点での傾きは $2 α$ です。 $α = 2$ では $4$ 、 $α = - 1$ では $- 2$ 。どちらも絶対値が $1$ を超えるので、まわりの点は突き放されます。

$a_{1} = 0$ でうまくいったのは、たまたま有限回で不動点にぴったり乗ったからです。近づいていったわけではありません。

例：振動しながら収束する

$a_{1} = 0$ 、 $a_{n + 1} = - \frac{1}{2} a_{n} + 3$ では、 $α = - \frac{1}{2} α + 3$ から $α = 2$ 。

項は $0$ 、 $3$ 、 $1.5$ 、 $2.25$ 、 $1.875$ 、 $2.0625$ と、 $2$ をまたぎながら近づきます。

公比にあたる $p$ が負なので、差の符号が毎回入れ替わる。 $∣ p ∣ < 1$ なので収束は変わりません。

p

が正

同じ側から近づく。階段が一方向に伸びる

p

が負

$α$ をまたいで振動する。近づく速さは $∣ p ∣$ で決まる

手順のまとめ

α = f (α)

を解いて候補を出す。

不動点での傾き、または

∣ p ∣

を調べる。

等比数列に直せるなら

b_{n} = a_{n} - α

と置く。

直せないなら、有界であることと単調性を帰納法で示す。

初期値によって結果が変わる場合があるので、与えられた

a_{1}

で確かめる。

候補を出すところまでは機械的です。そこから先が、その問題ごとの仕事になります。

$a_{1} = 1$ 、 $a_{n + 1} = \frac{1}{4} a_{n} + 3$ で定まる数列の極限はいくつですか。

$3$
$4$
$\frac{12}{5}$

__RESULT__

$α = \frac{1}{4} α + 3$ より $\frac{3}{4} α = 3$ で $α = 4$ です。 $\frac{1}{4} < 1$ なので収束が保証されます。 $3$ は定数項をそのまま答えた値、 $\frac{12}{5}$ は $1 + p$ で割った誤りです。

収束するかどうかも確かめます。

$a_{n + 1} = \frac{3}{2} a_{n} - 1$ 、 $a_{1} = 3$ で定まる数列はどうなりますか。

$2$ に収束する
発散する
$2$ と $3$ を振動する

__RESULT__

$α = \frac{3}{2} α - 1$ から候補は $2$ ですが、 $b_{n} = a_{n} - 2$ と置くと $b_{n + 1} = \frac{3}{2} b_{n}$ です。 $b_{1} = 1 \neq = 0$ で公比が $1$ を超えるため、 $b_{n}$ は発散します。候補があることは収束の根拠になりません。

$α = f (α)$ は、収束したときに満たすべき式を書いただけです。満たす点があることと、そこへ辿り着くことは別の話になります。

参考文献

*Sequences*. Calculus Volume 2, OpenStax.

*Banachscher Fixpunktsatz*. Virtuelles Handbuch Mathematik, Universität Stuttgart.

*Newton's Method*. Calculus Volume 1, OpenStax.

Simple-iteration method. Encyclopedia of Mathematics.

$a_{n+1} = \frac{1}{2}a_n + 1$ は $0$、$1$、$1.5$、$1.75$ と進み、$\alpha = \frac{1}{2}\alpha+1$ の解である $2$ へ向かいます。この方程式から出るのは候補だけ。$y = f(x)$ と $y = x$ の交点まわりの傾きが $1$ より小さければ引き寄せられ、大きければ突き放されます。$b_n = a_n - \alpha$ で等比数列に直す手、$\sqrt{2a_n+3}$ を帰納法で単調かつ有界に持ちこむ手、$\sqrt{2}$ を求めるヘロンの方法、黄金比と連分数、初期値で結果が変わる $a_n^{2}-2$ まで並べました。