漸化式と極限 - 漸化式で定まる数列の収束先を求める

漸化式で定義された数列が収束するとき、その極限値を求める定番の手法があります。「収束するならば極限値は $α$ である」という形で $α$ の値を特定し、必要に応じて実際に収束することを確認する、という流れです。

基本的な考え方

漸化式 $a_{n + 1} = f (a_{n})$ で定まる数列 ${a_{n}}$ が $α$ に収束すると仮定します。このとき $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ なので、 $n \to \infty$ とすれば $a_{n + 1}$ も $α$ に収束します。したがって漸化式の両辺で $n \to \infty$ をとると、

$α = f (α)$

が成り立ちます。この方程式を解けば、極限値の候補が得られます。

ここで得られるのはあくまで候補です。「収束するならば」という仮定のもとで導いた値なので、数列が本当に収束するかどうかは別途確認が必要です。

収束の証明を省略して候補だけ求める問題も多いが、厳密には収束の保証が要る。

例題 1： $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$

$a_{1} = 0$ とし、漸化式 $a_{n + 1} = \frac{1}{2} a_{n} + 1$ で定まる数列の極限を求めます。

まず収束すると仮定して $lim_{n \to \infty} a_{n} = α$ とおくと、

$α = \frac{1}{2} α + 1$

$\frac{1}{2} α = 1$ より $α = 2$ が候補です。

実際にいくつかの項を計算すると、 $a_{1} = 0, a_{2} = 1, a_{3} = 1.5, a_{4} = 1.75, a_{5} = 1.875, \dots$ と $2$ に近づいていく様子が見えます。

この数列が本当に $2$ に収束することは、 $b_{n} = a_{n} - 2$ と置くことで確かめられます。漸化式を $a_{n} = b_{n} + 2$ で書き換えると、

$b_{n + 1} + 2 = \frac{1}{2} (b_{n} + 2) + 1 = \frac{1}{2} b_{n} + 2$

よって $b_{n + 1} = \frac{1}{2} b_{n}$ です。これは公比 $\frac{1}{2}$ の等比数列なので $b_{n} = b_{1} \cdot (\frac{1}{2})^{n - 1}$ であり、 $\frac{1}{2} < 1$ から $b_{n} \to 0$ 、すなわち $a_{n} \to 2$ が確定します。

特性方程式の正体

上の例で行った操作を一般化します。漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ （ $p \neq = 1$ ）に対して $α = p α + q$ を解くと $α = \frac{q}{1 - p}$ です。 $b_{n} = a_{n} - α$ と置けば $b_{n + 1} = p b_{n}$ となり、 ${b_{n}}$ は公比 $p$ の等比数列に帰着します。

もとの漸化式

$a_{n + 1} = p a_{n} + q$ は定数項 $q$ のせいで直接一般項を求めにくい。

変換後

$b_{n} = a_{n} - α$ とすると $b_{n + 1} = p b_{n}$ という等比数列になり、一般項が求まる。

$∣ p ∣ < 1$ ならば $b_{n} \to 0$ なので $a_{n} \to α$ に収束し、 $∣ p ∣ \geq 1$ ならば（ $b_{1} \neq = 0$ のとき）発散します。つまり、漸化式 $a_{n + 1} = p a_{n} + q$ が収束するかどうかは $p$ の絶対値で決まるというのが結論です。

例題 2： $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$

$a_{1} = 1$ とし、 $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ で定まる数列を考えます。収束すると仮定して $α = 2 α + 3$ を解きます。両辺を 2 乗すると、

$α^{2} = 2 α + 3$

$α^{2} - 2 α - 3 = 0$

$(α - 3) (α + 1) = 0$

$α = 3$ または $α = - 1$ ですが、 $a_{n} \geq 0$ （平方根の値は非負）なので $α = 3$ が候補です。

項を計算すると $a_{1} = 1, a_{2} = 5 \approx 2.236, a_{3} \approx 2.732, a_{4} \approx 2.907, \dots$ と $3$ に近づいていきます。

この例では収束の確認にもう少し手間がかかります。数学的帰納法で 2 つのことを示します。

$a_{n} < 3$ かつ $a_{n} < a_{n + 1}$ の証明

$a_{n} < 3$ を示す（帰納法）

$a_{1} = 1 < 3$ は成立。 $a_{k} < 3$ と仮定すると $2 a_{k} + 3 < 9$ なので $a_{k + 1} = 2 a_{k} + 3 < 3$ です。よってすべての $n$ で $a_{n} < 3$ が成り立ちます。

$a_{n} < a_{n + 1}$ を示す

$a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} = (2 a_{n} + 3) - a_{n}^{2} = - (a_{n}^{2} - 2 a_{n} - 3) = - (a_{n} - 3) (a_{n} + 1)$ です。 $a_{n} < 3$ かつ $a_{n} > 0$ より $(a_{n} - 3) < 0$ 、 $(a_{n} + 1) > 0$ なので $a_{n + 1}^{2} - a_{n}^{2} > 0$ です。 $a_{n} > 0$ から $a_{n + 1} > a_{n}$ が従います。

すべての $n$ で $a_{n} < 3$ である

すべての $n$ で $a_{n} < a_{n + 1}$ である

単調に増加し続けるが $3$ を超えないので、 $3$ に収束する

数列が増え続けるのに $3$ を超えることはないので、 $3$ に限りなく近づいていくしかありません。先ほど求めた候補 $α = 3$ が実際の極限値として確定します。

例題 3：初期値で収束・発散が変わる場合

すべての漸化式が収束するわけではありません。 $a_{n + 1} = a_{n}^{2} - 2$ という漸化式で、初期値を変えて比較します。

$a_{1} = 0$ のとき、 $a_{1} = 0, a_{2} = - 2, a_{3} = 2, a_{4} = 2, a_{5} = 2, \dots$ です。 $a_{3}$ 以降は $2$ で一定なので $2$ に収束します。

ところが $a_{1} = 3$ にすると、 $a_{1} = 3, a_{2} = 7, a_{3} = 47, a_{4} = 2207, \dots$ と爆発的に増大して発散します。

a_{1} = 0

$0 \to - 2 \to 2 \to 2 \to \dots$ と有限回で定常状態に達し、 $2$ に収束する。

a_{1} = 3

$3 \to 7 \to 47 \to 2207 \to \dots$ と項が急速に増大し、発散する。

仮に収束するとして $α = α^{2} - 2$ を解くと $α^{2} - α - 2 = 0$ から $α = 2$ または $α = - 1$ が候補として出ますが、 $a_{1} = 3$ の場合はそもそも収束しないので、候補が存在すること自体は収束の根拠になりません。「 $α = f (α)$ を解く」のはあくまで収束を前提とした手続きである、という点は常に意識しておく必要があります。

漸化式 $a_{n + 1} = \frac{1}{3} a_{n} + 4$ 、 $a_{1} = 0$ で定まる数列の極限はいくつですか？

$4$
$\frac{4}{3}$
$6$
発散する

__RESULT__

$α = \frac{1}{3} α + 4$ を解くと $\frac{2}{3} α = 4$ より $α = 6$ です。公比に相当する $\frac{1}{3}$ の絶対値が $1$ 未満なので収束が保証され、極限は $6$ になります。