円順列と数珠順列 - 円形に並べる場合の数の考え方

5 人を一列に並べる順列は $5!=120$ 通りです。では、5 人が円形のテーブルに座る場合はどうなるでしょうか。一列に並べるときとは違い、円形では「どこが先頭か」という基準がありません。この違いが、円順列という考え方を生み出します。

円順列の考え方

円形に並べるとき、全体を回転させただけの配置は同じものとみなします。たとえば A, B, C の 3 人を円形に並べる場合を考えてみます。

一列に並べると $3!=6$ 通りですが、円形ではそのうち回転で重なるものが出てきます。ABC, BCA, CAB はそれぞれ円形では同じ配置です。つまり 3 人の場合、1 つの円順列に対して 3 通りの回転パターンが存在するので、6 通りの中に同じものが 3 つずつ含まれていることになります。

$n$ 人を円形に並べると、1 つの配置に対して $n$ 通りの回転が同じものとして重複します。したがって一列の順列 $n!$ を $n$ で割った $(n-1)!$ が円順列の公式です。

公式の導出をもう少し丁寧に

円順列の公式を導くには「1 人を固定する」という考え方が直感的です。

円形では回転しても同じ配置になるので、まず 1 人の席を固定してしまいます。たとえば A の席を決めてしまえば、残りの $(n-1)$ 人を一列に並べるのと同じ状況になります。

$$\text{円順列}=(n-1)!$$

$n=5$ なら $(5-1)!=4!=24$ 通りです。120 通りあった一列の順列が、円形にすると 24 通りに減ります。

数珠順列とは

数珠順列は、円順列からさらに「裏返し」も同じとみなす場合の数です。数珠やブレスレットのように、ひっくり返しても同じ配置になるものを数えるときに使います。

円順列では回転のみを同一視しましたが、数珠順列では回転に加えて裏返しも同一視します。裏返すと左右が反転するため、円順列で異なるとされた 2 つの配置が同じになるケースが出てきます。

裏返しによって、1 つの配置がもう 1 つの配置と一致するので、円順列の半分になります。

$$\text{数珠順列}=\frac{(n-1)!}{2}$$

ただしこの公式は $n\ge 3$ のときに成り立ちます。$n=2$ の場合は裏返しても同じ配置が 1 通りしかないため、$\frac{(2-1)!}{2}=\frac{1}{2}$ とはならず、答えは 1 通りです。

具体例で確認する

5 色のビーズで数珠を作るとき、並べ方は何通りあるか求めてみます。

まず円順列として考えると $(5-1)!=24$ 通りです。数珠は裏返しても同じなので、これを 2 で割ります。

$$\frac{(5-1)!}{2}=\frac{24}{2}=12\text{ 通り}$$

一列に並べれば 120 通りだったものが、円形にすると 24 通り、さらに裏返しを考慮すると 12 通りまで減りました。

円順列の練習問題

数珠順列の練習問題

円順列で間違えやすいポイント

円順列と通常の順列を混同しやすい場面として、「席に番号がついている場合」があります。たとえば番号のついた 5 つの椅子が円形に並んでいるとき、5 人の座り方は円順列ではなく通常の順列 $5!=120$ 通りです。席に番号があると「どの位置に座るか」が区別されるため、回転しても別の配置として扱われます。

「回転して同じになるか？」を基準に、円順列を使うべきかどうかを判断してください。目印や番号があれば通常の順列、なければ円順列です。