上極限と下極限（lim sup と lim inf）

数列の極限を考えるとき、収束しない数列には通常の意味での極限値が存在しません。しかし、どんな有界数列にも「上側からの極限」と「下側からの極限」を定義することができます。これが上極限（lim sup）と下極限（lim inf）です。

振動する数列の極限

数列 $a_{n} = (- 1)^{n}$ を考えます。この数列は $- 1, 1, - 1, 1, \dots$ と振動し、通常の意味では収束しません。しかし、偶数番目の項だけを見れば $1$ に、奇数番目の項だけを見れば $- 1$ に近づいています。

このように、数列全体としては収束しなくても、部分列を取れば何らかの値に収束する場合があります。上極限と下極限は、こうした「部分列の極限としてありうる値」の中で最大のものと最小のものを捉える概念です。

上極限・下極限の定義

有界数列 ${a_{n}}$ に対して、上極限と下極限を次のように定義します。

まず、各 $n$ に対して

$b_{n} = k \geq n sup a_{k}, c_{n} = k \geq n in f a_{k}$

とおきます。 $b_{n}$ は「 $n$ 番目以降の項の上限」、 $c_{n}$ は「 $n$ 番目以降の項の下限」です。

上極限

lim sup_{n \to \infty} a_{n}

$b_{n} = sup_{k \geq n} a_{k}$ の極限。 $n$ 以降の項の上限を順に絞り込んでいった先の値。

下極限

lim inf_{n \to \infty} a_{n}

$c_{n} = in f_{k \geq n} a_{k}$ の極限。 $n$ 以降の項の下限を順に押し上げていった先の値。

すなわち、

$n \to \infty lim sup a_{n} = n \to \infty lim k \geq n sup a_{k} = n \geq 1 in f k \geq n sup a_{k}$

$n \to \infty lim inf a_{n} = n \to \infty lim k \geq n in f a_{k} = n \geq 1 sup k \geq n in f a_{k}$

と書けます。 $b_{n}$ は単調非増加、 $c_{n}$ は単調非減少なので、有界数列に対してこれらの極限は必ず存在します。

直感的な理解

$b_{n} = sup_{k \geq n} a_{k}$ がどのように振る舞うかを見てみます。 $n$ を大きくするにつれて「これ以降の項の上限」は狭まっていく（少なくとも広がることはない）ので、 $b_{n}$ は単調に減少していきます。

$b_{1} = sup_{k \geq 1} a_{k}$ （全体の上限）

$b_{2} = sup_{k \geq 2} a_{k}$ （ $a_{1}$ を除いた上限）

$b_{n} = sup_{k \geq n} a_{k}$ （先頭を切り落とすほど上限が下がる）

$lim b_{n} = lim sup a_{n}$ （最終的に落ち着く値）

この「先頭を切り落としていく」操作は、数列の初期の振る舞いを無視して、十分先の項だけに注目する効果があります。上極限は「数列が最終的にどこまで上がりうるか」の限界値を与えているわけです。

具体例

いくつかの数列で上極限と下極限を計算してみます。

例 1: $a_{n} = (- 1)^{n}$

偶数番目の部分列は $1, 1, 1, \dots$ で上限は常に $1$ 、奇数番目の部分列は $- 1, - 1, - 1, \dots$ で下限は常に $- 1$ です。 $n$ 以降の項にはどちらも含まれるので、

$n \to \infty lim sup a_{n} = 1, n \to \infty lim inf a_{n} = - 1$

となります。

例 2: $a_{n} = \frac{( - 1 ) ^{n}}{n}$

この数列は $- 1, \frac{1}{2}, - \frac{1}{3}, \frac{1}{4}, \dots$ と振動しながら $0$ に近づきます。 $n$ 以降の項の上限も下限も $0$ に収束するので、

$n \to \infty lim sup a_{n} = 0, n \to \infty lim inf a_{n} = 0$

です。上極限と下極限が一致しているので、この数列は通常の意味でも $0$ に収束しています。

例 3: $a_{n} = sin (n)$

$sin (n)$ は周期的ではありませんが、 $n$ が整数全体を動くとき、 $[- 1, 1]$ の中で稠密に分布することが知られています。したがって、

$n \to \infty lim sup sin (n) = 1, n \to \infty lim inf sin (n) = - 1$

となります。

収束との関係

上極限と下極限の最も重要な性質は、数列の収束と直結している点です。

有界数列 ${a_{n}}$ が収束するための必要十分条件は、上極限と下極限が一致することです。

$lim sup a_{n} = lim inf a_{n} = L$ ならば $lim a_{n} = L$ 。逆もまた成り立つ。

これは直感的にも自然です。上極限と下極限が異なるということは、数列が最終的に 2 つの異なる高さの間を行き来し続けることを意味し、1 つの値に落ち着くことができません。

部分列の極限との関係

上極限・下極限は、部分列の極限を通じて別の特徴づけを持ちます。

有界数列 ${a_{n}}$ の部分列の極限値全体の集合を $L$ とすると、ボルツァーノ・ワイエルシュトラスの定理により $L$ は空でなく、

$n \to \infty lim sup a_{n} = max L, n \to \infty lim inf a_{n} = min L$

が成り立ちます。つまり、上極限は「部分列の極限として到達できる最大値」であり、下極限は「部分列の極限として到達できる最小値」です。

先ほどの $a_{n} = (- 1)^{n}$ の例では、部分列の極限値として $1$ と $- 1$ の 2 つがあり、 $max$ が $1$ （上極限）、 $min$ が $- 1$ （下極限）になっています。

基本的な不等式

任意の有界数列 ${a_{n}}$ に対して、次の不等式が常に成り立ちます。

$n in f a_{n} \leq n \to \infty lim inf a_{n} \leq n \to \infty lim sup a_{n} \leq n sup a_{n}$

下限 $\leq$ 下極限 $\leq$ 上極限 $\leq$ 上限という順序関係です。また、2 つの有界数列 ${a_{n}}$ , ${b_{n}}$ に対して、

$n \to \infty lim sup (a_{n} + b_{n}) \leq n \to \infty lim sup a_{n} + n \to \infty lim sup b_{n}$

$n \to \infty lim inf (a_{n} + b_{n}) \geq n \to \infty lim inf a_{n} + n \to \infty lim inf b_{n}$

が成り立ちます。等号は一般には成立しません。 $a_{n} = (- 1)^{n}$ , $b_{n} = (- 1)^{n + 1}$ とすると $a_{n} + b_{n} = 0$ ですが、 $lim sup a_{n} + lim sup b_{n} = 1 + 1 = 2$ となり、厳密な不等式になっています。

級数の収束判定への応用

上極限は級数の収束判定にも使われます。べき級数 $\sum a_{n} x^{n}$ の収束半径 $R$ は、コーシー・アダマールの公式

$\frac{1}{R} = n \to \infty lim sup ∣ a_{n} ∣^{1/ n}$

で与えられます。通常の極限 $lim ∣ a_{n} ∣^{1/ n}$ が存在しない場合でも、上極限は必ず存在するため、この公式はあらゆるべき級数に適用できます。

根判定法（コーシーの判定法）

$lim sup_{n \to \infty} ∣ a_{n} ∣^{1/ n} < 1$ ならば $\sum a_{n}$ は絶対収束する。 $> 1$ ならば発散する。

比判定法との関係

比判定法で使う $lim ∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣$ が存在しない場合でも、根判定法は $lim sup$ を使うため適用できる場面がある。根判定法のほうが一般的に強力とされる。

たとえば $a_{n} = 2^{- n}$ （ $n$ が偶数）、 $a_{n} = 3^{- n}$ （ $n$ が奇数）のような数列では $∣ a_{n + 1} / a_{n} ∣$ の極限が存在しませんが、 $lim sup ∣ a_{n} ∣^{1/ n} = 1/2 < 1$ なので絶対収束が示せます。

非有界数列への拡張

ここまで有界数列を前提にしてきましたが、非有界数列にも上極限・下極限を拡張できます。 $sup_{k \geq n} a_{k} = + \infty$ がすべての $n$ で成り立つ場合、 $lim sup a_{n} = + \infty$ と定めます。同様に $in f_{k \geq n} a_{k} = - \infty$ がすべての $n$ で成り立てば $lim inf a_{n} = - \infty$ です。

この拡張により、拡大実数 $R \cup {- \infty, + \infty}$ の中で、任意の数列に対して上極限と下極限が定義されます。

数列 $a_{n} = 1 + (- 1)^{n} + \frac{1}{n}$ の上極限 $lim sup_{n \to \infty} a_{n}$ はいくつですか？

__RESULT__

$n$ が偶数のとき $a_{n} = 2 + \frac{1}{n} \to 2$ 、 $n$ が奇数のとき $a_{n} = \frac{1}{n} \to 0$ です。部分列の極限として $2$ と $0$ があり、上極限はその最大値 $2$ です。