三角形の面積と三角比 - S = ½ab sinC の導出と応用

三角形の面積といえば「底辺 × 高さ ÷ 2」が基本ですが、高さが直接わからない三角形も多くあります。2 辺の長さとその間の角がわかっていれば、三角比を使って面積を求めることができます。

面積公式の導出

三角形 ABC の 2 辺 $a$ 、 $b$ とその間の角 $C$ が与えられている場合を考えます。頂点 A から辺 BC に垂線を下ろし、その長さを $h$ とすると、従来の面積公式から

$S = \frac{1}{2} \times a \times h$

です。ここで、辺 $b$ と角 $C$ の関係から $h = b sin C$ が成り立つので、

$S = \frac{1}{2} \times a \times b sin C$

が得られます。これが三角比を使った面積公式です。

公式の意味

2 辺の長さとその間の角さえわかれば、高さを直接求めなくても面積が計算できる。

使える条件

「2 辺とその間の角」のセットが必要。2 辺がわかっていても、間の角でなければこの公式はそのまま使えない。

鋭角の場合と鈍角の場合

角 $C$ が鋭角のとき、垂線の足は辺 BC 上に落ちるため、 $h = b sin C$ は直感的にわかりやすいでしょう。では角 $C$ が鈍角のときはどうなるのでしょうか。

C が鋭角のとき

垂線の足が辺 BC 上にあり、 $h = b sin C$ がそのまま成り立つ。

C が鈍角のとき

垂線の足は辺 BC の延長線上に落ちるが、 $sin (180° - C) = sin C$ なので、 $h = b sin C$ の関係はやはり成り立つ。

鈍角の場合でも $sin C > 0$ （ $0° < C < 180°$ ）であるため、公式はそのまま使えます。角度が鋭角か鈍角かを気にせず適用できるのがこの公式の便利な点です。

具体例で確認する

例題 1： $a = 6$ 、 $b = 8$ 、 $C = 30°$ のとき、三角形の面積を求めよ。

$sin 30° = 1/2$ を公式に代入します。

$S = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times sin 30° = \frac{1}{2} \times 6 \times 8 \times \frac{1}{2} = 12$

面積は $12$ です。

例題 2： $a = 5$ 、 $b = 4$ 、 $C = 120°$ のとき、三角形の面積を求めよ。

鈍角でも同じ公式を使います。 $sin 120° = 3 /2$ なので、

$S = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times sin 120° = \frac{1}{2} \times 5 \times 4 \times \frac{3}{2} = 53$

面積は $53$ となります。

2 辺と間の角を確認

S = ½ab sinC に代入

sin の値を計算して面積を求める

3 辺がわかっているとき

3 辺 $a$ 、 $b$ 、 $c$ がすべてわかっていて角度が不明な場合は、余弦定理で角度を求めてから面積公式を適用します。余弦定理から

$cos C = \frac{a ^{2} + b ^{2} - c ^{2}}{2 ab}$

で $cos C$ を求め、 $sin^{2} C = 1 - cos^{2} C$ から $sin C$ を得ます。 $0° < C < 180°$ では $sin C > 0$ なので、符号の心配はありません。

例題 3： $a = 7$ 、 $b = 5$ 、 $c = 8$ の三角形の面積を求めよ。

まず余弦定理で $cos C$ を求めます。

$cos C = \frac{7 ^{2} + 5 ^{2} - 8 ^{2}}{2 \times 7 \times 5} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$

次に $sin C$ を求めます。

$sin^{2} C = 1 - (\frac{1}{7})^{2} = 1 - \frac{1}{49} = \frac{48}{49}$

$sin C = \frac{48}{7} = \frac{4 3}{7}$

面積公式に代入すると、

$S = \frac{1}{2} \times 7 \times 5 \times \frac{4 3}{7} = \frac{1}{2} \times 5 \times 43 = 103$

です。

3 辺から面積を求める方法としては、ヘロンの公式もよく知られています。 $s = (a + b + c) /2$ として $S = s (s - a) (s - b) (s - c)$ で直接面積が出ますが、三角比の面積公式を経由する方法を理解しておくと、余弦定理との関係が見えて応用が広がります。

3 辺の長さだけから面積を求める公式。古代ギリシャのヘロンに由来する。

面積公式の別表現

三角形のどの 2 辺と間の角を選ぶかによって、公式は 3 通りに書けます。

2 辺と間の角	面積公式
a, b と角 C	S = ½ab sinC
b, c と角 A	S = ½bc sinA
c, a と角 B	S = ½ca sinB

どれを使っても同じ面積が出ます。問題で与えられた情報に合わせて、使いやすい組み合わせを選びましょう。

正弦定理との組み合わせ

面積公式は正弦定理と組み合わせることで、さらに柔軟に使えるようになります。正弦定理 $a / sin A = 2 R$ （ $R$ は外接円の半径）を利用すると、

$S = \frac{1}{2} ab sin C$

の $a$ を $2 R sin A$ で置き換えて、

$S = \frac{1}{2} \times 2 R sin A \times b \times sin C = R b sin A sin C$

のように変形できます。外接円の半径がわかっている問題ではこうした変形が役立つことがあります。

練習問題

$a = 10$ 、 $b = 6$ 、 $C = 45°$ のとき、三角形の面積はどれですか？

$30$
$152$
$15$
$302$

__RESULT__

$S = \frac{1}{2} \times 10 \times 6 \times sin 45° = 30 \times \frac{2}{2} = 152$ です。

三角形の面積が $12$ 、2 辺が $a = 8$ 、 $b = 6$ のとき、 $sin C$ の値はどれですか？

1/2
1/3
√2/2
√3/2

__RESULT__

$S = \frac{1}{2} ab sin C$ に代入すると、 $12 = \frac{1}{2} \times 8 \times 6 \times sin C = 24 sin C$ なので、 $sin C = 1/2$ です。

三角比を使った面積公式は、高さが直接わからない三角形に対応できる強力な道具です。余弦定理や正弦定理と組み合わせれば、3 辺だけの情報からでも面積を求められます。まずは $S = \frac{1}{2} ab sin C$ の形をしっかり覚えて、典型的な問題で使い慣れておきましょう。