絶対値を含む一次不等式

絶対値つきの不等式は、一見すると難しそうに見えますが、絶対値の意味を正しく理解すれば機械的に解くことができます。ここでは場合分けによる方法と、数直線を使った直感的な方法の両方を押さえていきましょう。

絶対値の復習

絶対値 $|x|$ は「数直線上で原点からの距離」を表します。定義は次のとおりです。

$$|x|=\{\begin{array}{ll}x& (x\ge 0)\\ -x& (x<0)\end{array}$$

たとえば $|3|=3$、$|-5|=5$ となります。どちらも「原点からどれだけ離れているか」を示しているだけなので、結果は必ず 0 以上になります。

この直感が、絶対値を含む不等式を解くうえでの土台になります。

基本パターン 1: $|x|<a$ 型

$a>0$ のとき、$|x|<a$ は「原点からの距離が $a$ 未満」という意味ですから、$x$ は $-a$ と $a$ の間にあります。

$$|x|<a⟺-a<x<a$$

これは場合分けでも確認できます。$x\ge 0$ のとき $|x|=x$ なので $x<a$、$x<0$ のとき $|x|=-x$ なので $-x<a$ すなわち $x>-a$ です。両方を合わせると $-a<x<a$ が得られます。

ポイントは、$|x-3|$ を「数直線上で点 3 からの距離」と読み替えることです。距離が 5 未満なので、3 を中心に左右 5 の範囲、つまり $-2$ から $8$ の間ということになります。

基本パターン 2: $|x|>a$ 型

$a>0$ のとき、$|x|>a$ は「原点からの距離が $a$ より大きい」という意味です。原点から遠い側、つまり両端に解が広がります。

$$|x|>a⟺x<-a\text{ または }x>a$$

「または」でつながる 2 つの範囲に分かれるのが、$|x|<a$ 型との大きな違いです。

場合分けで解く方法

基本パターンに当てはまらない形や、中身が複雑な場合は、絶対値の定義に戻って場合分けをします。手順は次のとおりです。

具体例で見てみましょう。

この不等式は右辺に $x$ が含まれるため、基本パターンをそのまま使うことができません。場合分けで解きます。

場合 1: $x-1\ge 0$ すなわち $x\ge 1$ のとき

$|x-1|=x-1$ なので、不等式は $x-1>2x+3$ となります。整理すると $-x>4$、つまり $x<-4$ です。ところが、この場合は $x\ge 1$ という条件がありますから、$x\ge 1$ と $x<-4$ を同時に満たす $x$ は存在しません。

場合 2: $x-1<0$ すなわち $x<1$ のとき

$|x-1|=-(x-1)=-x+1$ なので、不等式は $-x+1>2x+3$ となります。整理すると $-3x>2$、つまり $x<-\frac{2}{3}$ です。$x<1$ と $x<-\frac{2}{3}$ の共通部分は $x<-\frac{2}{3}$ です。

場合 1 と場合 2 の結果を合わせると、答えは $x<-\frac{2}{3}$ になります。

等号つきの場合

$|x|\le a$ や $|x|\ge a$ のように等号がつく場合も、考え方はまったく同じです。

等号の有無で解の構造が変わるわけではなく、境界の点を含むかどうかだけの違いです。

$a$ の値が 0 や負の場合

基本パターンは $a>0$ を前提としていました。$a\le 0$ の場合は少し注意が必要です。

$|x|<a$ で $a\le 0$ のとき、絶対値は常に 0 以上なので、$|x|<a\le 0$ を満たす $x$ は存在しません。つまり解なしです。

逆に $|x|>a$ で $a<0$ のとき、絶対値は常に 0 以上で $a$ は負ですから、すべての実数が不等式を満たします。

まとめ

絶対値を含む一次不等式を解くには、まず基本パターンに当てはまるかを確認するのが効率的です。$|(\text{式})|<a$ なら挟み込み、$|(\text{式})|>a$ なら両端へ分離、という形に変換できれば、あとは普通の一次不等式と同じように処理できます。基本パターンに当てはまらない場合は、絶対値の定義に立ち戻って場合分けをすれば確実に解けます。どちらの方法でも、数直線上で「距離」をイメージすることが理解への近道です。