三角比の相互関係 - sin²θ + cos²θ = 1 を使いこなす

三角比には $sin θ$ 、 $cos θ$ 、 $tan θ$ の 3 つがありますが、これらは互いに独立した値ではありません。1 つの三角比がわかれば、相互関係の公式を使って残りの 2 つを求めることができます。

3 つの相互関係

三角比の相互関係として、次の 3 つの公式が成り立ちます。

sin²θ + cos²θ = 1

もっとも基本的な関係式です。三平方の定理から直接導かれ、あらゆる角度 $θ$ で成立します。

tanθ = sinθ / cosθ

タンジェントはサインをコサインで割ったものです。 $cos θ \neq = 0$ のとき成り立ちます。

1 + tan²θ = 1 / cos²θ

最初の公式の両辺を $cos^{2} θ$ で割ることで得られる変形版です。 $tan θ$ と $cos θ$ を結びつけます。

この 3 つをしっかり覚えておけば、三角比の計算で困ることはほとんどありません。まずは最も重要な $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の成り立ちから見ていきましょう。

sin²θ + cos²θ = 1 の証明

直角三角形の 3 辺を $a$ （高さ）、 $b$ （底辺）、 $c$ （斜辺）とします。三角比の定義から、

$sin θ = \frac{a}{c}, cos θ = \frac{b}{c}$

となります。ここで $sin^{2} θ + cos^{2} θ$ を計算すると、

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = \frac{a ^{2}}{c ^{2}} + \frac{b ^{2}}{c ^{2}} = \frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}}$

です。三平方の定理により $a^{2} + b^{2} = c^{2}$ なので、

$\frac{a ^{2} + b ^{2}}{c ^{2}} = \frac{c ^{2}}{c ^{2}} = 1$

となり、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ が示されました。

この証明では直角三角形を使いましたが、単位円（半径 1 の円）を使っても同じ結論を得られます。単位円上の点 $(cos θ, sin θ)$ が円の方程式 $x^{2} + y^{2} = 1$ を満たすことから、鈍角や 0° 付近でも公式が成立することがわかります。

直角三角形で定義できない角度でも、単位円を使えば三角比を定義でき、同じ相互関係が成り立つ。

残り 2 つの公式の導出

$tan θ = sin θ / cos θ$ は三角比の定義そのものから出てきます。直角三角形で考えると、

$tan θ = \frac{a}{b} = \frac{a / c}{b / c} = \frac{sin θ}{cos θ}$

と変形できるため、タンジェントはサインとコサインの比であることがわかります。

3 つ目の公式 $1 + tan^{2} θ = 1/ cos^{2} θ$ は、 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ の両辺を $cos^{2} θ$ で割るだけで得られます。

$\frac{sin ^{2} θ}{cos ^{2} θ} + \frac{cos ^{2} θ}{cos ^{2} θ} = \frac{1}{cos ^{2} θ}$

左辺の第 1 項は $tan^{2} θ$ 、第 2 項は $1$ なので、

$tan^{2} θ + 1 = \frac{1}{cos ^{2} θ}$

が成り立ちます。この公式は $tan θ$ の値から $cos θ$ を求めたいときに重宝します。

公式の使い方：1 つの値から残りを求める

相互関係の公式が威力を発揮するのは、三角比の 1 つが与えられて残りを求める場面です。具体的な例で確認しましょう。

例題： $sin θ = 3/5$ （ $0° < θ < 90°$ ）のとき、 $cos θ$ と $tan θ$ を求めよ。

$sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ に代入すると、

$(\frac{3}{5})^{2} + cos^{2} θ = 1$

$\frac{9}{25} + cos^{2} θ = 1$

$cos^{2} θ = 1 - \frac{9}{25} = \frac{16}{25}$

$0° < θ < 90°$ では $cos θ > 0$ なので、

$cos θ = \frac{4}{5}$

です。続いて $tan θ$ は、

$tan θ = \frac{sin θ}{cos θ} = \frac{3/5}{4/5} = \frac{3}{4}$

と求まります。

sinθ = 3/5 を公式に代入

cos²θ = 16/25 を得る

cosθ = 4/5（角度の範囲から正）

tanθ = sinθ/cosθ = 3/4

鈍角の場合の注意点

$θ$ が鈍角（ $90° < θ < 180°$ ）の場合、 $cos θ$ と $tan θ$ の符号が変わります。

鋭角（0° < θ < 90°）

$sin θ > 0$ 、 $cos θ > 0$ 、 $tan θ > 0$ で、すべて正の値をとる。

鈍角（90° < θ < 180°）

$sin θ > 0$ だが、 $cos θ < 0$ 、 $tan θ < 0$ となり、コサインとタンジェントが負になる。

たとえば $sin θ = 3/5$ で $θ$ が鈍角なら、 $cos^{2} θ = 16/25$ までは同じですが、 $cos θ = - 4/5$ を選ぶことになります。 $cos^{2} θ$ から $cos θ$ を求めるときは平方根をとるため、正負の 2 つの候補が出てきます。角度の範囲をよく確認して、正しい符号を選ぶことが大切です。

よくある計算パターン

相互関係を使った計算では、いくつかの典型的なパターンがあります。

sinθ から cosθ を求める

$cos^{2} θ = 1 - sin^{2} θ$ を使い、角度の範囲で符号を判定します。もっとも出題頻度の高いパターンです。

tanθ から sinθ・cosθ を求める

$1 + tan^{2} θ = 1/ cos^{2} θ$ でまず $cos θ$ を求め、次に $sin θ = tan θ \cdot cos θ$ で $sin θ$ を求めます。

式の値を求める

$sin θ + cos θ$ や $sin θ \cdot cos θ$ の値が与えられて、 $sin^{3} θ + cos^{3} θ$ などの式の値を求める応用問題もあります。

練習問題

$cos θ = 5/13$ （ $0° < θ < 90°$ ）のとき、 $sin θ$ の値はどれですか？

8/13
12/13
7/13
1/13

__RESULT__

$sin^{2} θ = 1 - cos^{2} θ = 1 - 25/169 = 144/169$ なので、 $sin θ = 12/13$ です。鋭角なので正の値をとります。

$tan θ = 2$ （ $0° < θ < 90°$ ）のとき、 $cos^{2} θ$ の値はどれですか？

__RESULT__

$1 + tan^{2} θ = 1/ cos^{2} θ$ に代入すると、 $1 + 4 = 1/ cos^{2} θ$ となり、 $cos^{2} θ = 1/5$ です。

相互関係の公式は三角比の計算における基盤です。 $sin^{2} θ + cos^{2} θ = 1$ を中心に 3 つの公式を使いこなせるようになれば、正弦定理や余弦定理を使った問題にもスムーズに取り組めるようになります。