「0.999… は 1」を確かめる、無限等比級数の和と収束条件

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots$ を途中まで足すと $1$、$1.5$、$1.75$、$1.875$。項は無限にありますが、和は $2$ を超えません。

$8$ 項まで足しても $1.9921875$ で、残りの隙間が毎回半分になっていくためです。

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\cdots =2$$

無限個の数を足すという操作は、そのままでは実行できません。有限個の和を作り、その極限として定義します^[1]。

部分和の極限として決める

はじめの $n$ 項までの和を部分和といい、$S_n$ と書きます^[1]。等比数列なら公式があります。

$$S_n=a+ar+\cdots +a{r}^{n-1}=\frac{a(1-r^n)}{1-r}(r\ne 1)$$

この $S_n$ の $n\to \infty$ での極限が、無限等比級数の和です^[3]。

$$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a(1-r^n)}{1-r}$$

行方を決めるのは $r^n$ だけ。$|r|<1$ なら $r^n\to 0$ なので、和が $\frac{a}{1-r}$ に確定します^[1]。

収束するのは $|r|<1$ のときだけ

$a\ne 0$ とします。$|r|\ge 1$ では部分和が定まりません^[1]。

$r=1$ のとき $S_n=na$ で、$n$ とともにいくらでも大きくなります。$r=-1$ なら $S_n$ は $a$ と $0$ を往復する。

$|r|>1$ では $|r^n|\to \infty$ なので、$S_n$ も発散します。残るのは $|r|<1$ だけ。

公比が負でも、絶対値が $1$ より小さければ収束します。振動しながら 1 点に寄っていく形。

例：初項 6、公比 3 分の 1

$6+2+\frac{2}{3}+\frac{2}{9}+\cdots$ を求めます。$a=6$、$r=\frac{1}{3}$ です。

$$\frac{6}{1-\frac{1}{3}}=\frac{6}{\frac{2}{3}}=9$$

$|r|<1$ を先に確かめてから公式に入れる。この確認を飛ばすと、発散する級数に値を与えてしまいます。

例：公比が負

$1-\frac{1}{2}+\frac{1}{4}-\frac{1}{8}+\cdots$ では $r=-\frac{1}{2}$。

$$\frac{1}{1-\left(-\frac{1}{2}\right)}=\frac{1}{\frac{3}{2}}=\frac{2}{3}$$

部分和は $1$、$0.5$、$0.75$、$0.625$ と上下に揺れながら $\frac{2}{3}=0.666\dots$ に寄ります。

例：2 つの級数に分ける

$\sum _{n=1}^{\infty }\left\{{\left(\frac{1}{2}\right)}^n+{\left(\frac{1}{3}\right)}^n\right\}$ は、それぞれが収束するので分けて足せます。

${\left(\frac{1}{2}\right)}^n$ の和は $\frac{1/2}{1-1/2}=1$、${\left(\frac{1}{3}\right)}^n$ の和は $\frac{1/3}{1-1/3}=\frac{1}{2}$。

$$1+\frac{1}{2}=\frac{3}{2}$$

初項が $n=1$ から始まるので、公式の $a$ は $\frac{1}{2}$ と $\frac{1}{3}$ です。$n=0$ からなら $a$ が $1$ に変わります。

例：収束する範囲を求める

$\sum _{n=0}^{\infty }(x-2{)}^n$ が収束する $x$ の範囲と、そのときの和を求めます。

公比は $x-2$ なので、条件は $|x-2|<1$。つまり $1<x<3$ です。

$$\sum _{n=0}^{\infty }(x-2{)}^n=\frac{1}{1-(x-2)}=\frac{1}{3-x}$$

$x=2.5$ なら和は $2$、$x=1.5$ なら $\frac{2}{3}$。範囲の外では、そもそも和が存在しません。

循環小数は無限等比級数

$0.333\dots$ は $\frac{3}{10}+\frac{3}{100}+\frac{3}{1000}+\cdots$ と書けます。初項 $\frac{3}{10}$、公比 $\frac{1}{10}$ の級数です。

$$\frac{\frac{3}{10}}{1-\frac{1}{10}}=\frac{\frac{3}{10}}{\frac{9}{10}}=\frac{1}{3}$$

$0.123123123\dots$ なら、初項 $\frac{123}{1000}$、公比 $\frac{1}{1000}$ です。

$$\frac{\frac{123}{1000}}{1-\frac{1}{1000}}=\frac{123}{999}=\frac{41}{333}$$

循環する桁数がそのまま公比の分母の桁数になります。分母が $9$ の並びになるのはそのためです。

$0.999\dots$ も同じ計算で $\frac{9/10}{9/10}=1$。表記が 2 通りあるだけで、数としては $1$ と同じものです。

ゼノンの二分法

歩いて $1$ 進むには、まず $\frac{1}{2}$ 進み、次に残りの半分を進み、と無限回の動作が要る。だから動けない、という議論があります^[4]。

アリストテレスはこれを「動くものは終点に着く前に中点に着かねばならないから、運動は存在しない」と書き留めました^[4]。

距離を足せば $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\cdots =1$ で、有限の値に収まります。無限個の項があっても、和が無限になるとは限りません。

一般項が $0$ に向かうことは必要条件

無限等比級数に限らず、級数 $\sum a_n$ が収束するなら、その一般項は $0$ に向かいます^[2]。

対偶をとると使いやすくなる。一般項が $0$ に向かわないなら、その級数は発散します。

$\sum \frac{n}{n+1}$ は一般項が $1$ に向かうので、足す前に発散と分かります。

逆は成り立ちません。一般項が $0$ に向かっても、和が有限になるとは限らない^[1][2]。

調和級数は発散する

$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\cdots$ を調和級数といいます。一般項は $0$ に向かうのに、和は発散します^[1][2]。

伸び方が非常に遅い。$100$ 項で $5.187$、$1000$ 項で $7.485$、$100$ 万項でも $14.39$ ほどです。

それでも壁を越え続けます。項を $\frac{1}{2}$、$\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$、$\frac{1}{5}+\cdots +\frac{1}{8}$ と区切ると、どの束も $\frac{1}{2}$ 以上になるためです。

例：打ち消し合って畳まれる和

等比級数でなくても、部分和が書ければ極限がとれます。$\sum _{n=1}^{\infty }\frac{1}{n(n+1)}$ を見ます。

$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$ と分解すると、隣どうしが消え合います^[1]。

$$S_k=\left(1-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\cdots =1-\frac{1}{k+1}$$

$k\to \infty$ で $S_k\to 1$ です。望遠鏡をたたむように中間の項が消えるので、望遠鏡和とも呼ばれます。

この 4 つを順に踏めば、無限等比級数の問題はほぼ機械的に片づきます。

条件のほうも確かめます。

無限に足すという操作は、部分和という有限の量に置きかえてから極限をとる。公比が $1$ より内側にあるかどうかで、答えが出るか出ないかが分かれます。

出典