次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，二重の枠はすでに同じ記号の枠で与えられたものと同じものを表す。また，問 1，問 2 では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし，円周率を ，重力加速度を とする。空気の抵抗は無視できるものとする。
(1) 図 1 のように，質量が無視できる固い棒の下端に，質量が で小さい球形のおもりを取り付けた振り子について考える。棒は上端の固定点 を支点として， を含む鉛直面内を滑らかに回転する。固定点からおもりの重心(棒の下端)までの距離を ，円周に沿った最下点 からのおもりの変位を (右向きを正)，鉛直軸からの棒の回転角を (反時計回りを正，単位はラジアン)とする。 は十分に小さく，とくにことわりのない限り ， と近似する。
おもりの円周方向の加速度を (右向きを正)とするとき，おもりの円周方向の運動方程式は ，，，， を用いて ［ア］ と表せる。振り子は単振動し，その角振動数は ［イ］ である。
振動中のある時刻において，おもりの円周方向の速度 (右向きを正)が で，変位が であった。ここで， の近似を用いると， でのおもりの高さを位置エネルギーの基準としたときの力学的エネルギーは，，，，， を用いて ［ウ］ と表せる。［ウ］ の力学的エネルギーより， となったときのおもりの円周方向の速さは ［エ］ である。また，この単振動における変位 の振幅は ［オ］ である。
次に，図 2 のように，図 1 の振り子のおもりに，質量が無視できるばねを水平に取り付けた。ばねは十分に長く，ばねが傾くことによる，ばねの伸び，および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数を とし，ばねは，棒の回転角が のとき自然長である。 は十分に小さいため，ばねの伸び は で近似する。
図 2 の振り子と図 1 の振り子を図 3 のように並べて配置する。それぞれの振り子は固定点 ， を支点として同一平面内を回転し，棒 ， の回転角がともに のとき，おもり とおもり がちょうど接するものとする。おもり ， の最下点からの円周に沿った変位を ，(右向きを正)とする。また，おもりどうしの反発係数を とする。
問 1 図 3 の位置からおもり のみを右向きに持ち上げて静かに離し，時刻 において左向きに速さ でおもり に衝突させた。 の関係が成り立つとき，図 4 を解答欄に描き写して，2 つのおもりが で 3 回衝突するまでのおもり ， の円周方向の変位 ， と時刻 の関係を，それぞれ実線および点線で描け。グラフには，それぞれのおもりの変位の振幅とおもりが衝突する時刻を， を用いずに示せ。それらの導出過程も記述せよ。
図 2 の振り子において，図 5 のように，ばねの位置を固定点 から距離 の位置に変更した。おもりの円周方向の変位が のとき，ばねの伸びは ［カ］ である。
ここで，おもりにはたらく力を理解するため，振り子の運動中におもりと棒の間にはたらく力を考える。図 6 のように，おもりから棒の下端に作用する力の円周方向成分を (右向きを正)とする。ばねと棒の質量は無視できるため，棒にはたらく力の点 まわりのモーメントのつりあいが，静止しているときと同様に成り立つ。したがって， は ，，， を用いて ［キ］ と表せる。図 5 のばね付き振り子において，棒からおもりには図 6 の の反作用がはたらき，おもりの円周方向の運動方程式は次のように表すことができる。
［ア］
このばね付き振り子は単振動し，その角振動数は ［ク］ である。
(2) 図 7 のように，図 1 の振り子 2 つをそれぞれ固定点 ， で支持し，質量が無視できるばねを，固定点から距離 の位置に取り付けた。ばねは十分に長く，ばねが傾くことによる，ばねの伸び，および復元力の大きさと方向への影響は無視できる。ばね定数を とし，ばねは，棒 ， の回転角 ， がともに のとき自然長である。， は十分に小さく，，，， と近似する。
おもり ， の最下点からの円周に沿った変位を ，(右向きを正)とすると，ばねの伸び は ［ケ］ と表せる。おもり ， の円周方向の加速度を ，(右向きを正)とすると，おもり ， の円周方向の運動方程式は，，，，，，，，， を用いて次式で表される。
［コ］
［サ］
2 つの振り子が同じ角振動数 で単振動する特別な状態を考えるとき，次式が成り立つ。
，
上式を運動方程式に代入し，， を用いると，2 種類の角振動数 ［イ］ および ［シ］ が得られる。2 つの振り子が同じ角振動数 で単振動するとき， ［ス］ であり，同じ角振動数 で単振動するとき， ［セ］ である。
問 2 一般には，図 7 のおもり ， の変位 ， は，上記で考えた 2 種類の単振動の重ね合わせで表すことができる。ここでは の関係が成り立つ場合を考える。 で静止しているおもり ， に対して，時刻 においておもり のみに右向きに初速度 を与えたとき，ばねの伸び は，図 8 のように の 2 倍の角振動数で周期的に増減を繰り返した。このとき， の値を求めよ。導出過程も示せ。
おもりにはたらく力のうち、円周方向を向くのは重力の成分 だけです。棒がおもりを引く力は棒の向きなので、円周方向には効きません。
変位は円周に沿って測るので です。 と を使うと、運動方程式は となり、アに入ります。
変位に比例して引き戻す力なので、おもりは単振動します。角振動数 は から ［イ］ です。
最下点からの高さは で、 を入れると です。位置エネルギーは で、ばね定数 のばねと同じ形になる。
力学的エネルギーは ［ウ］。グラフの放物線が位置エネルギー、水平な線がこの値で、2 つの差が運動エネルギーにあたります。
では位置エネルギーが なので、 がウと等しくなり、速さは ［エ］ です。
振幅 の位置では速さが で、 がウと等しい。 について解くと ［オ］ です。
水平なばねを付けると、変位 のとき の力が加わります。重力の分とあわせて となり、角振動数は です。
のとき、この値は になる。ばねのない振り子 のちょうど 2 倍です。
半周期は、ばねのある が 、ばねのない が です。図では同じ変位から同時に放しており、 が 1 往復するあいだに は 2 往復します。
反発係数が なので、衝突の前後で運動量も運動エネルギーも保たれます。質量が等しい 2 つのおもりでは、この 2 つを満たすのは速度が入れかわる組み合わせだけです。
が左向き で当たると、 は最下点で止まり、 が左向き で動きだす。止まった はつり合いの位置にいるので、そのまま静止しています。
は半周期で最下点へ戻り、右向き で に当たります。今度は が止まって が右へ動きだし、2 つのおもりは交互に半周期ずつ振れる。
振幅は、最下点での速さ を角振動数で割って求めます。 は 、 は です。
衝突の時刻は、 の半周期、 の半周期、 の半周期を順に足して 、、 の 3 つ。
の実線は負の側に小さな山を 2 つ、 の点線は正の側に大きな山を 1 つ描きます。片方が振れているあいだ、もう片方は のままです。これが問 1 のグラフになります。
ばねを付けた点は支点 から の位置にあり、棒が だけ回ると だけ動きます。ばねの伸び ［カ］ は です。
棒には質量がないので、 のまわりの力のモーメントがつり合う。下端の の腕は 、ばねの力 の腕は で、 から ［キ］ です。
おもりの運動方程式は で、角振動数は ［ク］。ばねの伸びが 倍、腕の比でさらに 倍になり、ばね定数が に下がったのと同じです。
ばねの左端は 、右端は だけ右へ動きます。伸びは右端の移動から左端の移動を引いて、［ケ］ です。
ばねが伸びると、 の棒は右へ、 の棒は左へ引かれます。前の場面と同じモーメントのつり合いで、おもりに届く力の大きさは です。
重力の分とあわせて、［コ］、［サ］ となる。
2 つの式に 、 を入れて足すと、ばねの項が打ち消し合い、 が残ります。 なら で、イと同じ値です。
引くと となり、［シ］。
で振れるのは 、つまり のときで、スは です。ばねは伸び縮みせず、2 つとも単独の振り子と同じ動きになる。
で振れるのは のときで、 からセは です。ばねが両側を引くぶん、 より速く振れます。
ばねの伸びは で、 から です。 は角振動数 の単振動なので、 も だけで振動します。
図 8 の角振動数は なので 。2 乗すると となり、 です。
を入れると 、 で、 が問 2 の答えです。
だけに初速度を与えると、 と はどちらも速さ で動きだします。おもりの 1 つずつは 2 つの単振動が重なった動きになり、ばねの伸びだけが 1 つの角振動数で振れる。