図 2-1 のように，水平な 平面上に原点 を中心とした長円形のレールがあり，斜線で示された ， の領域には鉛直上向き方向に磁束密度の大きさが の一様な磁場が加えられている。レール上に木製の台車があり，コイルを含む回路が台車に固定されている。コイルは 平面に平行な正方形で，一辺の長さは ，ただし， とする。コイルの四つの辺は台車の進行方向に対して平行または垂直である。上から見たとき台車とコイルの中心は一致しており，回路を含む台車の質量は である。レールの直線部 は台車の大きさに比べて十分長いものとし，区間 上の の点を とする。
台車が点 を速さ で 軸正の方向（図の右方向）に出発し，その後，台車の中心が最初に ， を通過した瞬間の速さをそれぞれ ， とする。 に比べて速さの変化 と は十分に小さい。また， とする。コイルの右辺が磁場に進入する瞬間と磁場から出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれ ， とする。同様に，左辺が磁場に進入する瞬間と出る瞬間の台車の中心位置をそれぞれ ， とする。台車に働く摩擦力や空気抵抗，コイル自身の電気抵抗は無視できる。
I 図 2-2 のように，回路が正方形の一巻きコイルと抵抗値 の抵抗からなる場合に，台車が最初に区間 を走る時の運動を考える。
(1) 台車の中心が から へ移動する運動について，以下の［ア］と［イ］に入る式を ，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。磁束の符号は鉛直上向きを正とする。
速さに比べて速さの変化が十分に小さいため，台車が 間を移動するのにかかる時間は と近似できる。移動の前後でのコイルを通る磁束の変化量 は［ア］であり，この間の誘導起電力の平均値は と書くことができる。移動中に誘導起電力が で一定であると近似すると，この間に抵抗で発生するジュール熱の総和は［イ］と書ける。
(2) を ，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
II 正方形の一巻きコイルに，抵抗値 の抵抗，起電力 で内部抵抗の無視できる電池，理想的なダイオードが接続された回路を台車に載せて走らせる。理想的なダイオードとは，順方向には抵抗なしに電流を通し，逆方向には電流を流さない素子である。図 2-3 は，区間 を走る台車を上から見たものである。 を出発した台車は磁場を通過することにより減速した。
台車が最初に区間 を走る時の運動について，，，，，，， のうち必要なものを用いて設問 (1)〜(3) に答えよ。ただし，設問 I と同様の近似を用いることができるものとする。
(1) 台車の中心が から へ移動する間にコイルに流れる電流の大きさを求めよ。
(2) この電流によりコイルが磁場から受けるローレンツ力を求めよ。力の符号は， 軸正の向きを正とする。
(3) 同様に，台車の中心が から へ移動する間のローレンツ力を求めよ。
台車はレール上を繰り返し回りながら徐々に速度を下げ，やがて一定の速さ で運動するようになった。設問 (4)，(5) に答えよ。
(4) 回目に を通り抜けた時の台車の運動エネルギー を の関数としてグラフに描いた場合，図 2-4 の①〜④のうちどの形が最も適切か答えよ。
(5) 速さ を ，，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
III 本の正方形一巻きコイルと接続パネルからなる回路を台車に載せて走らせる。図 2-5 は区間 を走る台車を上から見たものである。 本のコイルの両端は接続パネルの端子 ，，， に接続されている。接続パネルは図 2-6 に示すような抵抗と理想的なダイオードからなる回路である。設問 I と同様の近似を用いることができるものとし，台車が最初に区間 を走る時の運動について，以下の設問に答えよ。 本のコイルは上から見たときに完全に重なっているとみなすことができ，接続パネル以外の部分では互いに絶縁されている。また，接続パネルの大きさは無視できるものとする。
(1) 端子 の電位をゼロとする。台車の中心が 間を移動する間の端子 ， の電位をそれぞれ求め，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
(2) 抵抗 と の抵抗値 ， は を満たしながら の範囲で値を調節することができる。区間 を通り過ぎた後の台車の速さの変化 を ，，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。また， が最小となるような を求め， を用いて表せ。
コイルを通る磁束は、帯と重なる部分の面積に をかけたものです。重なる部分は縦が で、横の幅だけがコイルの位置で変わる。
台車の中心を 座標で表すと、右の辺が帯に入る は 、出る は 。左の辺が入る は 、出る は です。
のため、 から までは帯がまるごとコイルの内側に入り、磁束は のまま変わらない。誘導起電力が生じて電流が流れるのは、 間と 間だけです。
から まで進むと、帯と重なる幅は から に広がります。上向きの磁束が だけ増え、これが［ア］の になる。
平均の起電力は 。抵抗で消費される電力 に時間 をかけたものが、［イ］のジュール熱です。
電流は、増える上向きの磁束を打ち消す向き、上から見て時計回りに流れる。
から までに電流が流れるのは 間だけです。そこで生じたジュール熱のぶん、台車の運動エネルギーが減る。
の左辺は と書けて、両辺の が約分される。
力は と速さに比例し、短い時間の力積 は進んだ距離 に比例する。 進むあいだに運動量は 減り、近似をしなくても同じ値になるため、グラフの速さは位置について直線で下がります。
右の辺が帯に入るとき、誘導起電力は設問 I と同じく大きさ で、上から見て時計回りに電流を流す向きです。
図 2-3 の電池は左が正極で、反時計回りに電流を流す向きに起電力 をもつ。ダイオードが通すのは時計回りの電流だけで、電池だけでは電流は流れません。
2 つの起電力の差 が、時計回りに抵抗へかかる。台車が減速したことから、この差は正です。
帯の中にある右の辺には、 軸の負の向きに電流 が流れます。上向きの磁場から受ける力は 軸の負の向きで、大きさは 。
上の辺と下の辺も、帯に入った部分が 方向の力を受ける。2 つの辺の電流は逆向きで、力は打ち消し合います。
左の辺が帯から出ていくと、上向きの磁束は減ります。誘導起電力は向きを変え、上から見て反時計回りに電流を流す向きになる。
電池も反時計回りに押すため、2 つを合わせても反時計回り。ダイオードはこの向きの電流を通さず、電流が だから、ローレンツ力も です。
1 周のうち力を受けるのは、右の辺が帯を横切る距離 のあいだだけです。そのときの速さを とすると、力の大きさは で、1 周に失う運動エネルギーはこれに をかけたもの。
はじめのうちは が大きく、減り方も大きい。周を重ねて が に近づくと、減り方は に近づきます。
は最初の周でいちばん大きく減り、減り方がしだいに小さくなって一定の値に近づいていく。途中で折れて一定になる ② や ④ とは違い、③ が最も適切です。
が まで下がると、2 つの起電力が打ち消し合って電流が流れなくなります。そこから先は力を受けず、台車は一定の速さで回り続ける。
は にも にもよらず、電池の起電力 と、磁場を横切る辺の長さ 、磁束密度 だけで決まる。
2 本のコイルは完全に重なっているため、帯に入るあいだはどちらにも大きさ の起電力が、上から見て時計回りに電流を流す向きに生じます。
図 2-5 で から出た導線は、コイルを反時計回りに 1 周して に着く。時計回りの起電力は電荷を の側から の側へ押すため、 は より 高い電位になります。 と のコイルも同じ巻き方で、 が より 高い。
パネルの中で と は導線だけでつながり、電位が等しい。 を とすると と が 、 はそこからさらに 高くなる。
帯に入るあいだ、 には と の電位差 が、 には と の電位差 がかかります。どちらもダイオードの順方向で、電流 と が流れる。
帯から出るときは起電力が逆向きになり、どちらのダイオードも電流を止めます。熱になるのは入るときの だけで、I(2) と同じように が約分される。
のもとでは、。分母の が最も大きい のとき、速さの変化が最も小さくなります。