次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，{ }からは適切なものを一つ選びその番号を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，二重の枠はすでに同じ記号の枠で与えられたものと同じものを表す。また，問 1 〜 問 3 では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。ただし，円周率を とする。
真空中の時間変化しない磁場内での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の運動によって生じる電場と磁場の影響，および重力の影響は無視してよい。
(1) 図 1 のように， 軸上に置かれた十分に長い直線状の導線に， 軸の正の向きに強さ の定常電流が流れている場合を考える。真空の透磁率を とすると，この電流がつくる磁束密度の大きさは， 軸から距離 離れた点で ［イ］ となる。 平面上の ， の領域に，正方形の 1 巻きコイルを置く。図 1 に示すように，各辺は 軸あるいは 軸に平行である。ただし，コイルの自己インダクタンスは無視できるものとする。コイルが 軸の正の向きに一定の速さで動くとき，誘導電流は {ロ: ①図の 1 の向きに流れる，②図の 2 の向きに流れる，③流れない}。また，コイルが 軸の正の向きに一定の速さで動くとき，誘導電流は {ハ: ①図の 1 の向きに流れる，②図の 2 の向きに流れる，③流れない}。
(2) 次に，非一様な磁場中での荷電粒子の運動を考えよう。荷電粒子の大きさは無視でき，その質量は ，電荷は とする。簡単のため，図 2 に示すようなモデルで考える。磁場は 軸の負の向きにかかっており，その磁束密度の大きさは，ある に対して， で ， で とする。ただし と は正の定数で， である。また，粒子が で定められる平面を通過するとき，その軌道は滑らかにつながり，速さは変化しないとする。
時刻 で ，， にある荷電粒子が， 軸の正の向きに速さ で運動をはじめた。荷電粒子はまず， の領域においてローレンツ力により 平面内で等速円運動する。 での円軌道の半径は ［ニ］ となる。荷電粒子が ではじめて に到達するまでにかかる時間 は，，，，， のうち必要なものを用いて ［ホ］ と書ける。その後，粒子は においても等速円運動する。 からふたたび に到達するまでの時間を とし， を運動の周期とする。
問 1 時刻 から時刻 までの荷電粒子の 平面内での軌道を描き，時刻 ，， における位置を示せ。また，時刻 での位置を始点とし， での位置を終点とするベクトルについて，その大きさを答えよ。このベクトルで表される移動をドリフトとよぶ。
問 1 で考察したドリフトについて，その平均の速さを求めよう。磁束密度の大きさを正の定数 および を用いて ， と与える。運動の周期 を ，，，，， のうち必要なものを用いて書くと ［ヘ］ となる。ドリフトの平均の速さは，ドリフトを表すベクトルの大きさを周期で割ることによって求められ，，，，，， のうち必要なものを用いて ［ト］ と書ける。一般に，一様でない磁場がある場合にこのようなドリフトが生じ，これは磁場勾配ドリフトとよばれる。
次に，図 3 のように，粒子が時刻 で ，， にあり， 平面内で 軸に対する角度が の方向に速さ で運動をはじめる場合を考える。
問 2 から， で 2 回目に に達するときまでの粒子の軌道として最も適当なものを図 4 の①〜⑧のうちから選び，番号を答えよ。
(3) 次に，一様な磁場のもとで，ローレンツ力に加えて外力が荷電粒子にはたらく場合を考えよう。荷電粒子は質量 ，電荷 をもち，大きさは無視できるとする。図 5 のように， 軸の負の向きの一様な磁場があり，磁束密度の大きさを正の定数 とする。さらに，粒子には 軸の正の向きに大きさ の一様な保存力である外力が作用する。磁場および外力はいずれも時間変動しない。
このとき，荷電粒子は 軸方向には一定の範囲で周期的に振動する。運動中のある時刻で粒子が， が最小値 となる位置にあり速さ をもっていたとすると， が最大値 となる位置まで移動したときの速さ は，この間に外力がした仕事 が正であるため より大きくなる。その後 にもどったとき，粒子の速さは に比べて {チ: ①大きくなる，②小さくなる，③変化しない}。
ローレンツ力に対して外力が十分に弱いとき，荷電粒子の運動の等速円運動からのずれはわずかである。以下では，図 6 のように，(2)と同様に の領域と の領域に分け，この粒子の運動を， 平面内のそれぞれの領域で，異なる速さで等速円運動するモデルで考察する。
荷電粒子は磁場によるローレンツ力をうけ， で速さ ， で速さ の等速円運動を行うとする。ここで， である。外力により と の差が生じ，それ以外には外力による運動への影響はないと仮定する。また， で粒子の軌道は滑らかにつながるとする。ただし，解答に および は用いないこと。
時刻 で ，， にある荷電粒子が 軸の正の向きに速さ で等速円運動をはじめた。 における等速円運動の円の半径は ［リ］ となり，時刻 で 2 回目に に達するまでの時間 は ［ヌ］ となる。時刻 での粒子の位置を始点， での位置を終点とするベクトルがこの場合のドリフトを表す。このベクトルの向きから， 軸の負の向きの磁場および 軸の正の向きの外力によって {ル: ① 軸の正，② 軸の正，③ 軸の負，④ 軸の負} の向きにドリフトを生じることがわかる。このドリフトの平均の速さは，そのベクトルの大きさを周期 で割り， を用いずに ［ヲ］ と求められる。このモデルでは， と の各領域における円軌道の半径をそれぞれ ， とすると，粒子が 軸方向に と の間を移動する。 と の違いによる運動エネルギーの差が と等しいとすると，［ヲ］ は，，，，， のうち必要なものを用いて ［ワ］ と表すことができる。
問 3 一様な外力が強さ の電場による力の場合， として，［ワ］ のドリフトの平均の速さを求めよ。また，時刻 から までの荷電粒子の 平面内での軌道を描け。さらに，同じグラフに電荷が の場合の軌道を 2 周期分描け。ただし，どちらも において上の条件で運動をはじめるものとする。それぞれの軌道に電荷の値を明記し，始点と終点の違いがわかるように描くこと。
ここでは簡単なモデルによって考察したが，正確なドリフトの速さは ［ワ］ の定数倍であり，このような簡単なモデルでも，ドリフトの特性を得ることができる。
長い直線電流のまわりには、電流を中心とする同心円の磁場ができます。距離 での大きさは ［イ］ で、 軸から離れるほど弱くなる。
軸の正の向きへ右ねじを進めると、ねじの回る向きに磁場ができます。 の側では、その向きは 軸の負の向き、紙面の表から裏へ向かう向きです。
コイルを 軸の向きに動かしても、 軸からの距離は変わりません。貫く磁束がそのままなので誘導電流は流れず、ロは③です。
軸の正の向きに動かすと、コイルは磁場の弱いほうへ移り、裏向きの磁束が減っていく。減った分をおぎなう裏向きの磁場を作るのは、紙面の上から見て時計回りの電流です。上の辺では右向きに流れるので、ハは①になります。
磁場が 軸の負の向きなので、正の電荷は紙面の上から見て反時計回りに回ります。 軸の正の向きに出た粒子には、 軸の正の向きに大きさ のローレンツ力がはたらく。
向心力の式 から、半径は ［ニ］ です。
粒子は で半円を描き、出発点の真上で に戻ります。半周の時間は ［ホ］ で、速さによらない。
では磁場が強いので半径は に縮み、こちらも半円を描いて で に戻ります。
右の半円では直径の だけ上がり、左の半円では だけ下がります。 なので、上がるほうが大きい。
の粒子は、出発点の真上で速度も出発のときと同じ 軸の正の向きです。ここから同じ動きが繰り返されます。
ドリフトのベクトルは 軸の正の向きで、大きさは です。問 1 の軌道では、 の点、いちばん高い の点、その下の の点が、どれも の線の上に並ぶ。
、 です。周期は で、 が打ち消し合って ［ヘ］ になります。
ドリフトの大きさは に入れて です。
周期で割ると 、、 が消え、平均の速さは ［ト］ となる。 が大きく、境目の両側で磁場の違いが大きいほど、粒子は速く流れていきます。
軸から の向きに出ると、右の領域の円の中心は出発点から左上にあります。 にあるのは円の だけで、粒子は右へ浅くふくらむ弧を描き、 だけ上で に戻る。
戻ったときの向きは左上です。左の領域では円の を回り、向きが右上に戻ったところで 2 回目の に達します。
左の円は右の円より小さいので、終わりの点は出発点より だけ上です。右に浅い弧、左に大きく回る輪、終わりが出発点より上、の 3 つがそろうのは③です。
ローレンツ力は速度にいつも垂直なので、仕事をしません。粒子の運動エネルギーを変えるのは外力 だけです。
から へ動くあいだに外力は の仕事をし、戻るあいだに同じ大きさの負の仕事をする。
一様な保存力の仕事は位置だけで決まるので、 に戻れば運動エネルギーももとの値に戻ります。速さは のままで、チは③です。
図の軌道は、右へ行くほど速く大きく回り、左では遅く小さく回ります。その差で、粒子は外力とも磁場とも垂直な 軸の向きへ少しずつ進んでいく。
右の領域の半径は ［リ］、左は です。半周の時間はどちらも で、速さによりません。
2 回目に に達するまでは半周が 2 回なので、［ヌ］ です。
右の半円で 上がり、左の半円で 下がる。 から で、ドリフトは 軸の正の向き、ルは②です。
ドリフトの大きさ を で割って、［ヲ］ となります。
粒子は と のあいだを動くので、左端から右端までに外力がする仕事は です。これが運動エネルギーの差になる。
の左辺は です。右辺は を使うと になります。
両辺を で割ると 。これをヲの式に入れて、［ワ］ です。速さそのものには関係なく、力と磁場だけで決まる。
を入れると、平均の速さは で、電荷にも質量にもよりません。
電荷が になると外力も になり、 の分子と分母がそろって 2 倍になるので、速さの差は のときと同じです。同じ条件で出るので も も変わらず、半径と周期だけが半分になる。
の粒子は、半分の大きさの輪を半分の時間で描き、時刻 までにちょうど 2 周期ぶん進みます。1 周期で進む距離が半分なので、2 周期で の粒子と同じ点に着く。
問 3 の図では、2 つの軌道の始点 と終点 がそろい、 の軌道は大きな半円 2 つ、 の軌道は小さな半円 4 つでできています。