地球表面上の海水は，地球からの万有引力の他に，月や太陽からの引力，さらに地球や月の運動によって引き起こされる様々な力を受ける。これらの力の一部が時間とともに変化することで，潮の満ち干が起こる（潮汐運動）。ここでは，地球の表面に置かれた物体に働く力について，単純化したモデルで考察しよう。なお，万有引力定数を とし，地球は質量 で密度が一様な半径 の球体とみなせるとする。以下の設問 I，II，III に答えよ。
I 地球の表面に置かれた物体は地球の自転による遠心力を受ける。地球の自転周期を とするとき，以下の設問に答えよ。
(1) 質量 の質点が赤道上のある地点 に置かれたときに働く遠心力の大きさ ，および北緯 のある地点 に置かれたときに働く遠心力の大きさ を求め，それぞれ ，， を用いて表せ。
(2) 設問 I(1) の地点 における，地球の自転による遠心力の効果を含めた重力加速度 を求め，，，， を用いて表せ。
II 次に，月からの引力と，月が地球の周りを公転運動することによって発生する力を考える。ここではこれらの力についてのみ考えるため，地球が自転しないという仮想的な場合について考察する。
月が地球の周りを公転するとき，地球と月は，地球と月の重心である点 を中心に同一周期で円運動をすると仮定する（図 1-1）。なお，図 1-1 において，この円運動の回転軸は紙面に垂直である。月は質量 の質点とし，地球の中心と月との距離を とする。また，地球の中心および月から点 までの距離をそれぞれ ， とする。以下の設問に答えよ。
(1) 点 から見た地球の中心および月の速さをそれぞれ ， とする。 および を ，，， を用いて表せ。
(2) 点 を原点として固定した 座標系を，図 1-2(a) のように紙面と同一平面にとる。時刻 において，座標が である地球表面上の点を点 とする。月の公転周期を とするとき，時刻 における点 の座標を，，，， を用いて表せ。ただし，地球の自転を無視しているため，時刻 以降で図 1-2(b)，(c) のように位置関係が変化することに注意せよ。
(3) 設問 II(2) の点 に， および に比して十分に小さい質量 の質点が置かれているときを考える。この質点について，地球が点 を中心とした円運動をすることで生じる遠心力の大きさ を求め，，，， を用いて表せ。
(4) ある時刻において，地球表面上で月から最も遠い点を ，月に最も近い点を とする。質量 の質点を点 および点 に置いた場合に，質点に働く遠心力と月からの万有引力の合力の大きさをそれぞれ ， とする。， を ，，，， を用いて表せ。また，点 および点 における合力の向きは月から遠ざかる方向か，近づく方向かをそれぞれ答えよ。
III さらに，太陽からの引力と，地球の公転運動によって発生する力について考える。これらの力についても設問 II と同様に考えられるものとする。なお，地球と太陽の重心を点 とする。太陽は質量 の質点とし，地球の中心と太陽の距離を とする。
図 1-3 のように，ある時刻において地球表面上で太陽から最も遠い点を とする。質量 の質点が点 に置かれたとき，地球が点 を中心とした円運動をすることで生じる遠心力と太陽からの万有引力の合力の大きさを とする。設問 II(4) で求めた に対する の比は以下のように見積もることができる。
［ア］と［イ］には連続する 桁の数字が入る。表 1-1 の中から必要な数値を用いて計算し，［ア］に入る数字を答えよ。
地面に置いた物体は、地球といっしょに自転の軸のまわりを周期 で回っています。半径 、角速度 の円運動をする質量 の物体には、軸から離れる向きに大きさ の遠心力が働く。
角速度はどの地点でも で、違うのは回る円の半径だけです。赤道上の は半径 、北緯 の は半径 の円を回る。
の物体には、地球の中心へ向かう万有引力 と、外へ向かう遠心力 が働きます。赤道では軸から離れる向きが中心から離れる向きと重なり、2 つの力は同じ直線の上で逆を向く。
重力はこの合力で、大きさ は万有引力から を引いた値。北緯 の では遠心力が中心から離れる向きとずれるため、重力を引き算だけで求めることはできません。
重心 は、地球の中心と月を結ぶ線分を に内分する点です。 までの距離は 、 になる。
地球と月は同じ周期で回るため、角速度 も共通。地球の円運動では、月から受ける万有引力が向心力になる。
両辺の を消して を代入すると も約分され、 は質量の和 と距離 だけで決まる。
円運動の速さは半径と角速度の積だから、、 です。
上で求めた と 、 を代入すると、どちらも に相手の質量をかけた形になる。
で、表 1-1 の値では約 。地球の中心は、月よりずっと小さな円をゆっくり回っている。
地球の中心は、 のまわりを半径 、周期 で回ります。図 1-2 で月は反時計回りに進み、地球の中心も の位置 から反時計回りに回る。
自転しない地球は向きを変えずに平行移動するため、 はいつも中心から 軸の負の向きに 離れたところにあります。 の座標は、中心の座標の から を引いたもの。
が描く道すじは、中心 、半径 の円です。地球のどの点も、同じ大きさの円を同じ周期で回っている。
地球の上の質点は、 でも中心でも半径 の円を周期 で回る。遠心力はどの点でも大きさ で、向きは月から遠ざかる向き（ から地球の中心へ向かう向き）です。
と を代入すると が約分され、 は、地球の中心に置いた質点が月から受ける万有引力と同じ大きさになる。地球の中心では、遠心力と月の引力がちょうど打ち消し合う。
遠心力 は、 でも でも月から遠ざかる向きに働きます。月の引力は距離の 2 乗に反比例し、 離れた では より弱く、 の では強い。
だから合力は、 では月から遠ざかる向き、 では月に近づく向きです。どちらも地球の中心から外へ向かい、海水は月の側とその反対側の 2 か所で盛り上がる。
通分した形は 、。
点 でも II(4) と同じく です。 は よりずっと小さく、 が小さいときの近似 が使える。
に近似をあてると になり、かっこの中は だけが残ります。グラフでは、 が から だけ増えたときの の下がり幅にあたる。
も同じように で近似でき、比をとると 、、 が消える。
、 です。
で、かけると約 。 と のあいだにあるため、［ア］は です。
近似で落とした項は の程度で、残すと が ほど小さくなる。比は 近くになりますが、 には届きません。