図 3-1 のようにピストンのついた断面積一定のシリンダーがある。ピストンには棒がついており，気密を保ちながら鉛直方向に滑らかに動かすことができる。シリンダーとピストンで囲まれた空間は，シリンダー内のある位置に水平に固定された特殊な膜によって領域 1 と領域 2 に仕切られている。領域 1 と領域 2 には合計 モルの単原子分子理想気体 が，領域 2 には気体 のほかに モルの単原子分子理想気体 が入っている。図 3-2 のように気体 の分子は膜を衝突せず通過できるのに対し，気体 の分子は膜を通過できない。シリンダーとピストンで囲まれた空間の外は真空であり，膜の厚さや，膜，シリンダー，ピストンの熱容量，気体分子に対する重力の影響は無視できる。ピストンは断熱材でできている。気体 の分子 個の質量を ，気体 の分子 個の質量を ，シリンダーの内側の断面積を ，アボガドロ定数を ，気体定数を とする。鉛直上向きに 軸をとる。以下の各過程では気体の状態は十分ゆっくり変化するため，領域 1 の圧力と領域 2 の圧力はそれぞれ常に均一であり，気体 と が熱のやりとりをすることでシリンダー内の温度は常に均一であるとみなせる。
以下の設問に答えよ。
I はじめにピストンは固定されており，領域 1 の体積は ，圧力は ，領域 2 の体積は ，圧力は ，シリンダー内の温度は であった。気体分子の 方向の運動に注目し，気体 と の分子の速度の 成分の 乗の平均をそれぞれ ， とする。気体 の分子は，膜に当たると膜に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。同様に，気体 と の分子はピストンおよびシリンダーの面に当たると面に平行な速度成分は一定のまま弾性衝突してはね返されるとする。分子間の衝突は考慮しなくてよいほど気体は希薄である。
(1) ピストンが気体 から受ける力の大きさの平均を とする。 を，，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
(2) シリンダーの底面が気体 と から受ける合計の力の大きさの平均を とする。 を，，，，，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
(3) ボルツマン定数を として，各分子は一方向あたり平均して の運動エネルギーを持つ。 と を，，，， のうち必要なものを用いて表せ。
(4) 気体 と の内部エネルギーの合計を，， を用いて表せ。
II 次にピストンを設問 I の状態からゆっくりわずかに押し下げたところ，領域 1 の体積が から に，領域 1 の圧力が から に，領域 2 の圧力が から に，シリンダー内の温度が から に変化した。この過程で気体と外部の間で熱のやりとりはなかった。以下の設問では，，，， はそれぞれ ，，， より十分小さな正の微小量とし，微小量どうしの積は無視できるとする。
(1) 温度変化 を，，， を用いて表せ。
(2)
が成り立つ。［ア］に入る数を求めよ。
III 設問 I の状態からピストンについている棒を取り外し，おもりをシリンダーに接しないようにピストンの上に静かに乗せたところ，領域 1 と領域 2 の体積，圧力，温度に変化はなかった。さらに図 3-3 のようにヒーターをシリンダーに接触させ気体を温めたところ，ピストンがゆっくり押し上がった。領域 1 の体積が になったところでヒーターをシリンダーから離した。
(1) このときのシリンダー内の温度を，，， を用いて表せ。
(2) 気体 と が吸収した熱量の合計を，，，， を用いて表せ。
気体 の分子は膜を素通りし、底とピストンのあいだを行き来します。その高さは、2 つの領域を合わせた 。
速度の 成分が の分子は、ピストンではね返るたびに の力積を与え、 ごとに戻ってくる。1 個が与える力の平均は です。
個ぶんを足すと が平均 に置きかわり、 を に戻すと が求まる。
底面には気体 と の両方が当たります。 の分子は底にもピストンにも同じ回数ずつ当たるため、 から受ける力は に等しい。
の分子は膜ではね返され、底と膜のあいだの高さ を往復する。I(1) の計算の を に、 を に、高さを にかえて、2 つの力を足す。
1 方向あたりの運動エネルギーが だから、 です。 は気体定数 になる。
領域 1 の圧力はピストンが受ける力を で割ったもの、領域 2 の圧力は底面が受ける力を で割ったもの。
気体 は膜がないときと同じく体積 に広がり、どちらの領域にも同じ圧力 を及ぼします。領域 2 の圧力は、そこに体積 の気体 の圧力が加わった値になる。
単原子分子は 3 方向に ずつ、1 個あたり の運動エネルギーをもちます。 モルでは 倍の 。
気体 と は モルずつで、温度も共通です。膜で仕切られていても、内部エネルギーは温度と物質量だけで決まる。
膜は固定されていて動かないため、気体に仕事をするのはピストンだけです。押し下げる幅はわずかで、そのあいだ領域 1 の圧力は とみなせる。ピストンが気体にする仕事は です。
熱のやりとりはなく、この仕事がそのまま内部エネルギー の増加 になる。
I(3) の は、押し下げたあとも成り立ちます。体積の和は 減るため、。
左辺を展開して微小量どうしの積を落とし、もとの式を引くと になる。両辺を で割ると、圧力、温度、体積の変化の割合がつながります。
に II(1) の を代入すると です。温度が変わらなければ係数は で、断熱で温度が上がるぶん が加わり、［ア］は になる。
おもりを載せても状態が変わらなかったのは、ピストンとおもりの重さが、気体がピストンを押す力 とつり合っているため。ゆっくり押し上がるあいだもこのつり合いが続き、領域 1 の圧力は のままです。
膜は動かないため、領域 2 の体積は のまま。温めたあとの温度を とすると、I(3) と同じく が成り立ち、はじめの と等しいとおけます。
内部エネルギーの増加は です。
気体は圧力 のままピストンを押し上げ、体積の和が 増えるあいだに の仕事をする。
吸収した熱量はこの 2 つの和で、内部エネルギーに 3、仕事に 1 の割合で分かれます。