次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，{ }からは適切なものを一つ選びその番号を，それぞれの解答欄に記入せよ。また，問 1 では，指示にしたがって，解答を解答欄に記入せよ。ただし，円周率を ，重力加速度の大きさを とする。
(1) 図 1(a)のような自然長 で質量が無視できるばねの一端に，質量 で大きさが無視できる小球を取り付けた。このばねのばね定数は である。一体となったばねと小球を，なめらかな水平平面上に置き，小球が付いていない方のばねの端を，水平平面上の点 に固定した。ばねは点 のまわりを自由に回転できる。
水平平面上で，小球を点 のまわりで，ある一定の角速度 で等速円運動させたとき，ばねは伸びて，図 1(b)のように点 から小球までの距離が であった。ばねの復元力により小球には点 の方向へ大きさ ［ア］ の力がかかっている。また小球には点 から遠ざかる方向へ大きさ ［イ］ の遠心力がかかっている。反対の方向へ働くこれらの力の大きさは，いずれも点 から小球までの距離に依存する。すなわち，角速度が の場合に，両者の大きさが等しくなる点 から小球までの距離が であり，それは ，，， を用いて ［ウ］ と表される。
問 1 図 1(b)の小球が等速円運動を行うための条件を角速度 の範囲で示せ。
(2) 図 2(a)のように，質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さ のひもの一端を，なめらかな水平平面上の点 に固定した。また，このひものもう一方の端に，質量 で大きさが無視できる小球 1 を取り付けた。小球 1 にはさらに，質量が無視できる軽くて伸び縮みしない長さ のひもの一端を取り付け，そのひもの他端には質量 で大きさが無視できる小球 2 を取り付けた。
はじめ，2 つの小球と 2 本のひもは，一直線上に連結されたまま，なめらかな水平平面上で，点 を中心とする角速度 の等速円運動をしていた。図 2(b)中に示す通り，点 を座標原点とし，水平平面上のある方向に 軸を，それと垂直な方向に 軸をとる。回転している小球 2 の座標が のとき(図 2(b))，長さ のひもが切れた。切れた瞬間の時刻を とする。なお切れた後のひもは，その後の 2 つの小球の運動には影響を与えないものとする。
長さ のひもで連結された 2 つの小球の運動に注目する。ひもが切れた直後の 2 つの小球の重心の位置は ［エ］［オ］ である。このとき重心から見た小球 1 の相対速度の大きさは ［カ］ であり，その向きは {キ: ① 軸正の方向，② 軸負の方向，③ 軸正の方向，④ 軸負の方向} である。重心から見た小球 2 の相対速度の大きさや向きも，小球 1 のそれらと同様に求めることができる。小球 1 と小球 2 を連結する長さ のひもにかかっている張力は ［ク］ であり，2 つの小球は重心まわりを角速度 ［ケ］ で回転する。また，重心の運動は 2 つの小球の質量が重心に集中したものとして考えることができる。重心にかかる加速度の大きさは ［コ］ であることから，重心は {サ: ①円運動，②直線運動，③単振動} することがわかる。
(3) 図 3(a)のような，質量が無視できる 2 本の変形しない細い棒と，大きさが無視できる 2 つの小球が連結された物体 を作製した。まず長さ の細い棒の一端に質量 の小球 1 を接着した。小球 1 にはさらに，長さ の細い棒の一端を固定し，さらにその細い棒の他端には質量 の小球 2 を固定した。長さ の細い棒と長さ の細い棒は，それぞれの軸の延長線が完全に一致している。
水平な地面からある高さの位置に，地面に平行に設置されたまっすぐで細い鉄棒がある。さきに作製した物体 を構成する細い棒の，いずれの小球とも接続されていない一端を，この鉄棒に垂直に取り付けた。図 3(b)は，物体 を取り付けた点を含む鉄棒に垂直な平面を，鉄棒の軸方向から見た図である。連結された物体 は，鉄棒に垂直なこの平面内で，鉄棒のまわりを自由に回転できる。
はじめ，物体 が図 4(a)のように地面と平行となるように保持されている。座標原点 を鉄棒の位置にとり，そこから小球 2 の方向を 軸正の方向，鉛直上方を 軸正の方向とする。また図 4(a)中に示す通り， 軸からの回転角を (反時計回りを正，単位はラジアン)で表す。ただし とし，たとえば 軸正の方向は で表される。
物体 が の位置にあるとき，鉛直上方へ向かう初速度を小球 2 に与えた。小球 2 の初速度を とすると，このとき物体 がもつ運動エネルギーは ［シ］ と書ける。また， を位置エネルギーの基準高さとすると，初速度を与えられたのち，物体 が回転して回転角が となったときに，物体 がもつ位置エネルギーは ［ス］ と書ける。
以下では として， を用いずに解答せよ。
物体 が初めて の位置に到達する直前には，物体 は図 4(a)の方向から見たとき {セ: ①時計回り，②反時計回り} に回転している。
物体 が の位置に到達したとき，その回転の角速度の大きさは ［ソ］ である。このとき，接着してあった長さ の細い棒と小球 1 の連結部が一瞬で外れた。連結が外れた瞬間の時刻を とする。長さ の細い棒で連結された 2 つの小球の， での運動を考える。 で初めて小球 2 が小球 1 の鉛直下方に到達したとき，ちょうど小球 2 が地面に接した(図 4(b))。よって地面を基準として，鉄棒の高さは ［タ］ であると求められる。
なめらかな水平面の上で、自然長 、ばね定数 のばねの一端を点 に留め、他端の小球（質量 ）を角速度 で回します。
面はなめらかなので、水平面内で小球にはたらくのはばねの力だけです。それがそのまま向心力になります。
ばねは点 のまわりを自由に回れるので、力の向きはいつも を向きます。ねじれの力は出てきません。
伸びは なので、復元力は です。これがアの答えです。
いっしょに回る目で見ると、外向きに の遠心力がはたらいています。イの答えです。
つり合いの式は です。 について解きます。
から となり、 です。これがウの答えです。
を上げると分母が小さくなるので、 は大きくなります。速く回すほどばねは伸びます。
2 つの力を の関数として並べると、どちらも原点から伸びる直線です。復元力は で を通る傾き の直線、遠心力は原点を通る傾き の直線です。
交わるところが答えの です。直線どうしなので、交わるとすれば 1 か所だけです。
2 本の直線の傾きを見比べます。復元力の傾きは 、遠心力の傾きは です。
なら遠心力の直線のほうが寝ているので、 を大きくしていけばどこかで復元力が追い越します。そこがつり合いの点です。
だと遠心力のほうが立っていて、復元力は追いつけません。ばねはどこまでも伸び、つり合う がなくなります。
条件は 、つまり です。これが問 1 の答えです。
この上限に近づくと は際限なく大きくなります。 は、このばねと小球が単振動するときの角振動数そのものです。
点 から長さ のひもで小球 1（質量 ）、そこから長さ のひもで小球 2（質量 ）をつなぎ、一直線のまま角速度 で回します。
小球 2 が に来たところで、点 側の長さ のひもが切れました。これで水平方向の外力はなくなります。
2 球の重心の は 、 は です。これがエとオの答えです。
切れた直後の速度は、小球 1 が 、小球 2 が で、どちらも 軸正の向きです。
重心の速度はその質量平均で です。やはり 軸正の向きです。
重心から見た小球 1 の速度は です。大きさがカ、向きは 軸負なのでキは④です。
重心から小球 1 までの距離は です。速さをこの距離で割ると、ちょうど になります。ケの答えです。
切れる前も後も、2 球の互いの回り方は変わりません。切れたのは点 との縁だけで、2 球を結ぶひもは無事だからです。
張力は小球 1 の円運動をまかないます。 で、クの答えです。
小球 2 の側から と計算しても同じ値になります。1 本のひもなので、当然そろいます。
ひもが切れたあと、2 球にはたらく水平方向の外力はありません。2 球をつなぐひもの張力は、外から見れば内側でのやり取りです。
よって重心の加速度は です。これがコの答えです。
速度は切れた瞬間のまま変わらないので、重心は 軸正の向きへ等速直線運動をします。サは②です。
全体の動きは、まっすぐ進む重心と、そのまわりを角速度 で回る 2 球を重ねたものになります。
鉄棒から距離 に質量 の小球 1、距離 に質量 の小球 2 があります。棒に質量はありません。
鉄棒のまわりの慣性モーメントは です。この 1 つの数で、以降の回転が扱えます。
で小球 2 に鉛直上向きの初速度 を与えます。角速度は 、小球 1 の速さは です。
運動エネルギーは で、シの答えです。
高さは小球 1 が 、小球 2 が なので、位置エネルギーは です。スの答えです。
を入れると、はじめの運動エネルギーは です。
位置エネルギーがいちばん高いのは で、 です。 はこれより大きいので、山を越えられます。
越えてしまえば、あとは下りです。反時計回りのまま まで回り続けるので、セは②です。
では位置エネルギーが なので、運動エネルギーは です。
と置いて が、ソの答えです。
では 2 球は鉄棒の真下に縦に並び、速度はどちらも水平です。そこで長い棒との連結が外れます。
外れた 2 球の重心は鉄棒から だけ下にあり、速度は水平です。以後、重心は水平投射の放物線を描きます。
重心のまわりの回転は角速度 のまま続きます。小球 2 がふたたび小球 1 の真下へ来るのは 1 周したときで、 です。
そのあいだに重心は 落ちます。 を入れると です。
小球 2 ははじめ鉄棒の 下にいたので、鉄棒の高さは です。これがタの答えです。