おもりを 1 個ずつ外して導くポアソンの式と、圧力が温度だけで決まる気体（2025 年 京都大学 物理 問題 III）

次の文章を読んで，［ ］に適した式または数値を，{ }からは適切なものを一つ選びその番号を，それぞれの解答欄に記入せよ。なお，二重の枠はすでに同じ記号の枠で与えられたものと同じものを表す。また，問 1，問 2 では，指示にしたがって，解答をそれぞれの解答欄に記入せよ。

(1) 1 モルの単原子分子理想気体の状態変化について考える。絶対温度 におけるこの気体の内部エネルギーは， を気体定数とすると である。また，ゆっくりとした断熱変化では，この気体の圧力 と体積 の間にはポアソンの式 一定 が成り立つ。以下，重力加速度の大きさを とする。

図 1(a)に示すように，この理想気体を断面積が の円筒状の容器に入れ，蓋で封じる。蓋は断熱性であり，気密性を失わずに鉛直方向に滑らかに動くことができる。容器は透熱性と断熱性に切り替えることができ，はじめは透熱性である。また，容器は十分に深く蓋が外れることはない。蓋にかかる重力による圧力と大気圧とを合わせた圧力を とする。 と理想気体の圧力が釣り合い，蓋は静止している。容器は透熱性のため外部と熱のやり取りが十分速く行われ，理想気体の温度は周囲の大気と同じである。この状態を始状態と呼ぶ。

始状態において蓋に質量 のおもり を静かに載せ，ゆっくりと気体を圧縮すると，気体の圧力と体積がそれぞれ ， で蓋は静止した。この状態を状態 とする(図 1(b))。 ［あ］ である。

次に，状態 にある容器を断熱性に切り替え，外界との熱の出入りができないようにした(図 1(c))。また，おもり は 個の等価な小さなおもり からなり，おもり を 1 個ずつ取り除くことで気体にかかる圧力を変えることができる。ここで， は十分大きな正の整数で，おもり を 1 個取り除くことによる外部から気体にかかる圧力の変化量は小さく，また気体の膨張による体積の変化量も小さい。以下の操作 を繰り返し，おもり を 1 個ずつ取り除いていく。

操作 : おもり を 1 個素早く取り除き，蓋が静止するまで膨張させる

操作 を 回繰り返した後の理想気体の圧力と体積をそれぞれ ， とする。ここで， は から の整数であり， は状態 に対応している。 を用いると ［い］ である。操作 を 回行った後にさらに操作 を 1 回行う。このとき気体がする仕事は， が十分大きいので， と近似できる。また，内部エネルギー変化は，，，， を用いると，［う］ と表される。これらを用いることで， ［え］ の関係式を得る。操作ごとの圧力変化と体積変化をそれぞれ ， とおくと ［お］ の関係式が得られる。 が大きくなると と は に近づくので，操作 の繰り返しは，気体の圧力と体積が連続的に変化するものとみなすことができ，ポアソンの式が得られる。

状態 から操作 を 回繰り返すと，全てのおもり が取り除かれる。図 1(c)の状態から開始して，断熱的におもり を 個取り除いた場合の最終的な気体の圧力と体積を ， とする。一方，図 1(b)の状態から開始して，等温的におもり を 個取り除いた場合の最終的な気体の圧力と体積は ， であるとする。 と を比較すると {か: ①，②，③} である。

問 1 {か} の大小関係について，理想気体の膨張による仕事と内部エネルギー変化をもとに説明せよ。

(2) 単原子分子理想気体とは異なる状態方程式や内部エネルギーの式に従う気体 の状態変化について考える。ただし，この気体 は考えている温度や圧力の範囲で気体として振る舞う。また，熱力学第一法則に従い，理想気体と同様に加熱すると圧力が上昇し，気体がする仕事は理想気体と同様に表される。この気体の圧力，体積，内部エネルギーをそれぞれ ，， とすると，気体 について であることがわかっている。

気体 の断熱膨張を考える。気体の体積が から に微小変化するとき，圧力は から に，内部エネルギーは から に，それぞれ微小変化するとする。ここで，，， である。また，以下では などの微小量どうしの積は無視してよい。この微小変化により気体がする仕事を，，，， から必要なものを用いて表すと ［き］ となる。したがって， ［く］ が得られる。これにより，気体 のゆっくりとした断熱変化において 一定 ［く］ の関係が成り立つことが示される。

単位体積あたりの内部エネルギーはエネルギー密度と呼ばれる。気体 のエネルギー密度を と表すと である。気体 のエネルギー密度は，絶対温度 のみに依存し と表されることがわかっている。ここで， と は正の定数である。気体 を作業物質とするサイクルを考えることで を求めてみよう。このサイクルでは，図 2 に示すように，気体は状態 から状態 ，状態 ，状態 を経て状態 のように変化し，もとに戻る。各変化は，状態 から状態 が気体を断熱壁で覆った断熱変化，状態 から状態 が絶対温度 の熱源に気体を接触させた等温変化，状態 から状態 が気体を断熱壁で覆った断熱変化，状態 から状態 が絶対温度 の熱源に気体を接触させた等温変化である。ここで，各変化はゆっくりと進行し，また各状態での気体の体積と圧力は図 2 に示す通りである。以下では，状態 から状態 への変化で気体が得た熱を と表す。ここで， と は から のいずれかを指す。

状態 の体積 は， と を用いると ［け］ となる。気体 の が だけでなく にも依存することに注意すると， は ，， を用いて ［こ］ と表される。また， を ，， を用いて表すと ［さ］ となる。

ゆっくりと進む等温変化と断熱変化からなるサイクルにおいて，一般に次の事実が知られている。高温(絶対温度 )の熱源から得た熱を ，低温(絶対温度 )の熱源から得た熱を とすると， の関係が成り立つ。これを気体 のサイクルにあてはめると ［し］ ［す］ が得られる(ただし，［し］ と ［す］ は ，，， を用いて表せ)。この式が任意の と について成り立つことから ［せ］ となる。

問 2 気体 の定圧モル比熱は定義することができない。その理由を述べよ。