路面上を走る一輪車の運動を考えよう。図 1-1 のように，一輪車と搭乗者を，動力が内蔵された車輪が先端に付いた剛体棒としてモデル化する。この剛体棒は太さと密度が一様であり，その長さ，質量はそれぞれ ， である。車輪の大きさと質量は考えなくてよい。ここでは，車輪と路面間にはたらく摩擦力は静止摩擦力のみとし，その静止摩擦係数を とする。この車輪付き剛体棒がすべらずに運動するとき，剛体棒は車輪と路面間の摩擦力を介して加速，減速する。重力加速度の大きさを とする。空気抵抗は無視してよい。
I まず，剛体棒が水平面上で等加速度直線運動をする場合を考える。図 1-1 のように，剛体棒が進行方向に加速するとき，車輪と路面の間ですべらずに加速することができる加速度の大きさの最大値を求めよ。
II 次に，図 1-2 のように剛体棒が水平な路面上で円運動をする場合を考える。図 1-3 は，図 1-2 中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。円運動の中心軸から車輪と路面の接触点までの水平距離を とする。ここで， であり，剛体棒が傾くことによる重心の円運動軌道の半径の変化は無視してよい。また，簡単のため剛体棒の進行方向への傾きは考えなくてよい。
(1) 図 1-3 において，剛体棒と水平面がなす角を とする。剛体棒が速さ で等速円運動をしている場合の を ，， のうち必要なものを用いて表せ。
(2) 前問 II(1) において，剛体棒がすべらずに等速円運動をすることができる速さの最大値を とする。 を求めよ。
(3) 速さ で等速円運動をしている状態から，半径 を保ったまま，剛体棒を進行方向に一定の加速度の大きさ でごく短時間のあいだ加速させる。このとき，車輪と路面の間にはたらく静止摩擦力の大きさを求めよ。ただし，車輪と路面間にすべりは生じていないものとする。
(4) 前問 II(3) において，剛体棒がすべることなく加速できる の最大値を求めよ。
III 最後に，図 1-4 のように剛体棒がすりばち状の路面上を円運動する場合を考える。図 1-5 は，図 1-4 中の剛体棒を進行方向の真後ろから見た図である。路面と水平面のなす角を とする。また，設問 II と同様に円運動の中心軸から剛体棒と路面の接触点までの水平距離を とする。 であり，剛体棒が傾くことによる重心の円運動軌道の半径の変化は無視してよい。また，簡単のため剛体棒の進行方向への傾きは考えなくてよい。
(1) 図 1-5 において，剛体棒と水平面がなす角を とする。剛体棒が速さ で等速円運動をしている場合の を ，，， のうち必要なものを用いて表せ。
(2) 剛体棒がすべらずに等速円運動をすることができる速さの最大値を とする。 を求めよ。ただし， とする。
(3) 高速道路のカーブや競輪のコースでは，外側が高くなるように勾配がついている。この理由について，設問 II(2) および III(2) の結果にもとづいて簡潔に述べよ。
一輪車と搭乗者をまとめて 1 本の剛体棒とみなします。長さ 、質量 で太さも密度も一様なので、重心は棒のまん中、接地点から のところにあります。
車輪には質量がありません。動力は内蔵されていますが、それは内部の力です。外からはたらくのは重力と、路面が返す垂直抗力と摩擦力の 3 つだけです。
路面が返す 2 つは、大きさのない 1 点にはたらきます。この 2 つを合わせた 1 本の矢印が、これから先のすべてを決めます。
棒は倒れも起き上がりもせず、傾いた角を保ったまま動きます。角速度が変わらないので、重心のまわりのモーメントの和は です。
重力は重心にはたらくので腕を持ちません。残るのは接地点の力だけなので、モーメントが になるには、その合力が重心を通るしかありません。棒は合力の向きへまっすぐ傾きます。
水平面をまっすぐ、大きさ で加速します。重心の上下の加速度は なので、縦のつり合いから です。
横は運動方程式そのままで です。前へ押しているのは摩擦力だけで、動力はその摩擦力を生むために車輪を回しています。
合力は横が 、縦が です。これが重心を通るので、棒は鉛直から前へ、 が になる角だけ傾きます。速く加速するほど深く前傾します。
すべらない条件は 、つまり です。両辺から が消えて となります。
加速度の最大値は で、これが I の答えです。棒の前傾も が の角で頭打ちになります。
真後ろから見た図です。重心は半径 の水平な円をまわるので、加速度は中心へ向かう だけです。
縦は 、横は です。まっすぐ走るときに前へ押していた摩擦力が、ここでは向心力の役をしています。
合力は横が 、縦が です。中心を向いて上がる向きなので、棒は内側へ傾きます。
水平面とのなす角 は、この合力の縦と横の比です。 が II(1) の答えです。
という断りは、棒が傾いても重心の円の半径は のままとみなせる、という意味です。傾きが半径を変えないので、 と を切り離して扱えます。
摩擦力には という上限があります。 なので、横へ出せる力は までです。
必要な向心力は で、速さの 2 乗で増えます。これが を超えると外へすべり出します。
から が II(2) の答えです。質量は消え、半径と摩擦係数だけで決まります。
このとき合力が鉛直となす角は が の角です。棒の傾きも で止まり、それ以上は寝かせられません。
直線加速の上限 と同じ が同じところに出てきます。どちらも合力を鉛直から一定の角より寝かせられない、という 1 つの条件です。
真上から見た図です。半径 を保ったまま、進行方向へ大きさ で加速させます。
加速度は 2 つの成分を持ちます。中心へ向かう と、進行方向の です。この 2 つは直交します。
水平にはたらく外力は摩擦力しかないので、摩擦力はこの合成加速度に を掛けたものそのものです。
が II(3) の答えです。縦は変わらず のままです。
「ごく短時間」とあるのは、 がまだ増えていない瞬間だけを見ればよい、という断りです。
摩擦力の先端が動ける範囲は、半径 の円の内側です。向きは問われないので、円のどこを向いていてもかまいません。
向心の成分は に決まっています。円の半径のうちこの分は使われていて、残った幅だけが接線方向に使えます。
限界は円のふちに届くところで、 です。 の最大値は で、これが II(4) の答えです。
を入れると に戻り、まっすぐ加速する場合と一致します。 を まで上げると になり、曲がるだけで精一杯になります。
曲がりながら加速できる余地は、速く回るほど狭くなります。
すりばち状の路面に移ります。路面は外側が高く、水平面と角 をなします。
垂直抗力は路面に垂直なので、鉛直から内側へ だけ倒れます。摩擦力は路面に沿う向きになります。2 つとも向きが変わります。
ところが重心の運動は前と同じです。加速度は中心へ 、上下は なので、合力は横が 、縦が のままです。
合力が変わらないので、棒の傾きも変わりません。 が III(1) の答えで、 は入りません。
路面をどう傾けても棒は同じ角で立ちます。変わるのは、同じ合力を垂直抗力と摩擦力にどう振り分けるかだけです。
路面に垂直な向きと沿う向きに分けます。垂直抗力は です。
速いほど が増えるのが効きます。外へすべらせようとする力が増えると同時に、押さえつける力も増えるからです。
路面に沿って外へ引く力は です。これが に届くところが限界になります。
解くと が III(2) の答えです。
但し書きの は分母が正であるための条件です。これを超えると分母が 以下になり、どんなに速くてもすべらなくなって上限そのものがなくなります。
を の式に入れると 、つまり に戻ります。水平な路面は、同じ式の の場合でした。
差を取ると です。 で なら、これはいつも正です。
外側を高くすると、同じ半径・同じ摩擦係数でも、すべらずに回れる速さの上限が上がります。これが III(3) の答えです。
垂直抗力が内側へ倒れ、その水平成分が向心力の一部を担うからです。摩擦だけに頼らずに済むぶんだけ余裕が生まれます。
高速道路のカーブや競輪のコースが外側を高くしているのは、これが理由です。路面が濡れて が下がっても、勾配のぶんは残ります。