力の合成と分解（平行四辺形、成分、斜面のつり合い）

力は大きさと向きの両方を持つ量です。$2$ つの力を足すときは、数値を足すだけでは足りない。

同じ点に働く $2$ つの力は、$1$ つの力で置き換えられます。置き換えたものを合力という。

逆に、$1$ つの力を $2$ つに分けることもできる。こちらを分解という。

同じ直線上に働く場合

向きがそろっていれば、大きさをそのまま足すだけです。

向きが逆なら、大きさの差をとって大きいほうの向きにする。正負の符号を決めてから足せば、どちらも同じ計算で済む。

$$F=F_1+F_2$$

右向きを正、左向きを負にとれば、$8.0\mathrm{N}$ と $-3.0\mathrm{N}$ の和は $5.0\mathrm{N}$ になる。符号がそのまま向きを表す。

平行四辺形の法則

向きが違う場合は、$2$ つの力を隣り合う $2$ 辺とする平行四辺形を描きます。その対角線が合力になる。

矢印を継ぎ足す描き方でも同じ結果が出る。$1$ 本目の矢先に $2$ 本目の始点を置き、最初の始点から最後の矢先へ引いた矢印が合力。

平行四辺形の対角線と、継ぎ足した矢印は一致する。どちらで描いても構造は同じです。

合力の大きさを式で出す

$2$ 力のなす角を $\theta$ とすると、合力の大きさは余弦定理から求まります。

$$F=\sqrt{F_1^2+F_2^2+2F_1{F}_2\cos \theta }$$

$\theta =0$ のとき $\cos \theta =1$ で、根号の中が $(F_1+F_2{)}^2$ になる。単純な足し算に戻ります。

$\theta =180^{\circ }$ なら $\cos \theta =-1$ で、根号の中は $(F_1-F_2{)}^2$。差の絶対値になる。

例：直角に働く 2 力

$3.0\mathrm{N}$ と $4.0\mathrm{N}$ が直角に働いています。$\cos 90^{\circ }=0$ なので第 $3$ 項が消える。

$$F=\sqrt{3.0^2+4.0^2}=5.0\mathrm{N}$$

三平方の定理と同じ形です。直角の場合だけ、この簡単な形になる。

例：60 度で働く 2 力

どちらも $10\mathrm{N}$ で、なす角が $60$ 度の場合を計算します。$\cos 60^{\circ }=0.5$ を代入する。

$$F=\sqrt{100+100+2\times 100\times 0.5}=\sqrt{300}=17\mathrm{N}$$

単純に足した $20\mathrm{N}$ より小さくなります。角度が開くほど、合力は小さくなっていく。

成分に分けて足すほうが確実

力が $3$ つ以上あると、平行四辺形を重ねる作業が面倒になる。座標軸を決めて成分ごとに足すほうが早い。

大きさ $F$、$x$ 軸との角が $\alpha$ の力は、次の $2$ 成分に分かれる。

$$\begin{array}{rl}{F}_x& =F\cos \alpha \\ F_y& =F\sin \alpha \end{array}$$

すべての力について $x$ 成分どうし、$y$ 成分どうしを足します。最後に三平方の定理で大きさへ戻す。

$$F=\sqrt{{\left(\sum F_x\right)}^2+{\left(\sum F_y\right)}^2}$$

例：成分で合成する

$x$ 軸方向に $6.0\mathrm{N}$、$y$ 軸方向に $8.0\mathrm{N}$ が働いています。

$$F=\sqrt{6.0^2+8.0^2}=10\mathrm{N}$$

向きは $\tan \alpha =8.0/6.0$ から求まる。$\alpha$ はおよそ $53$ 度です。

力が何本あっても手順は変わらない。成分に落とし、足し、戻す。

分解は合成の逆

$1$ つの力を、指定した $2$ 方向の力に置き換える操作が分解です。分けた $2$ つを合成すると、もとの力に戻る。

分ける向きは自由に選べる。同じ力でも、選んだ $2$ 方向によって成分の値は変わる。

例：斜面上の重力を分ける

傾き $30$ 度の斜面に、$4.0\mathrm{kg}$ の物体を置きます。重力は $mg=39.2\mathrm{N}$ で真下を向く。

斜面に沿った向きと、斜面に垂直な向きへ分解する。

$$\begin{array}{rl}\text{斜面方向}& =mg\sin 30^{\circ }=19.6\mathrm{N}\\ \text{垂直方向}& =mg\cos 30^{\circ }=34\mathrm{N}\end{array}$$

斜面方向の成分が、物体を滑らせる力です。垂直方向の成分は垂直抗力と打ち消し合う。

角度が急になるほど $\sin \theta$ が大きくなり、滑らせる力が増える。同時に $\cos \theta$ が小さくなり、垂直抗力は減る。

つり合いは合力が 0

物体に働く力の合計が $0$ のとき、力がつり合っているといいます。

$$\sum \vec{F}=\vec{0}$$

成分で書けば、軸ごとに $0$ になるという条件になる。

$$\begin{array}{rl}\sum F_x& =0\\ \sum F_y& =0\end{array}$$

つり合っていても静止しているとは限りません。等速直線運動でも合力は $0$ になる。

つり合いと作用反作用は別

どちらも「大きさが等しく向きが逆の $2$ 力」に見えます。違いは、力が働く相手のほう。

机の上の本に働く重力と垂直抗力は、つり合いのほうです。同じ本に働いているので、合計して $0$ になる。

3 力のつり合いは三角形が閉じる

$3$ 力がつり合うとき、$3$ 本の矢印を継ぎ足していくと出発点に戻る。三角形が閉じる形になる。

言いかえると、どの $2$ 力の合力も、残り $1$ 力と大きさが等しく向きが逆です。この見方を使うと、図から比で解ける場合がある。

例：2 本の糸で吊るす

$10\mathrm{kg}$ の物体を、鉛直から左右に $30$ 度ずつ開いた $2$ 本の糸で吊るします。重力は $98\mathrm{N}$ です。

左右対称なので、水平方向の成分は自動的に打ち消し合う。鉛直方向だけを考えればよい。

$$2T\cos 30^{\circ }=98$$

$$T=\frac{98}{2\times 0.866}=57\mathrm{N}$$

$1$ 本あたり $57\mathrm{N}$ で、$2$ 本の合計は $114\mathrm{N}$。重力より大きくなります。

角度を開くほど張力は増える。真横に近づけると $\cos \theta$ が $0$ へ向かい、張力はいくらでも大きくなる。

例：斜面上で静止する物体

さきほどの斜面で、物体が動かずに止まっているとする。

斜面方向のつり合いから、静止摩擦力は $19.6\mathrm{N}$ です。滑らせようとする成分と、ちょうど同じ大きさになる。

垂直方向のつり合いから、垂直抗力は $34\mathrm{N}$ になります。重力の全体 $39.2\mathrm{N}$ より小さい。

斜面では垂直抗力が重力より小さくなる。この点が、水平面の場合と違うところです。

軸のとり方で計算量が変わる

軸をどちらへ向けても答えは同じです。ただし手間は変わる。

斜面の問題で水平と鉛直を軸にとると、垂直抗力も摩擦力も両方の軸に成分を持ちます。式が長くなる。

斜面に沿った向きを軸にとれば、垂直抗力は片方の軸だけに乗る。未知数が減り、式も短くなります。

未知の力が多い向きを軸にそろえる。これが軸選びの基本になる。