慣性モーメントが回転軸によって 4 倍変わる仕組み

質量 $M$、長さ $L$ の一様な棒があります。中心を通る軸のまわりでは $\frac{1}{12}M{L}^2$、端を通る軸のまわりでは $\frac{1}{3}M{L}^2$。ちょうど $4$ 倍です。

同じ棒なのに値が変わりました。質量は物体につく数ですが、慣性モーメントは軸を決めて初めて決まる数です。

回しにくさを表す量なので、どこを中心に回すかで答えが変わる。

軸からの距離が二乗で効く

軸から距離 $r$ の位置にある質点 $m$ の慣性モーメントは $m{r}^2$ です。物体は質点の集まりなので、足し上げます。

$$I=\sum _i{m}_i{r}_i^2$$

$r$ は軸からの垂直距離です。軸に沿った方向にどれだけ離れていても、値には入りません。

連続した物体では和が積分になります。

$$I=\int r^{2}dm$$

二乗で効くので、外側の質量が重く数えられる。質量を $2$ 倍にすれば $I$ も $2$ 倍ですが、半径を $2$ 倍にすれば $4$ 倍になります。

例：棒を積分で出す

線密度を $\lambda =M/L$ とします。中心から $x$ の位置にある微小部分の質量は $dm=\lambda dx$。

中心を通る軸なら、積分の範囲は $-L/2$ から $L/2$ です。

$$I={\int }_{-L/2}^{L/2}{x}^2\lambda dx=\lambda {\left[\frac{x^3}{3}\right]}_{-L/2}^{L/2}=\frac{1}{12}M{L}^2$$

端を通る軸なら、範囲が $0$ から $L$ に変わります。

$$I={\int }_0^L{x}^2\lambda dx=\frac{1}{3}M{L}^2$$

長さの半分しか動かしていないのに、値は $4$ 倍。端の側にある質量が、二乗のぶんだけ重く効いてくるためです。

平行軸の定理

重心を通る軸まわりの値 $I_G$ が分かっていれば、そこから距離 $d$ だけ離れた平行な軸まわりの値がすぐ出ます。

$$I=I_G+M{d}^2$$

棒で確かめます。$I_G=\frac{1}{12}M{L}^2$、端までの距離は $d=L/2$。

$$\frac{1}{12}M{L}^2+M{\left(\frac{L}{2}\right)}^2=\frac{1}{12}M{L}^2+\frac{1}{4}M{L}^2=\frac{1}{3}M{L}^2$$

積分で出した値と一致しました。軸を動かすたびに積分し直す必要がなくなります。

$d^2$ が足されるだけなので、重心を通る軸がいつも最小になる。同じ向きの軸のなかで、いちばん回しやすい位置が重心です。

直交軸の定理

平らな板に限ると、もう $1$ つ関係が使えます。板の面内に $x$ 軸と $y$ 軸、面に垂直に $z$ 軸をとると、次が成り立つ。

$$I_z=I_x+I_y$$

板の各点で $r^2=x^2+y^2$ が成り立つことから、そのまま出ます。

円板で使ってみます。中心を通る垂直軸まわりは $\frac{1}{2}M{R}^2$。対称性から $I_x=I_y$ なので、直径を軸にした値が求まる。

$$I_x=I_y=\frac{1}{4}M{R}^2$$

コインを面に垂直な軸で回すときと、直径を軸にして倒すように回すときとで、回しにくさが $2$ 倍違います。

代表的な値

どれも $M{R}^2$ か $M{L}^2$ に係数がついた形です。係数が大きいほど、質量が軸から遠くに置かれている。

円環だけが係数 $1$ です。質量がすべて半径 $R$ にあるので、$\sum m_i{r}_i^2=R^2\sum m_i=M{R}^2$ になる。ほかの形はこれより小さくなります。

回転半径

$I=M{k}^2$ となる長さ $k$ を回転半径といいます。全質量を軸から $k$ の距離に集めたのと同じ、という意味です。

$$k=\sqrt{\frac{I}{M}}$$

棒を中心軸で回すなら $k=L/(2\sqrt{3})\fallingdotseq 0.29L$。長さの $3$ 割ほどの位置に、全部の質量が集まっていると思ってよい。

中実球なら $k=\sqrt{2/5}R\fallingdotseq 0.63R$、円環なら $k=R$。形の違いを $1$ つの長さで比べられます。

回転の運動方程式

並進の $F=ma$ に対応するのが、次の式です。

$$\tau =I\alpha$$

$\tau$ は軸まわりの力のモーメント、$\alpha$ は角加速度。$m$ の位置に $I$ が、$a$ の位置に $\alpha$ が入るだけの置き換えです。

例：円板の縁を接線方向に引く

半径 $R$、質量 $M$ の円板が中心軸で自由に回るとします。縁に接線方向の力 $F$ を加えます。

うでの長さが $R$ なので $\tau =FR$。慣性モーメントは $\frac{1}{2}M{R}^2$ です。

$$\alpha =\frac{FR}{\frac{1}{2}M{R}^2}=\frac{2F}{MR}$$

半径が大きいほど角加速度は小さくなります。うでが伸びて $\tau$ が $R$ 倍になっても、$I$ は $R^2$ 倍になるためです。

いっぽう縁の加速度は $R\alpha =2F/M$ で、半径によりません。触っている点の動き出しやすさは、どんな大きさの円板でも同じになる。

例：地球の中身を慣性モーメントで測る

密度が一様な球なら $I=\frac{2}{5}M{R}^2$、係数は $0.4$ です。地球の実測値は $0.3307$。

$0.4$ より小さいということは、質量が中心寄りに偏っているということ。地球には鉄とニッケルの核があり、半径の $55\%$ ほどを占めています。

月の値が $0.4$ に近いのは、鉄の核が小さいためです。太陽の $0.070$ は、中心の密度が平均の $100$ 倍を超えることを表しています。

中まで掘らなくても、外から回転と重力を測るだけで内部の様子が分かる。慣性モーメントが「質量がどこに置かれているか」の量だからこそ使える方法です。

例：はずみ車にためる

回転の運動エネルギーは $K=\frac{1}{2}I{\omega }^2$ です。$I$ が大きく $\omega$ が高いほど多くためられます。

質量 $20\mathrm{kg}$、半径 $0.30\mathrm{m}$ の円板を毎分 $3000$ 回転させます。$I=\frac{1}{2}\times 20\times 0.30^2=0.90\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$、$\omega =314rad/s$。

$$K=\frac{1}{2}\times 0.90\times 314^2\fallingdotseq 4.4\times 10^4\mathrm{J}$$

$100\mathrm{kg}$ の物体を $45\mathrm{m}$ 持ち上げるだけのエネルギーです。$\omega$ が二乗で効くので、回転を速くするほうが質量を増やすより効きます。

極限で確かめる

内半径 $R_1$、外半径 $R_2$ の中空円筒は $I=\frac{1}{2}M(R_1^2+R_2^2)$ です。式を覚えたら、両端の場合で確かめます。

$R_1\to 0$ とすれば $\frac{1}{2}M{R}_2^2$ で、中実円柱の値。$R_1\to R_2$ とすれば $M{R}_2^2$ で、薄い円筒の値になります。

どちらも知っている値と一致しました。係数の $\frac{1}{2}$ を落としていたり、二乗を書き忘れていたりすると、この確かめで食い違います。

質量は物体につく数、慣性モーメントは物体と軸の組につく数。この違いを押さえておけば、値が変わるたびに迷わずに済みます。