慣性モーメントの求め方と回転の運動方程式

回転運動を理解するには、慣性モーメントという量が欠かせない。並進運動における質量に相当するもので、「回転のしにくさ」を数値化したものだ。ここでは慣性モーメントの定義から具体的な求め方、そして回転の運動方程式までを整理する。

慣性モーメントとは

並進運動では、質量 $m$ が大きいほど加速しにくい。同じように回転運動でも、回転軸からの質量の分布によって回しやすさが変わる。この「回転における慣性」を定量化したのが慣性モーメント $I$ である。

並進運動

質量 $m$ が大きいほど力 $F$ に対して加速しにくい。運動方程式は $F = ma$ 。

回転運動

慣性モーメント $I$ が大きいほどトルク $τ$ に対して角加速度が小さくなる。運動方程式は $τ = I α$ 。

質点が回転軸から距離 $r$ の位置にあるとき、その質点の慣性モーメントは次のように定義される。

$I = m r^{2}$

複数の質点からなる系では、各質点の寄与を足し合わせればよい。

$I = i \sum m_{i} r_{i}^{2}$

ここで重要なのは、慣性モーメントが質量だけでなく回転軸からの距離の二乗に比例する点だ。同じ質量でも軸から遠い位置に分布していれば、慣性モーメントは大きくなる。フィギュアスケーターが腕を広げると回転が遅くなり、腕を縮めると速くなるのはこの原理による。

現実の物体は無数の微小質量の集まりと見なせる。このとき、和を積分に置き換えて計算する。

$I = \int r^{2} d m$

具体例として、質量 $M$ 、長さ $L$ の一様な棒の中心を通る軸まわりの慣性モーメントを求めてみよう。線密度を $λ = M / L$ とすると、軸からの距離 $x$ にある微小部分の質量は $d m = λ d x$ だから、

$I = \int_{- L /2}^{L /2} x^{2} λ d x = λ [\frac{x ^{3}}{3}]_{- L /2}^{L /2} = \frac{1}{12} M L^{2}$

となる。

よく出てくる物体の慣性モーメントをまとめておく。

物体	軸の位置	慣性モーメント
一様な棒（中心軸）	中心を通る垂直軸	$\frac{1}{12} M L^{2}$
一様な棒（端軸）	端を通る垂直軸	$\frac{1}{3} M L^{2}$

物体	軸の位置	慣性モーメント
円板（中心軸）	中心を通る垂直軸	$\frac{1}{2} M R^{2}$
円環（中心軸）	中心を通る垂直軸	$M R^{2}$

同じ棒でも、軸が中心か端かで値が大きく異なる。端を軸にした場合は質量が遠くに分布するため、慣性モーメントが大きくなるわけだ。

物体の重心を通る軸まわりの慣性モーメント $I_{G}$ がわかっていれば、そこから距離 $d$ だけ離れた平行な軸まわりの慣性モーメント $I$ を簡単に求められる。

$I = I_{G} + M d^{2}$

これが平行軸の定理である。先ほどの棒の例で確認しよう。中心軸まわりでは $I_{G} = \frac{1}{12} M L^{2}$ だった。端は中心から $d = L /2$ の距離にあるから、

$I = \frac{1}{12} M L^{2} + M (\frac{L}{2})^{2} = \frac{1}{12} M L^{2} + \frac{1}{4} M L^{2} = \frac{1}{3} M L^{2}$

と、端軸まわりの値と一致する。積分を繰り返さなくても軸の移動に対応できるため、実用上きわめて便利な定理だ。

並進運動における $F = ma$ に対応する回転運動の基本法則が、次の回転の運動方程式である。

$τ = I α$

ここで $τ$ は回転軸まわりのトルク（力のモーメント）、 $I$ は慣性モーメント、 $α$ は角加速度を表す。

トルクとは、回転軸からの距離 $r$ の位置に力 $F$ を加えたとき、 $τ = r F sin θ$ で定義される回転を生む力のモーメントのことである。

$θ$ は力の方向と位置ベクトルのなす角。腕の長さ×力の垂直成分とも解釈できる。

この方程式は並進運動との対応を考えると覚えやすい。

半径 $R$ 、質量 $M$ の円板が中心軸まわりに自由に回転できるとする。円板の縁に接線方向の力 $F$ を加えたとき、角加速度を求めてみよう。

円板の慣性モーメントは $I = \frac{1}{2} M R^{2}$ であり、トルクは $τ = FR$ （力が接線方向なので $sin θ = 1$ ）だから、

$α = \frac{τ}{I} = \frac{FR}{\frac{1}{2} M R ^{2}} = \frac{2 F}{MR}$

となる。同じ力でも半径が大きいほど角加速度は小さくなることがわかる。これは慣性モーメントが $R^{2}$ に比例して大きくなるためだ。

回転の運動方程式を使いこなすポイントは、まず対象の慣性モーメントを正しく求め、次にトルクを正確に計算することにある。この二つが揃えば、あとは $τ = I α$ に代入するだけで角加速度が得られ、回転運動の解析が可能になる。