慣性モーメントが回転軸によって 4 倍変わる仕組み

質量 $M$ 、長さ $L$ の一様な棒があります。中心を通る軸のまわりでは $\frac{1}{12} M L^{2}$ 、端を通る軸のまわりでは $\frac{1}{3} M L^{2}$ 。ちょうど $4$ 倍です。

同じ棒なのに値が変わりました。質量は物体につく数ですが、慣性モーメントは軸を決めて初めて決まる数です。

回しにくさを表す量なので、どこを中心に回すかで答えが変わる。

軸からの距離が二乗で効く

軸から距離 $r$ の位置にある質点 $m$ の慣性モーメントは $m r^{2}$ です。物体は質点の集まりなので、足し上げます。

$I = i \sum m_{i} r_{i}^{2}$

$r$ は軸からの垂直距離です。軸に沿った方向にどれだけ離れていても、値には入りません。

連続した物体では和が積分になります。

$I = \int r^{2} d m$

二乗で効くので、外側の質量が重く数えられる。質量を $2$ 倍にすれば $I$ も $2$ 倍ですが、半径を $2$ 倍にすれば $4$ 倍になります。

例：棒を積分で出す

線密度を $λ = M / L$ とします。中心から $x$ の位置にある微小部分の質量は $d m = λ d x$ 。

中心を通る軸なら、積分の範囲は $- L /2$ から $L /2$ です。

$I = \int_{- L /2}^{L /2} x^{2} λ d x = λ [\frac{x ^{3}}{3}]_{- L /2}^{L /2} = \frac{1}{12} M L^{2}$

端を通る軸なら、範囲が $0$ から $L$ に変わります。

$I = \int_{0}^{L} x^{2} λ d x = \frac{1}{3} M L^{2}$

長さの半分しか動かしていないのに、値は $4$ 倍。端の側にある質量が、二乗のぶんだけ重く効いてくるためです。

平行軸の定理

重心を通る軸まわりの値 $I_{G}$ が分かっていれば、そこから距離 $d$ だけ離れた平行な軸まわりの値がすぐ出ます。

$I = I_{G} + M d^{2}$

棒で確かめます。 $I_{G} = \frac{1}{12} M L^{2}$ 、端までの距離は $d = L /2$ 。

$\frac{1}{12} M L^{2} + M (\frac{L}{2})^{2} = \frac{1}{12} M L^{2} + \frac{1}{4} M L^{2} = \frac{1}{3} M L^{2}$

積分で出した値と一致しました。軸を動かすたびに積分し直す必要がなくなります。

$d^{2}$ が足されるだけなので、重心を通る軸がいつも最小になる。同じ向きの軸のなかで、いちばん回しやすい位置が重心です。

平行軸の定理で足すのは $M d^{2}$ で、もとの $I_{G}$ が何であっても同じ形です。物体の形はすべて $I_{G}$ に押しこめられている。

だから重心まわりの値さえ覚えておけば、平行な軸ならどこでも計算できる。

直交軸の定理

平らな板に限ると、もう $1$ つ関係が使えます。板の面内に $x$ 軸と $y$ 軸、面に垂直に $z$ 軸をとると、次が成り立つ。

$I_{z} = I_{x} + I_{y}$

板の各点で $r^{2} = x^{2} + y^{2}$ が成り立つことから、そのまま出ます。

円板で使ってみます。中心を通る垂直軸まわりは $\frac{1}{2} M R^{2}$ 。対称性から $I_{x} = I_{y}$ なので、直径を軸にした値が求まる。

$I_{x} = I_{y} = \frac{1}{4} M R^{2}$

コインを面に垂直な軸で回すときと、直径を軸にして倒すように回すときとで、回しにくさが $2$ 倍違います。

代表的な値

物体	軸	$I$
一様な棒	中心を通る垂直軸	$\frac{1}{12} M L^{2}$
一様な棒	端を通る垂直軸	$\frac{1}{3} M L^{2}$
円板・円柱	中心軸	$\frac{1}{2} M R^{2}$

物体	軸	$I$
円環・薄い円筒	中心軸	$M R^{2}$
中実球	直径	$\frac{2}{5} M R^{2}$
薄い球殻	直径	$\frac{2}{3} M R^{2}$

どれも $M R^{2}$ か $M L^{2}$ に係数がついた形です。係数が大きいほど、質量が軸から遠くに置かれている。

円環だけが係数 $1$ です。質量がすべて半径 $R$ にあるので、 $\sum m_{i} r_{i}^{2} = R^{2} \sum m_{i} = M R^{2}$ になる。ほかの形はこれより小さくなります。

回転半径

$I = M k^{2}$ となる長さ $k$ を回転半径といいます。全質量を軸から $k$ の距離に集めたのと同じ、という意味です。

$k = \frac{I}{M}$

棒を中心軸で回すなら $k = L / (23) ≒ 0.29 L$ 。長さの $3$ 割ほどの位置に、全部の質量が集まっていると思ってよい。

中実球なら $k = 2/5 R ≒ 0.63 R$ 、円環なら $k = R$ 。形の違いを $1$ つの長さで比べられます。

回転の運動方程式

並進の $F = ma$ に対応するのが、次の式です。

$τ = I α$

$τ$ は軸まわりの力のモーメント、 $α$ は角加速度。 $m$ の位置に $I$ が、 $a$ の位置に $α$ が入るだけの置き換えです。

並進運動

$F = ma$ 。動かしにくさは質量 $m$ で、物体につく $1$ つの数

回転運動

$τ = I α$ 。回しにくさは $I$ で、軸を決めるまで数が決まらない

例：円板の縁を接線方向に引く

半径 $R$ 、質量 $M$ の円板が中心軸で自由に回るとします。縁に接線方向の力 $F$ を加えます。

うでの長さが $R$ なので $τ = F R$ 。慣性モーメントは $\frac{1}{2} M R^{2}$ です。

$α = \frac{F R}{\frac{1}{2} M R ^{2}} = \frac{2 F}{M R}$

半径が大きいほど角加速度は小さくなります。うでが伸びて $τ$ が $R$ 倍になっても、 $I$ は $R^{2}$ 倍になるためです。

いっぽう縁の加速度は $R α = 2 F / M$ で、半径によりません。触っている点の動き出しやすさは、どんな大きさの円板でも同じになる。

例：地球の中身を慣性モーメントで測る

密度が一様な球なら $I = \frac{2}{5} M R^{2}$ 、係数は $0.4$ です。地球の実測値は $0.3307$ 。

$0.4$ より小さいということは、質量が中心寄りに偏っているということ。地球には鉄とニッケルの核があり、半径の $55 %$ ほどを占めています。

天体	$I / M R^{2}$	中心への偏り
一様な球	$0.400$	なし
月	$0.393$	ほとんどない
地球	$0.331$	鉄の核がある
太陽	$0.070$	極端に中心寄り

月の値が $0.4$ に近いのは、鉄の核が小さいためです。太陽の $0.070$ は、中心の密度が平均の $100$ 倍を超えることを表しています。

中まで掘らなくても、外から回転と重力を測るだけで内部の様子が分かる。慣性モーメントが「質量がどこに置かれているか」の量だからこそ使える方法です。

例：はずみ車にためる

回転の運動エネルギーは $K = \frac{1}{2} I ω^{2}$ です。 $I$ が大きく $ω$ が高いほど多くためられます。

質量 $20 kg$ 、半径 $0.30 m$ の円板を毎分 $3000$ 回転させます。 $I = \frac{1}{2} \times 20 \times 0.3 0^{2} = 0.90 kg \cdot m^{2}$ 、 $ω = 314 rad/s$ 。

$K = \frac{1}{2} \times 0.90 \times 31 4^{2} ≒ 4.4 \times 1 0^{4} J$

$100 kg$ の物体を $45 m$ 持ち上げるだけのエネルギーです。 $ω$ が二乗で効くので、回転を速くするほうが質量を増やすより効きます。

極限で確かめる

内半径 $R_{1}$ 、外半径 $R_{2}$ の中空円筒は $I = \frac{1}{2} M (R_{1}^{2} + R_{2}^{2})$ です。式を覚えたら、両端の場合で確かめます。

$R_{1} \to 0$ とすれば $\frac{1}{2} M R_{2}^{2}$ で、中実円柱の値。 $R_{1} \to R_{2}$ とすれば $M R_{2}^{2}$ で、薄い円筒の値になります。

どちらも知っている値と一致しました。係数の $\frac{1}{2}$ を落としていたり、二乗を書き忘れていたりすると、この確かめで食い違います。

コインを中心の垂直軸で回すときと、直径を軸にして倒すように回すときで、慣性モーメントの比はいくつですか。

$2 : 1$
$1 : 1$
$1 : 2$

__RESULT__

直交軸の定理から $I_{z} = I_{x} + I_{y}$ で、対称性より $I_{x} = I_{y}$ 。 $I_{z} = \frac{1}{2} M R^{2}$ なので $I_{x} = \frac{1}{4} M R^{2}$ となり、比は $2 : 1$ です。

質量は物体につく数、慣性モーメントは物体と軸の組につく数。この違いを押さえておけば、値が変わるたびに迷わずに済みます。

長さ L の一様な棒は、中心を通る軸まわりで $\frac{1}{12}ML^2$、端を通る軸まわりで $\frac{1}{3}ML^2$。軸を長さの半分ずらしただけで 4 倍です。質量は物体につく数ですが、慣性モーメントは物体と軸の組につく数。だから軸を決めるまで値が決まりません。積分での出し方、$Md^2$ を足すだけで軸を移せる平行軸の定理、コインの回しにくさが向きで 2 倍違う直交軸の定理、そして地球の値 0.331 が鉄の核を言い当てるところまで。