二体問題と換算質量：太陽の側もわずかに回っている

木星は太陽のまわりを回っている、と言います。正確には、太陽と木星が共通の重心のまわりを回っている。

その重心は太陽の中から少しはみ出しています。太陽の中心から約 $74$ 万 $\mathrm{km}$、太陽半径の $1.07$ 倍。表面の外側です。

太陽自身も、この点のまわりを秒速 $12.5\mathrm{m}$ ほどで回っています。この動きが、系外惑星を見つける手がかりになりました。

2 体の運動方程式はからみ合っている

質量 $m_1$ と $m_2$ の $2$ 物体が万有引力で引き合っているとします。位置を ${\vec{r}}_1$、${\vec{r}}_2$ として、方程式は $2$ 本立ちます。

$$m_1{\ddot{\vec{r}}}_1=-G\frac{m_1{m}_2}{r^3}({\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2)$$

右辺に相手の位置が入っているので、片方だけでは解けません。$3$ 次元なら変数は $6$ つ。

ところが座標のとり方を変えるだけで、この連立がきれいにほどけます^[1]。

重心と相対位置に分ける

新しい座標を $2$ つ用意します。重心の位置 $\vec{R}$ と、相手から見た位置 $\vec{r}$ です^[2]。

$$\begin{array}{rl}\vec{R}& =\frac{m_1{\vec{r}}_1+m_2{\vec{r}}_2}{m_1+m_2}\\ \vec{r}& ={\vec{r}}_1-{\vec{r}}_2\end{array}$$

もとの $2$ 本を足すと、内力どうしが打ち消し合って重心の式が出ます。

$$(m_1+m_2)\ddot{\vec{R}}=\vec{0}$$

外力がなければ重心は等速直線運動をします。解く前から答えが出ている。実質的に残るのは相対運動だけです。

換算質量

$2$ 本の式をそれぞれの質量で割って引き算すると、相対位置についての式が $1$ 本出ます^[1]。

$$\mu \ddot{\vec{r}}=-G\frac{m_1{m}_2}{r^3}\vec{r}$$

前に出てきた $\mu$ が換算質量です。

$$\mu =\frac{m_1{m}_2}{m_1+m_2},\frac{1}{\mu }=\frac{1}{m_1}+\frac{1}{m_2}$$

逆数どうしを足す形は、並列につないだ抵抗の合成と同じです。だから $\mu$ は $m_1$ と $m_2$ のどちらよりも小さくなる^[1]。

$m_1\gg m_2$ のときは $\mu \fallingdotseq m_2$。太陽と地球なら、$\mu$ は地球の質量から $100$ 万分の $3$ ほど小さいだけです。

$2$ 体の問題が $1$ 体の問題に化けました。あとは中心力の下での運動を解けばよい。

重心から見た 2 つの軌道

重心を原点にとると、それぞれの位置が相対位置だけで書けます。

$$\begin{array}{rl}{\vec{r}}_1& =\frac{m_2}{m_1+m_2}\vec{r}\\ {\vec{r}}_2& =-\frac{m_1}{m_1+m_2}\vec{r}\end{array}$$

両方とも同じ形の軌道を描き、大きさの比が質量の逆比になります。重いほうが小さく回る。

向きは常に反対です。片方が重心の左にいるとき、もう片方は必ず右にいる。

例：太陽と木星の共通重心

太陽の質量は木星の $1047$ 倍、平均距離は $5.20$ 天文単位、つまり $7.78\times 10^8\mathrm{km}$ です。

重心は太陽の中心から次の距離にあります。

$$\frac{7.78\times 10^8}{1048}\fallingdotseq 7.42\times 10^5\mathrm{km}$$

太陽の半径が $6.96\times 10^5\mathrm{km}$ なので、重心は表面より $4.6$ 万 $\mathrm{km}$ ほど外側。太陽は自分の外側にある点のまわりを回っています。

木星の公転周期 $11.86$ 年でこの円を一周すると、太陽の速さは秒速 $12.5\mathrm{m}$ ほど。人が全力で走るくらいの速さです^[3]。

例：地球と月

地球の質量は月の $81.3$ 倍、距離は $3.84\times 10^5\mathrm{km}$ です。

$$\frac{3.84\times 10^5}{82.3}\fallingdotseq 4670\mathrm{km}$$

地球の半径 $6370\mathrm{km}$ の内側に収まりました。地球は自分の中にある点のまわりを、ひと月かけて小さく回っています。

太陽と地球なら重心は太陽の中心から $449\mathrm{km}$。太陽半径の $1500$ 分の $1$ ほどで、ほとんど中心と変わりません。

ケプラーの第三法則の正しい形

高校で習う $T^2\propto a^3$ は、中心の天体が圧倒的に重いという近似の上に立っています。$2$ 体で正しく解くと、次の形が出ます^[1]。

$$T^2=\frac{4{\pi }^2}{G(m_1+m_2)}{a}^3$$

$a$ は相対軌道の長半径です。分母に $m_1+m_2$ が入っているので、惑星の質量が無視できない場合はずれが出る。

木星で見積もります。$m_2/m_1=1/1047$ なので、周期は近似の値より $\frac{1}{2}\times \frac{1}{1047}\fallingdotseq 0.048\%$ だけ短くなる。

$11.86$ 年に対して $2$ 日ほどの差です。望遠鏡の時代には十分見える大きさでした。

連星ではこの式が逆向きに使われます。周期と軌道の大きさを測れば、$m_1+m_2$ が出る。恒星の質量を知る数少ない直接の方法です。

例：ふらつきから系外惑星を見つける

星が重心のまわりを回っていると、こちらへ近づいたり遠ざかったりします。スペクトル線がわずかに青や赤へずれる^[3]。

太陽を外から見れば、木星のせいで秒速 $12.5\mathrm{m}$ の往復が $11.86$ 年周期で見えるはず。地球のせいで生じる往復は秒速 $0.09\mathrm{m}$ ほどで、こちらは今も捕まえにくい大きさです。

$1995$ 年、マイヨールとケローがペガスス座 $51$ 番星でこの往復をとらえました^[1]。周期は $4.2$ 日、軌道半径は $0.05$ 天文単位ほど。木星ほどの質量の惑星が、水星よりはるかに内側を回っていました。

この方法で分かるのは $m_2\sin i$ という組み合わせです。軌道を真横から見ていない場合、傾きのぶんだけ質量を小さく見積もることになります。

例：水素原子でも同じ換算が要る

換算質量は重力に限りません。クーロン力で引き合う電子と陽子でも、同じ形の分離が使えます。

電子の質量を $m$、陽子の質量を $M$ として、$\mu =mM/(m+M)$。陽子は電子の $1836$ 倍なので $\mu \fallingdotseq 0.99946m$ です。

リュードベリ定数にはこの $\mu$ が入るので、原子核の質量が違えばスペクトル線の位置も変わります^[4]。

重水素は原子核が陽子の約 $2$ 倍。$\mu$ が $0.99973m$ になり、波長が $0.027\%$ ほど短くなります。$\mathrm{H}\alpha$ 線の $6563\mathring{\mathrm{A}}$ なら $1.8\mathring{\mathrm{A}}$ のずれ。

$1931$ 年に重水素が見つかったのは、まさにこのずれを分光器で捕まえたからです。$2$ 体を $1$ 体に読み替える計算が、新しい同位体の発見につながりました。

$2$ 体を換算質量の $1$ 体に読み替える。この置き換えは万有引力でもクーロン力でも、二原子分子の振動でも同じように効きます。相互作用が相対位置だけで決まるなら、いつでも使える手です。

参考