二体問題と換算質量：太陽の側もわずかに回っている

木星は太陽のまわりを回っている、と言います。正確には、太陽と木星が共通の重心のまわりを回っている。

その重心は太陽の中から少しはみ出しています。太陽の中心から約 $74$ 万 $km$ 、太陽半径の $1.07$ 倍。表面の外側です。

太陽自身も、この点のまわりを秒速 $12.5 m$ ほどで回っています。この動きが、系外惑星を見つける手がかりになりました。

2 体の運動方程式はからみ合っている

質量 $m_{1}$ と $m_{2}$ の $2$ 物体が万有引力で引き合っているとします。位置を $r_{1}$ 、 $r_{2}$ として、方程式は $2$ 本立ちます。

$m_{1} \ddot{r}_{1} = - G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{3}} (r_{1} - r_{2})$

右辺に相手の位置が入っているので、片方だけでは解けません。 $3$ 次元なら変数は $6$ つ。

ところが座標のとり方を変えるだけで、この連立がきれいにほどけます^[1]。

重心と相対位置に分ける

新しい座標を $2$ つ用意します。重心の位置 $R$ と、相手から見た位置 $r$ です^[2]。

$R r = \frac{m _{1} r _{1} + m _{2} r _{2}}{m _{1} + m _{2}} = r_{1} - r_{2}$

もとの $2$ 本を足すと、内力どうしが打ち消し合って重心の式が出ます。

$(m_{1} + m_{2}) \ddot{R} = 0$

外力がなければ重心は等速直線運動をします。解く前から答えが出ている。実質的に残るのは相対運動だけです。

換算質量

$2$ 本の式をそれぞれの質量で割って引き算すると、相対位置についての式が $1$ 本出ます^[1]。

$μ \ddot{r} = - G \frac{m _{1} m _{2}}{r ^{3}} r$

前に出てきた $μ$ が換算質量です。

$μ = \frac{m _{1} m _{2}}{m _{1} + m _{2}}, \frac{1}{μ} = \frac{1}{m _{1}} + \frac{1}{m _{2}}$

逆数どうしを足す形は、並列につないだ抵抗の合成と同じです。だから $μ$ は $m_{1}$ と $m_{2}$ のどちらよりも小さくなる^[1]。

$m_{1} ≫ m_{2}$ のときは $μ ≒ m_{2}$ 。太陽と地球なら、 $μ$ は地球の質量から $100$ 万分の $3$ ほど小さいだけです。

もとの二体問題

方程式が 2 本、変数が 6 つ。たがいの位置が右辺に入っていて別々には解けない

分けたあとの問題

重心は等速直線運動で片づく。残るのは換算質量 $μ$ を持つ 1 質点の中心力の問題

$2$ 体の問題が $1$ 体の問題に化けました。あとは中心力の下での運動を解けばよい。

重心から見た 2 つの軌道

重心を原点にとると、それぞれの位置が相対位置だけで書けます。

$r_{1} r_{2} = \frac{m _{2}}{m _{1} + m _{2}} r = - \frac{m _{1}}{m _{1} + m _{2}} r$

両方とも同じ形の軌道を描き、大きさの比が質量の逆比になります。重いほうが小さく回る。

向きは常に反対です。片方が重心の左にいるとき、もう片方は必ず右にいる。

例：太陽と木星の共通重心

太陽の質量は木星の $1047$ 倍、平均距離は $5.20$ 天文単位、つまり $7.78 \times 1 0^{8} km$ です。

重心は太陽の中心から次の距離にあります。

$\frac{7.78 \times 1 0 ^{8}}{1048} ≒ 7.42 \times 1 0^{5} km$

太陽の半径が $6.96 \times 1 0^{5} km$ なので、重心は表面より $4.6$ 万 $km$ ほど外側。太陽は自分の外側にある点のまわりを回っています。

木星の公転周期 $11.86$ 年でこの円を一周すると、太陽の速さは秒速 $12.5 m$ ほど。人が全力で走るくらいの速さです^[3]。

例：地球と月

地球の質量は月の $81.3$ 倍、距離は $3.84 \times 1 0^{5} km$ です。

$\frac{3.84 \times 1 0 ^{5}}{82.3} ≒ 4670 km$

地球の半径 $6370 km$ の内側に収まりました。地球は自分の中にある点のまわりを、ひと月かけて小さく回っています。

太陽と地球なら重心は太陽の中心から $449 km$ 。太陽半径の $1500$ 分の $1$ ほどで、ほとんど中心と変わりません。

重心が中に入る組み合わせ

地球と月、太陽と地球。軽いほうがほぼ一方的に回っているように見える

重心が外に出る組み合わせ

太陽と木星、質量の近い連星。どちらの軌道も望遠鏡で見える大きさになる

ケプラーの第三法則の正しい形

高校で習う $T^{2} \propto a^{3}$ は、中心の天体が圧倒的に重いという近似の上に立っています。 $2$ 体で正しく解くと、次の形が出ます^[1]。

$T^{2} = \frac{4 π ^{2}}{G ( m _{1} + m _{2} )} a^{3}$

$a$ は相対軌道の長半径です。分母に $m_{1} + m_{2}$ が入っているので、惑星の質量が無視できない場合はずれが出る。

木星で見積もります。 $m_{2} / m_{1} = 1/1047$ なので、周期は近似の値より $\frac{1}{2} \times \frac{1}{1047} ≒ 0.048 %$ だけ短くなる。

$11.86$ 年に対して $2$ 日ほどの差です。望遠鏡の時代には十分見える大きさでした。

連星ではこの式が逆向きに使われます。周期と軌道の大きさを測れば、 $m_{1} + m_{2}$ が出る。恒星の質量を知る数少ない直接の方法です。

連星の観測から出るのは、まず質量の和です。個々の質量は、 $2$ つの軌道の大きさの比を測って初めて分かれる。

比は質量の逆比なので、和と比がそろえば $m_{1}$ と $m_{2}$ が決まる。片方しか見えない場合は和までで止まる。

例：ふらつきから系外惑星を見つける

星が重心のまわりを回っていると、こちらへ近づいたり遠ざかったりします。スペクトル線がわずかに青や赤へずれる^[3]。

太陽を外から見れば、木星のせいで秒速 $12.5 m$ の往復が $11.86$ 年周期で見えるはず。地球のせいで生じる往復は秒速 $0.09 m$ ほどで、こちらは今も捕まえにくい大きさです。

$1995$ 年、マイヨールとケローがペガスス座 $51$ 番星でこの往復をとらえました^[1]。周期は $4.2$ 日、軌道半径は $0.05$ 天文単位ほど。木星ほどの質量の惑星が、水星よりはるかに内側を回っていました。

惑星が星を引く

星も共通重心のまわりを回る

視線方向の速度が周期的に変わる

スペクトル線のずれとして見える

この方法で分かるのは $m_{2} sin i$ という組み合わせです。軌道を真横から見ていない場合、傾きのぶんだけ質量を小さく見積もることになります。

例：水素原子でも同じ換算が要る

換算質量は重力に限りません。クーロン力で引き合う電子と陽子でも、同じ形の分離が使えます。

電子の質量を $m$ 、陽子の質量を $M$ として、 $μ = m M / (m + M)$ 。陽子は電子の $1836$ 倍なので $μ ≒ 0.99946 m$ です。

リュードベリ定数にはこの $μ$ が入るので、原子核の質量が違えばスペクトル線の位置も変わります^[4]。

重水素は原子核が陽子の約 $2$ 倍。 $μ$ が $0.99973 m$ になり、波長が $0.027 %$ ほど短くなります。 $H α$ 線の $6563 \overset{˚}{A}$ なら $1.8 \overset{˚}{A}$ のずれ。

$1931$ 年に重水素が見つかったのは、まさにこのずれを分光器で捕まえたからです。 $2$ 体を $1$ 体に読み替える計算が、新しい同位体の発見につながりました。

質量 $m_{1}$ が $m_{2}$ の $3$ 倍のとき、共通重心のまわりを回る $2$ つの軌道の半径の比はいくつですか。

$3 : 1$
$1 : 3$
$1 : 1$

__RESULT__

重心の定義から $m_{1} r_{1} = m_{2} r_{2}$ なので、半径の比は質量の逆比になります。重い $m_{1}$ のほうが $\frac{1}{3}$ の小さな円を描く。

$2$ 体を換算質量の $1$ 体に読み替える。この置き換えは万有引力でもクーロン力でも、二原子分子の振動でも同じように効きます。相互作用が相対位置だけで決まるなら、いつでも使える手です。

参考

Problème à deux corps. Femto-Physique, cours de mécanique classique.

Bernhard Schnizer. *Systeme von Massenpunkten*. Analytische Mechanik, Institut für Theoretische Physik, TU Graz.

21.4 Planets beyond the Solar System: Search and Discovery. Astronomy 2e, OpenStax.

Jeremy Tatum. *7.19: Isotope effects*/07:_Atomic_Spectroscopy/7.19:_Isotope_effects). Stellar Atmospheres, University of Victoria / Physics LibreTexts.

太陽と木星の共通重心は、太陽の中心から 74 万 km。太陽半径の 1.07 倍なので、表面の外にあります。太陽はその点を秒速 12.5 m で回っている。座標を重心と相対位置にとり直すと、連立していた 2 本の式が「等速直線運動をする重心」と「換算質量 $\mu$ を持つ 1 質点の中心力の問題」に分かれます。ケプラーの第三法則に $m_1+m_2$ が入る形、視線速度で系外惑星が見つかるしくみ、同じ換算が水素と重水素のスペクトルを分けるところまで。