垂直抗力と束縛条件は解いてはじめて値が決まる

重力は問題を読んだ時点で $mg$ と書けます。ばねの力も $kx$ と書ける。ところが垂直抗力だけは、式を解き終わるまで値が決まりません。

$N=mg\cos \theta$ は法則ではなく、解いた結果です。同じ物体を同じ斜面に置いても、斜面ごと加速させれば $N$ は変わります。

決まらないほうの力を拘束力と呼び、その値を決めているのが束縛条件です。

束縛条件は動ける範囲を狭める

斜面に置いた物体は斜面から離れません。糸でつないだおもりは糸の長さより遠くへ行けない。こうした制限を束縛条件といいます^[3]。

座標のあいだの関係式として書けます。半径 $R$ の球面に閉じこめられた質点なら、次の式がいつでも成り立つ。

$$x^2+y^2+z^2=R^2$$

$3$ つの座標のうち独立なものは $2$ つに減ります。条件が $1$ 本増えるごとに、自由度が $1$ ずつ落ちる^[3]。

自由度は、位置を言い当てるのに要る変数の個数です。レールの上のビーズなら、レールに沿った長さ $1$ つで場所が決まります。

拘束力は必要なだけ出る

束縛条件を実現するために現れる力が拘束力です。斜面なら垂直抗力、糸なら張力がこれにあたります。

重力やばねの力は、大きさが最初から決まっています。拘束力にはそういう決まりがなく、条件が破れないところまで大きくなる。

置いた物体が重ければ、床はそのぶん強く押し返します。乗せすぎて床が抜けるまで、押し返す力は要求どおりに出る。この受け身の性質が拘束力の特徴です。

例：なめらかな斜面の 2 つの意味

問題文の「なめらかな斜面」は、$2$ つのことを同時に言っています。

$1$ つは摩擦がないこと。拘束力は斜面に垂直な方向だけになり、斜面に沿った成分を持ちません。

もう $1$ つは物体が斜面から離れないこと。斜面に垂直な方向の加速度が $0$ という条件で、ここから $N$ の値が出ます。

$$N=mg\cos \theta$$

この値は、斜面が止まっているという前提の上に立っています。台ごと水平に加速させると答えが変わる。

例：斜面ごと加速させる

傾き $\theta$ の台を水平に加速度 $A$ で動かします。物体が台の上で動かずにいるとき、物体を横向きに加速させているのは $N$ の水平成分だけです^[5]。

$$\begin{array}{rl}N\sin \theta & =mA\\ N\cos \theta & =mg\end{array}$$

$2$ 式を割り算すると $A=g\tan \theta$。このときの垂直抗力は次の値になります。

$$N=\frac{mg}{\cos \theta }$$

$\theta =30^{\circ }$ なら $N=1.15mg$ です。台を止めていたときの $0.87mg$ と比べて $1.3$ 倍。

同じ物体、同じ斜面、同じ重力。それでも $N$ が違う。垂直抗力が物体の性質でも斜面の性質でもないことが、この $2$ 例の差に出ています。

例：アトウッドの機械

滑車に糸をかけ、両端に $m_1=3.0\mathrm{kg}$ と $m_2=2.0\mathrm{kg}$ をつるします。糸が伸びないという束縛条件は、次の関係になる。

$$|a_1|=|a_2|=a$$

片方が下がった距離だけ、もう片方が上がる。これを時間で $2$ 回微分したものです。未知数が $1$ つ減ります。

$2$ 本の運動方程式と合わせて解くと、加速度と張力が同時に出ます。

$$\begin{array}{rl}a& =\frac{(m_1-m_2)g}{m_1+m_2}=\frac{1.0\times 9.8}{5.0}=1.96m/{\mathrm{s}}^2\\ T& =\frac{2m_1{m}_{2}g}{m_1+m_2}=\frac{2\times 6.0\times 9.8}{5.0}=23.5\mathrm{N}\end{array}$$

$T$ は $m_{2}g=19.6\mathrm{N}$ より大きく、$m_{1}g=29.4\mathrm{N}$ より小さい値に落ち着きました。どちらの重さとも一致しません。

張力を「重いほうの重さ」と決め打ちできないのは、これが拘束力だからです。連立を解いた結果としてしか出てこない。

拘束力は仕事をしない

斜面の垂直抗力は斜面に垂直、物体の変位は斜面に沿っています。力と変位が直角なので、仕事は $0$ です^[3]。

糸の張力も同じで、糸に沿った長さが変わらないかぎり仕事をしません。滑車の両側で、片方がされる仕事ともう片方がする仕事がちょうど打ち消し合う。

だから拘束のある系でも力学的エネルギーが保存します。摩擦のないなめらかな斜面でエネルギー保存が使えるのは、この性質のおかげです。

ダランベールの原理は、この「拘束力は仕事をしない」を出発点に置いた定式化です^[3]。

例：球面のてっぺんから滑り出す

半径 $R$ のなめらかな球面の頂上から、質点が静かに滑り出します。鉛直から角 $\theta$ まで下りたときの速さは、エネルギー保存から出ます。

$$v^2=2gR(1-\cos \theta )$$

球面に沿って動いているあいだ、中心向きの合力が円運動を支えます。

$$mg\cos \theta -N=\frac{m{v}^2}{R}$$

$v^2$ を代入して $N$ について解くと $N=mg(3\cos \theta -2)$。$\theta$ が大きくなるほど $N$ は小さくなります。

$$\cos \theta =\frac{2}{3},\theta \fallingdotseq 48^{\circ }$$

ここで $N=0$。これより先は球面が押し返す力を出せないので、質点は面を離れて放物運動に移ります。

拘束力が $0$ になる点が束縛の限界です。垂直抗力は押すことしかできず、引き戻すことはできない。片側だけの束縛だからです。

積分できない束縛もある

束縛条件が座標だけの式で書けるとき、その条件を使って変数を $1$ つ消せます。こういう条件をホロノミックと呼びます^[1]。

速度の関係でしか書けず、積分して座標の式に直せない条件もあります。まっすぐ転がる車輪なら $v=R\omega$ を積分して $x=R\phi$ になるので、こちらはホロノミック^[4]。

平面の上を自由に転がる球は違います。同じ場所へ戻ってきても、通った道すじによって向きが変わる^[1]。

$90^{\circ }$ ずつ $x$ 方向、$y$ 方向の順に転がした場合と、$y$、$x$ の順に転がした場合を比べます。位置は同じでも、北極の向きが一致しません。

位置と向きのあいだに $1$ 対 $1$ の関係がないので、条件を積分して座標の式にできない。自由度の数え方も、位置だけの場合とは変わってきます^[2]。

縦列駐車ができるのに、車が真横へ動けないのは同じ話です。行ける場所は減っていないのに、行き方が制限されている。

発展：拘束力を式から消す

束縛条件を満たす変数を最初から選べば、拘束力を書かずに済みます。斜面上の物体なら、斜面に沿った長さ $s$ を $1$ つとる。

この $s$ で運動方程式を立てると、垂直抗力は式に現れません。仕事をしない力なので、エネルギーで組み立てた式には出てこないためです^[3]。

こうしてとった変数を一般化座標といい、ラグランジュの方法の出発点になります。拘束力の値が要るときだけ、あとから別に計算する。

問題を解く順序が逆になります。まず動きを出し、必要なら拘束力をあとで求める。垂直抗力や張力が最後に決まるのは、そういう順序で世界が組まれているためです。

参考文献