等速円運動を支える「向心力」と遠心力

円周上を一定の速さで回る運動を等速円運動といいます。速さは変わらないのに、加速度がある運動。

速度はベクトルなので、向きが変われば速度も変わる。円を回る物体の速度は向きを変え続けるので、加速度が $0$ にならない。

速さと角速度

$1$ 秒あたりに進む弧の長さが速さ $v$、$1$ 秒あたりに回る角が角速度 $\omega$ です。角速度の単位は rad/s を使う。

半径 $r$ の円では、この $2$ つが次の関係で結ばれます。

$$v=r\omega$$

同じ角速度でも、外側にいるほど速い。回転する円盤の縁と中心近くで速さが違うのも、そのため。

周期と振動数

$1$ 周にかかる時間が周期 $T$ です。$1$ 周は $2\pi$ ラジアンなので、角速度と次のように結びつく。

$$\omega =\frac{2\pi }{T}$$

$1$ 秒あたりの回転数が振動数 $f$ で、周期の逆数になります。

$$T=\frac{2\pi r}{v}$$

こちらは $1$ 周の道のり $2\pi r$ を速さで割った形。同じことを別の量で書いたにすぎない。

例：角速度と周期を出す

半径 $0.50\mathrm{m}$ の円を、$2.0m/s$ で回る物体を考える。

$$\omega =\frac{2.0}{0.50}=4.0rad/s$$

$$T=\frac{2\pi \times 0.50}{2.0}=1.6\mathrm{s}$$

$1$ 周におよそ $1.6$ 秒かかります。振動数は $1/1.6$ でおよそ $0.64\mathrm{Hz}$。

向心加速度

等速円運動の加速度は、つねに円の中心を向きます。この加速度を向心加速度という。

$$a=\frac{v^2}{r}$$

速さの $2$ 乗に比例し、半径に反比例する。速さを $2$ 倍にすると、加速度は $4$ 倍になります。

半径を小さくしても加速度は増える。急なカーブほど体が振られるのは、半径が小さいからです。

角速度で書き直す

$v=r\omega$ を代入すると、別の形が出ます。

$$a=r{\omega }^2$$

周期を使う形もある。$\omega =2\pi /T$ を入れて整理する。

$$a=\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$$

$3$ つの式は同じ量を表しています。与えられた量に合わせて選べばよい。

例：向心加速度を出す

半径 $0.50\mathrm{m}$、速さ $2.0m/s$ の場合を計算する。

$$a=\frac{2.0^2}{0.50}=8.0m/{\mathrm{s}}^2$$

角速度の形でも確かめられる。$a=0.50\times 4.0^2=8.0m/{\mathrm{s}}^2$ で一致する。

重力加速度に近い値です。半径が小さく速さがあると、加速度はすぐ大きくなる。

向心力

運動方程式に向心加速度を入れれば、要る力が出ます。

$$F=m\frac{v^2}{r}$$

この力を向心力といいます。向きは加速度と同じで、つねに中心を向く。

$1.0\mathrm{kg}$ の物体を、半径 $0.50\mathrm{m}$ の円上で $2.0m/s$ で回すには $8.0\mathrm{N}$ が要ります。

向心力は力の種類の名前ではない

向心力という名前の力が別にあるわけではありません。中心を向いている力に付ける役割の名前。

正体は場面ごとに違う。糸なら張力、車なら摩擦力、惑星なら万有引力、電子なら電気の力。

力の図を描くときは、まず働いている力を書き出す。そのうち中心を向く成分の合計が向心力になる。

例：カーブを曲がる車

半径 $50\mathrm{m}$ のカーブを $20m/s$ で曲がる、$1200\mathrm{kg}$ の車を考える。

$$a=\frac{20^2}{50}=8.0m/{\mathrm{s}}^2$$

$$F=1200\times 8.0=9600\mathrm{N}$$

この力を摩擦がまかなえるかどうかが分かれ目です。最大の摩擦力は $\mu mg$ なので、条件は次のようになる。

$$\mu \ge \frac{v^2}{rg}=\frac{8.0}{9.8}=0.82$$

乾いた路面ならぎりぎり足りるものの、濡れた路面では届きません。速さを半分にすれば必要な係数は $4$ 分の $1$ になる。

遠心力は見かけの力

回る車の中にいると、外へ押される感じがします。この感覚のもとが遠心力。

慣性系から見れば、外向きの力は働いていません。体はまっすぐ進もうとしており、ドアのほうが内側へ寄ってきている。

見かけの力を持ち出さずに済ませたいときは、慣性系で考えればよい。どちらの立場でも、起きる現象そのものは変わりません。

鉛直面内の円運動

輪の内側を回るジェットコースターやバケツでは、最高点が問題になります。ここでは重力が中心を向いている。

最高点で必要な向心力は $m{v}^2/r$ です。重力 $mg$ だけでこれをまかなえれば、支えがなくても回り続ける。

$$mg\le m\frac{v^2}{r}⟹v\ge \sqrt{gr}$$

質量が消えます。回れるかどうかは速さと半径だけで決まる。

例：バケツの水がこぼれない速さ

腕を伸ばして半径 $1.0\mathrm{m}$ で水入りのバケツを回します。

$$v\ge \sqrt{9.8\times 1.0}=3.1m/s$$

最高点でこの速さを超えていれば、水は落ちてきません。$1$ 周にかけてよい時間は、およそ $2.0$ 秒までになる。

遅く回すとこぼれる。速さが足りないと、重力が向心力として大きすぎるためです。

向心力は仕事をしない

向心力は速度とつねに直角を向く。したがって仕事は $0$ になる。

速さが変わらない理由もそこにある。向きだけを変え続け、運動エネルギーには手を出さない。

速さも変える運動では、接線方向の力が別に要ります。等速円運動では、その成分が $0$ になっている。

等速円運動を横から見ると

等速円運動を真横から見ると、往復する運動に見えます。円の座標を $1$ 方向に射影した形である。

射影した位置は $r\cos (\omega t+\theta )$ で、単振動の式そのものです。角速度がそのまま角振動数にあたる。

向心加速度 $r{\omega }^2$ の射影が $-r{\omega }^2\cos (\omega t+\theta )$ になる。単振動で加速度が変位に比例する理由が、ここから見える。