ばねの単振動と力学的エネルギーの保存

ばね定数 $k$ のばねにつないだ質量 $m$ の物体を、つり合いの位置から $x$ だけずらします。ばねは元へ戻す向きに力を出し、大きさはずれに比例する。

$$F=-kx$$

負号は、力の向きが変位の向きと逆であることを表しています。右へずらせば左向き、左へずらせば右向き。

運動方程式 $ma=F$ に入れると、加速度と位置が直接つながる。

$$ma=-kx$$

加速度が変位に比例する運動

両辺を $m$ で割ると、この運動の性格がはっきりする。

$$a=-\frac{k}{m}x$$

加速度が変位に比例し、向きだけが逆。この形で動く運動を単振動といいます。

ばねに限った話ではありません。復元力が変位に比例する仕掛けなら、振り子でも浮きでも同じ式になる。単振動が力学のあちこちに顔を出す理由もそこにある。

解は余弦関数になる

$a=-\frac{k}{m}x$ は、$x$ とその $2$ 階微分を結ぶ微分方程式です。答えを当てはめて確かめる形で進めます。

$$x=A\cos (\omega t+\theta )$$

$1$ 回微分すると速度、もう $1$ 回微分すると加速度になる。

$$\begin{array}{rl}v& =-A\omega \sin (\omega t+\theta )\\ a& =-A{\omega }^2\cos (\omega t+\theta )\end{array}$$

右辺の $A\cos (\omega t+\theta )$ は $x$ そのものです。つまり $a=-{\omega }^{2}x$ が成り立つ。

運動方程式の $a=-\frac{k}{m}x$ と見比べると、$\omega$ が満たすべき条件が読めます。

$${\omega }^2=\frac{k}{m}$$

この $\omega$ を使えば、余弦関数は確かに解になる。逆に言えば、$\omega$ がこの値のときだけ解になります。

角振動数と周期

$\omega$ を角振動数といい、単位は rad/s です。ばねが硬いほど大きく、物体が重いほど小さくなる。

$$\omega =\sqrt{\frac{k}{m}}$$

余弦関数は $\omega t$ が $2\pi$ 増えるごとに同じ値へ戻る。$1$ 往復にかかる時間が周期 $T$ で、$\omega T=2\pi$ から求まる。

$$T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$$

$1$ 秒あたりの往復回数が振動数 $f$ です。周期の逆数として $f=1/T$、単位は Hz。

例：ばね定数と質量から周期を出す

$k=20N/m$ のばねに $m=0.50\mathrm{kg}$ をつないだ場合を計算します。

$$\omega =\sqrt{\frac{20}{0.50}}=\sqrt{40}=6.32rad/s$$

周期は $2\pi$ をこの値で割るだけ。

$$T=\frac{2\pi }{6.32}=0.99\mathrm{s}$$

振動数は $1/0.99$ でおよそ $1.0\mathrm{Hz}$。$1$ 秒に $1$ 往復する勘定です。

振幅は周期を変えない

$T$ の式に $A$ が入っていません。どれだけ大きくずらして離しても、$1$ 往復の時間は変わらない。これを等時性といいます。

厳密に成り立つのは復元力が変位にちょうど比例するときだけで、比例からずれると周期は振幅に依存しはじめる。

振幅と初期位相の決まり方

$A$ と $\theta$ は運動方程式からは決まりません。どこで手を離したか、そのとき速度があったか、という初期条件が決めます。

$t=0$ を代入すると、$2$ つの条件式が出る。

$$\begin{array}{rl}{x}_0& =A\cos \theta \\ v_0& =-A\omega \sin \theta \end{array}$$

静かに手を離した場合は $v_0=0$ なので $\theta =0$ です。式は $x=A\cos \omega t$ となり、$A$ は離した位置そのものになる。

つり合いの位置で弾いた場合は $x_0=0$ で、$\theta$ が $\pi /2$ に変わる。同じ運動を正弦関数で書いた形。

速度と加速度の最大値

$\sin$ と $\cos$ の絶対値は $1$ を超えません。そこから最大値がすぐ出る。

$$v_{\max }=A\omega ,a_{\max }=A{\omega }^2$$

速さが最大になるのはつり合いの位置を通るときで、そこでは加速度が $0$ です。逆に端では速度が $0$ になり、加速度が最大になる。

同時に最大にはならない。位置と速度は $4$ 分の $1$ 周期ずれ、位置と加速度は逆位相です。

例：最大の速さと加速度を出す

さきほどの $\omega =6.32rad/s$ のばねを、$A=0.10\mathrm{m}$ ずらして離します。

$$v_{\max }=0.10\times 6.32=0.63m/s$$

加速度のほうは $\omega$ の $2$ 乗が掛かるので、${\omega }^2=40$ をそのまま使える。

$$a_{\max }=0.10\times 40=4.0m/{\mathrm{s}}^2$$

重力加速度のおよそ $0.4$ 倍です。振幅を $2$ 倍にすれば、速さも加速度も $2$ 倍になる。

等速円運動を横から見た影

単振動は、等速円運動を真横から見た姿と一致する。半径 $A$ の円を角速度 $\omega$ で回る点を考える。

その点の $x$ 座標は $A\cos (\omega t+\theta )$ です。単振動の式そのもの。

円運動の速さ $A\omega$ を横から見た成分が $-A\omega \sin (\omega t+\theta )$、向心加速度 $A{\omega }^2$ の成分が $-A{\omega }^2\cos (\omega t+\theta )$。最大値の式が円の言葉でそのまま読めます。

角振動数という呼び名も、円運動の角速度から来ている。単位が rad/s である理由もここにある。

弾性エネルギー

ばねを $0$ から $x$ まで伸ばすのに要る仕事が、そのまま蓄えられるエネルギーになる。力は一定ではなく $kx$ で増えていくため、平均の $\frac{1}{2}kx$ に距離 $x$ を掛ける。

$$U=\frac{1}{2}k{x}^2$$

伸びても縮んでも $x$ が $2$ 乗されるので、値は正のまま。つり合いの位置で $0$、端で最大。

力学的エネルギーの保存

運動エネルギー $K=\frac{1}{2}m{v}^2$ を足したものが力学的エネルギーです。

$$E=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$$

摩擦や空気の抵抗がなければ、この $E$ は動いている間ずっと同じ値をとる。増えも減りもしません。

証明：E は時間で変わらない

$E$ を時間で微分して $0$ になることを見ます。$x$ の微分が $v$、$v$ の微分が $a$ である点を使う。

$$\begin{array}{rl}\frac{dE}{dt}& =kxv+mva\\ & =v(kx+ma)\end{array}$$

括弧の中は運動方程式 $ma=-kx$ を移項した形です。つまり $kx+ma=0$ となり、全体が $0$ になる。

$$\frac{dE}{dt}=0$$

途中で $x$ や $v$ の具体的な形を使っていません。運動方程式さえ成り立てばエネルギーは保存される。

例：振幅からエネルギーを出す

端では $v=0$ なので、$E$ は弾性エネルギーだけになります。$x=A$ を代入するだけで全エネルギーが出る。

$$E=\frac{1}{2}k{A}^2$$

$k=20N/m$、$A=0.10\mathrm{m}$ なら $E=0.10\mathrm{J}$ です。

つり合いの位置ではこれがすべて運動エネルギーに変わる。$\frac{1}{2}m{v}^2=0.10$ を解くと $v=0.63m/s$ となり、さきほどの $A\omega$ と一致する。

エネルギーは振幅の $2$ 乗に比例します。振れ幅を $2$ 倍にすると、必要なエネルギーは $4$ 倍になる。

途中の速さを位置から出す

$E$ が一定であることを使えば、任意の位置での速さが出せる。$\frac{1}{2}k{A}^2=\frac{1}{2}k{x}^2+\frac{1}{2}m{v}^2$ を $v$ について解く。

$$v=\pm \sqrt{\frac{k}{m}(A^2-x^2)}=\pm \omega \sqrt{A^2-x^2}$$

符号は進む向きです。$x=0$ で $\omega A$、$x=\pm A$ で $0$ になり、両端の値と合う。

時間を経由せずに速さが出る点が便利で、途中の位置を問う問題ではこちらのほうが早い。

鉛直につるしたばね

天井からつるした場合は重力が加わります。それでも周期は変わりません。

自然長から $d$ 伸びた位置でつり合うとすると、そこでは $kd=mg$ が成り立つ。このつり合いの位置を新しい原点にとり、そこからの変位を $x$ とします。

ばねの伸びは $d+x$ なので、物体に働く力は次のようになる。

$$F=mg-k(d+x)=-kx$$

重力の項がつり合いの分と打ち消し合い、横置きのときと同じ式が残る。したがって $\omega =\sqrt{k/m}$ のまま。

変わるのは振動の中心だけです。重力は中心を $d$ だけ下へずらすものの、周期にも角振動数にも触らない。

例：つるしたときの伸びから周期を出す

ばね定数がわからなくても、つるして伸びた長さから周期が出ます。$kd=mg$ より $k/m=g/d$ だからです。

$d=0.049\mathrm{m}$ 伸びた場合を計算する。

$$\omega =\sqrt{\frac{9.8}{0.049}}=\sqrt{200}=14.1rad/s$$

周期は $2\pi /14.1$ でおよそ $0.44\mathrm{s}$ です。質量もばね定数も測らずに済む。

単振り子が単振動に近い理由

長さ $L$ の糸につるしたおもりを角 $\theta$ だけ振ると、接線方向に $-mg\sin \theta$ の力が働きます。この $\sin$ が厄介で、そのままでは単振動にならない。

$\theta$ が小さいときは $\sin \theta$ が $\theta$ でよく近似できます。弧の長さ $x=L\theta$ を使うと、力が変位に比例する形に変わる。

$$F\approx -mg\theta =-\frac{mg}{L}x$$

$mg/L$ がばね定数の役をする。$\omega =\sqrt{g/L}$ となり、周期は質量によらない。

近似が効くのは振れ角が小さいときだけです。大きく振れば周期はわずかに伸び、等時性からずれていきます。