剛体のつり合いと力のモーメント（大きさだけでは決まらない）

車のハンドルを両手で回すとき、左手と右手は逆向きに同じ大きさの力を加えています。合力は $0$。それでもハンドルは回ります。

質点なら合力が $0$ で話が終わりました。大きさを持つ物体では、力がどこにはたらくかまで数えないと動きが決まりません。

その「どこに」を数値にしたものが力のモーメントです。

力のモーメント

回転の中心から力の作用線までの垂直距離を $d$ とします。力の大きさを $F$ として、モーメントは次の積です。

$$M=Fd$$

$d$ は「中心から力の作用点まで」ではなく「中心から作用線まで」の距離です。位置ベクトルと力のなす角を $\theta$ とすれば $M=rF\sin \theta$ とも書けます。

作用線が中心を通る力は $d=0$ なのでモーメントを持ちません。押しても回らない向き、というのがそれにあたる。

ドアの取っ手が蝶番から遠い側に付いているのは、$d$ を大きくとるためです。同じモーメントを小さな $F$ で出せる。

単位は $\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ です。エネルギーの $\mathrm{J}$ と次元は同じでも、別の量なので $\mathrm{J}$ とは書きません。力と変位が直角に交わっている点が違う。

つり合いには 2 本の条件が要る

剛体が静止したままでいるための条件は $2$ つです。

$$\sum \vec{F}=\vec{0},\sum M=0$$

$1$ 本目は重心が動き出さないための条件、$2$ 本目は回り出さないための条件。平面の問題なら、力の $x$ 成分と $y$ 成分、それにモーメントの合計 $3$ 本の式が立ちます。

未知数が $3$ つまでなら、この $3$ 本で解ける。はしごの問題も、はりの問題も、同じ組み立てです。

基準点はどこにとってもよい

モーメントを計算するには回転の中心を決めます。ここで迷わずに済む定理があります。

合力が $0$ の物体では、ある点のまわりでモーメントの合計が $0$ なら、どの点のまわりでも $0$ になります。

証明は $1$ 行です。基準を $\vec{R}$ だけずらしたときの合計を書き下します。

$$\sum ({\vec{r}}_k-\vec{R})\times {\vec{F}}_k=\sum {\vec{r}}_k\times {\vec{F}}_k-\vec{R}\times \sum {\vec{F}}_k$$

右の第 $2$ 項に $\sum {\vec{F}}_k=\vec{0}$ が入っているので消えます。残るのはもとの合計だけ。

つまり未知の力がいちばん多く集まる点を基準にとれば、その力がまとめて式から落ちます。壁に立てかけたはしごなら、床との接点をとる。

例：シーソーのつり合い

支点から左へ $2.0\mathrm{m}$ の位置に $40\mathrm{kg}$ の子どもが座ります。$60\mathrm{kg}$ の子どもは支点から何 $\mathrm{m}$ に座ればつり合うか。

支点まわりのモーメントを左右で等しく置きます。

$$40\times 9.8\times 2.0=60\times 9.8\times x$$

$g$ が両辺から消えるので、$40\times 2.0=60\times x$。

$$x=\frac{80}{60}\fallingdotseq 1.3\mathrm{m}$$

重い側が支点に近づく。質量の比と距離の比が逆になっている関係です。

例：壁に立てかけたはしご

長さ $5.0\mathrm{m}$、重さ $400\mathrm{N}$ の一様なはしごを、なめらかな壁に $53^{\circ }$ で立てかけます。

壁がなめらかなので、壁からの力 $F$ は水平だけ。床からは垂直抗力 $N$ と摩擦力 $f$ が来ます。

床との接点を基準にとると、$N$ と $f$ の作用線が基準を通るので式から消えます。残るのは重力と壁の力だけ。

$$-\frac{1}{2}\times 5.0\times 400\cos 53^{\circ }+5.0\times F\sin 53^{\circ }=0$$

$$F=\frac{400\cos 53^{\circ }}{2\sin 53^{\circ }}\fallingdotseq 151\mathrm{N}$$

水平方向のつり合いから $f=F=151\mathrm{N}$、鉛直方向から $N=400\mathrm{N}$ です。

滑らないために必要な静止摩擦係数は $\mu \ge 151/400=0.38$。これより滑りやすい床では、この角度で立てられません。

3 力なら 1 点で交わる

平行でない $3$ 力だけを受けてつり合う物体では、$3$ 本の作用線が必ず $1$ 点を通ります。

理由は基準点の自由から出ます。$2$ 本の作用線の交点を基準にとると、その $2$ 力のモーメントは $0$。残る $1$ 力のモーメントも $0$ でなければならないので、その作用線も同じ点を通る。

はしごの問題でいえば、重力の作用線と壁からの力の作用線を延ばした交点を、床からの反力の作用線も通ります。図を描いて確かめられる関係です。

偶力は基準点を選ばない

大きさが同じで向きが逆、作用線が重なっていない $2$ 力を偶力と呼びます。合力は $0$ です。

偶力のモーメントは $2$ 力の間隔 $d$ と大きさ $F$ の積 $Fd$ で、どの点を基準にとっても同じ値になります。回すはたらきだけが残る。

ハンドル、ドライバー、蛇口。両手や指で逆向きに押すものはたいてい偶力です。押し引きの合計が $0$ なので、物体は移動せず回転だけをする。

重心はモーメントが消える点

物体の各部分に重力がはたらいています。この分布した力を $1$ 本にまとめられる点が重心です。

$$x_G=\frac{m_1{x}_1+m_2{x}_2+\cdots }{m_1+m_2+\cdots }$$

重心まわりでは、重力によるモーメントの合計が $0$ になります。だからつり合いの式では、重さは重心の $1$ 点にかかっていると扱える。

一様な棒なら中央です。密度が場所によって違う物体では、重い側へ寄ります。

立っていられる範囲

台の上に置いた物体を少しずつ傾けていくと、あるところで倒れます。境目は重心の真下が支持面の縁に来たときです。

重心から下ろした鉛直線が支持面の内側にあるうちは、重力のモーメントが物体を押し戻す向きにはたらきます。縁を越えると、同じモーメントが倒す向きに変わる。

だから背の低いものほど、底面の広いものほど倒れにくい。傾けたときに重心が動く距離が、縁までの余裕に届きにくくなるためです。

例：ドアの蝶番にかかる力

幅 $1.0\mathrm{m}$、重さ $400\mathrm{N}$ のドアが、$2.0\mathrm{m}$ 離れた $2$ つの蝶番でつるされています。

重心はドアの中央、つまり蝶番の線から $0.5\mathrm{m}$ の位置。この重さがドアを引き離す向きに回そうとします。

下の蝶番を基準にとってモーメントのつり合いを書きます。上の蝶番が水平に引く力を $F_h$ として、次の式が立つ。

$$F_h\times 2.0=400\times 0.5$$

$F_h=100\mathrm{N}$ です。上の蝶番は壁側へ引き、下の蝶番は同じ大きさで外へ押します。鉛直方向は $2$ つで $400\mathrm{N}$ を分け合うので $200\mathrm{N}$ ずつ。

古いドアの上側の蝶番からゆるむのは、この水平の引きが上に集まるためです。

基準点を変えて確かめる

答えが出たら、別の点を基準にしてモーメントを組み直します。同じ答えが出れば合っている。

はしごの例なら、今度は壁との接点を基準にとります。$F$ が消えて $N$ と $f$ が残る形になり、そこから $f=151\mathrm{N}$ が出る。最初に床を基準にして得た値と一致します。

$2$ 通りの基準で同じ値が出るのは、$1$ 本目のつり合い $\sum \vec{F}=\vec{0}$ が正しく立っている証拠でもあります。片方の式を書き落としていると、ここで食い違う。

力の大きさと向きに加えて、作用線の位置。この $3$ つ目を数え始めたところから剛体の力学が始まります。