ケプラーの 3 法則と楕円軌道から静止衛星まで

惑星がどう動くかを、ケプラーは $3$ つの法則にまとめました。観測の記録から規則を読みとった結果であり、力の概念はまだ使っていない。

万有引力からこの $3$ つを導くまでには、そこからおよそ $80$ 年かかった。

第一法則：軌道は楕円

惑星の軌道は楕円で、太陽は $2$ つの焦点の片方にあります。

円ではありません。中心に太陽があるのでもない。焦点にあるので、太陽に近づく時期と遠ざかる時期が生まれる。

それまでの天文学は、円と円の組み合わせで惑星の動きを説明しようとしていました。楕円を持ち出したところが、この法則の切れ味。

楕円のつぶれ方

楕円のつぶれ具合を表す量を離心率といいます。$0$ なら円、$1$ に近づくほど細長くなる。

太陽系の惑星は、どれも離心率が小さい。地球の軌道は円にかなり近く、図で見るとほとんど区別がつきません。

それでも焦点の位置はずれている。近い時期と遠い時期の差が、速さの変化を生む。

第二法則：面積速度が一定

太陽と惑星を結ぶ線分が、同じ時間に同じ面積を掃きます。この面積の増え方を面積速度という。

近いところでは線分が短いので、同じ面積を稼ぐには長い弧を進む必要がある。つまり速く動く。

遠いところでは線分が長く、少し進むだけで面積が稼げる。だからゆっくり動く。

第二法則は角運動量保存則である

面積速度が一定になる理由は、力の向きにあります。万有引力は太陽と惑星を結ぶ線に沿って働く。

中心を向く力は、太陽のまわりに回す力のはたらきを持ちません。回転させる能力が加わらないので、角運動量が変わらない。

面積速度は角運動量を $2m$ で割った量です。角運動量が保存すれば、面積速度も一定になる。

第二法則は楕円に固有の性質ではありません。中心を向く力であれば、どんな力でも成り立つ。

第三法則：周期の 2 乗と半長軸の 3 乗

公転周期の $2$ 乗は、軌道の半長軸の $3$ 乗に比例します。

$$T^2\propto a^3$$

$2$ つの惑星で比べれば、次の形になる。

$$\frac{T_1^2}{T_2^2}=\frac{a_1^3}{a_2^3}$$

遠い惑星ほど $1$ 周に時間がかかる。距離が $4$ 倍なら周期は $8$ 倍になる。

例：惑星の数値で確かめる

半長軸を天文単位、周期を日で表した値を並べます。

地球について $a^3/T^2$ を計算する。

$$\frac{1.00000^3}{365.2564^2}=7.496\times 10^{-6}$$

木星でも試す。

$$\frac{5.20336^3}{4332.8201^2}=7.50\times 10^{-6}$$

距離が $5$ 倍以上違っても、同じ値が出ます。水星から土星まで、どの惑星でも $7.50\times 10^{-6}$ 前後に収まる。

比例定数の正体

ニュートンの万有引力から導くと、比例定数の中身がわかります。

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{G(M+m)}{4{\pi }^2}\approx \frac{GM}{4{\pi }^2}$$

$M$ は中心の天体の質量です。惑星の質量 $m$ は太陽に比べて小さいので、ふつうは無視する。

定数が中心の天体だけで決まる点が要です。だからこそ、どの惑星でも同じ値になる。

太陽を回る天体と地球を回る衛星では、定数が違います。$M$ が変わるからです。

円軌道で導いてみる

楕円で導くと手間がかかるものの、円軌道なら数行で済む。万有引力が向心力になるとおく。

$$G\frac{Mm}{r^2}=m\frac{4{\pi }^{2}r}{T^2}$$

両辺の $m$ が消え、$r$ を整理すると第三法則の形が出る。

$$\frac{r^3}{T^2}=\frac{GM}{4{\pi }^2}$$

半長軸 $a$ を半径 $r$ に読み替えただけの式です。円は離心率 $0$ の楕円なので、特別な場合にあたる。

逆 2 乗だから成り立つ

第三法則が成り立つのは、引力が距離の $2$ 乗に反比例するからです。

指数が $2$ でなければ、$T$ と $a$ の関係は別の形になる。逆にいえば、観測された第三法則が逆 $2$ 乗の証拠になっている。

ニュートンはこの筋道をたどりました。ケプラーの法則を出発点に、力の形を逆算した。

例：月で定数を確かめる

地球のまわりでも同じ形が使えます。月の半長軸は $3.844\times 10^8\mathrm{m}$、周期は $27.322$ 日、秒に直すと $2.361\times 10^6\mathrm{s}$ になる。

$$\frac{a^3}{T^2}=\frac{(3.844\times 10^8{)}^3}{(2.361\times 10^6{)}^2}=1.02\times 10^{13}$$

地球の $GM$ は $3.986\times 10^{14}{\mathrm{m}}^3/{\mathrm{s}}^2$ です。これを $4{\pi }^2$ で割る。

$$\frac{3.986\times 10^{14}}{4{\pi }^2}=1.01\times 10^{13}$$

$1$ パーセント以内で一致します。同じ法則が、太陽系でも地球のまわりでも効いている。

例：静止衛星の高度を出す

地上から止まって見える衛星は、周期が地球の自転と同じ $1$ 日です。$T=8.64\times 10^4\mathrm{s}$ とする。

$$r={\left(\frac{GM{T}^2}{4{\pi }^2}\right)}^{1/3}=4.2\times 10^7\mathrm{m}$$

これは地球の中心からの距離です。地球の半径 $6.4\times 10^6\mathrm{m}$ を引くと、高度が出る。

$$4.2\times 10^7-6.4\times 10^6=3.6\times 10^7\mathrm{m}$$

およそ $3.6$ 万キロメートル。この高さでなければ、地上から止まって見えません。

法則が厳密には成り立たない場面

惑星どうしも引き合っているので、軌道はわずかにずれる。木星の影響で土星の動きが変わることが知られている。

中心の天体も動きます。厳密には、$2$ 天体が共通の重心のまわりを回る。$M+m$ が式に出てくる理由もそこにある。

一般相対性理論による補正もかかる。水星の近日点がゆっくり移動する現象が、その代表例になります。