なぜ動き出す瞬間だけ重い？静止摩擦と動摩擦のはたらき

触れ合った $2$ つの面が滑ろうとするとき、その動きを妨げる向きに力が働きます。これが摩擦力で、滑る前と滑ったあとで性質が変わる。

止まっている間に働くものを静止摩擦力、滑っている間に働くものを動摩擦力といいます。

静止摩擦力は必要なだけ出る

床に置いた箱を $5\mathrm{N}$ で押しても動かないとき、摩擦力も $5\mathrm{N}$ です。$10\mathrm{N}$ で押して動かなければ、摩擦力は $10\mathrm{N}$ になっている。

静止摩擦力には決まった値がありません。外から加えた力とちょうど同じ大きさで、向きだけが逆になる。

つり合いを保つために、必要な分だけ出てくる力。この点が、大きさの決まっている重力などと違う。

最大静止摩擦力

いくらでも大きくなるわけではありません。ある値を超えると物体は動き出す。

その限界が最大静止摩擦力で、垂直抗力に比例します。

$$F_{\max }={\mu }_{0}N$$

${\mu }_0$ を静止摩擦係数といい、面の組み合わせで決まる。単位を持たない数です。

押しつける力が強いほど動かしにくくなる。重い物体が動かしにくい理由も、垂直抗力の大きさにある。

動摩擦力は一定

いったん滑り出すと、摩擦力は加えた力によらなくなる。

$$F=\mu N$$

$\mu$ が動摩擦係数です。同じ面の組み合わせなら、$\mu$ は ${\mu }_0$ より小さい。

グラフの折れ曲がりがそこに現れる。動き出した瞬間に摩擦力が落ちるので、急に軽くなったように感じる。

重い家具を押すとき、動き出す一瞬だけ力が要る理由もそこにある。

例：動き出すまでと動き出してから

$5.0\mathrm{kg}$ の箱を水平な床で引きます。${\mu }_0=0.50$、$\mu =0.30$ とする。

垂直抗力は $N=5.0\times 9.8=49\mathrm{N}$ です。

$$F_{\max }=0.50\times 49=24.5\mathrm{N}$$

$20\mathrm{N}$ で引いても動きません。摩擦力も $20\mathrm{N}$ になり、つり合ったまま止まっている。

$25\mathrm{N}$ で引くと限界を超えて動き出す。このとき摩擦力は動摩擦の値へ落ちる。

$$f=0.30\times 49=14.7\mathrm{N}$$

$$a=\frac{25-14.7}{5.0}=2.1m/{\mathrm{s}}^2$$

接触面積によらない

同じ箱を、広い面で置いても細い面で置いても、摩擦力は変わりません。直感には反する結果。

面積が広がれば、押しつける力が同じでも $1\mathrm{c}{\mathrm{m}}^2$ あたりの圧力は下がる。$2$ つの効果が打ち消し合うので、全体としては変わらない。

速さによらない

動摩擦力は、滑る速さが変わってもほぼ一定です。速く滑らせても遅く滑らせても、同じ大きさで妨げる。

空気の抵抗とは対照的な性質。空気の抵抗は速さとともに増えていく。

斜面で滑り出す角度

斜面の傾きを少しずつ大きくしていくと、ある角度で物体が滑り出します。この角度から係数が測れる。

滑り出す直前、斜面方向のつり合いは最大静止摩擦力とのつり合いです。

$$mg\sin \theta ={\mu }_{0}mg\cos \theta$$

両辺の $mg$ が消えて、簡単な関係が残る。

$$\tan \theta ={\mu }_0$$

質量が式から消える。重い物体でも軽い物体でも、滑り出す角度は同じになる。

例：滑り出す角度から係数を出す

$27$ 度まで傾けたところで物体が滑り出しました。

$${\mu }_0=\tan 27^{\circ }=0.51$$

静止摩擦係数はおよそ $0.5$ です。板と物体の材質だけで決まる値なので、大きさや重さを変えても同じ角度で滑り出す。

例：斜面を滑る物体の加速度

傾き $30$ 度の斜面を、$4.0\mathrm{kg}$ の物体が滑ります。$\mu =0.30$ とする。

垂直抗力は斜面に垂直な成分とつり合う。

$$N=mg\cos 30^{\circ }=39.2\times 0.866=34\mathrm{N}$$

滑らせる力から動摩擦力を引けば、合力が出る。

$$ma=mg\sin 30^{\circ }-\mu N=19.6-0.30\times 34=9.4\mathrm{N}$$

$$a=\frac{9.4}{4.0}=2.4m/{\mathrm{s}}^2$$

摩擦がなければ $4.9m/{\mathrm{s}}^2$ でした。摩擦が半分ほど食べている。

摩擦は非保存力

重力や弾性力と違い、摩擦力がする仕事は経路で変わります。遠回りすれば、そのぶん多く奪われる。

位置エネルギーを定められません。出発点と到着点が同じでも、失うエネルギーは道のりしだいで変わる。

奪われたエネルギーは熱に変わる。手をこすると温かくなるのがその現れ。

例：摩擦で止まるまでの距離

$2.0\mathrm{kg}$ の物体が $6.0m/s$ で滑り出し、$\mu =0.25$ の床で止まります。

摩擦力は $f=0.25\times 2.0\times 9.8=4.9\mathrm{N}$ です。

運動エネルギーをすべて摩擦が食べるまで進む。

$$\frac{1}{2}\times 2.0\times 6.0^2=4.9\times d$$

$$d=\frac{36}{4.9}=7.3\mathrm{m}$$

速さを $2$ 倍にすると距離は $4$ 倍になります。運動エネルギーが速さの $2$ 乗で効くため。

この模型はかなり粗い

$f=\mu N$ という式は、実用上は役に立つものの、摩擦の正確な記述ではありません^[1]。

面をなめらかにするほど摩擦が減るとは限らない。磨いた金属どうしは、かえって強くくっつくことがある^[1]。磨いたガラス板どうしのほうが、すりガラスより滑りにくいという例もあります^[1]。

係数も一定ではありません。温度、湿度、表面の汚れ、押しつける時間の長さでも変わる。

高校物理では $\mu$ を定数として扱う。実際の設計では、余裕を見た値を使います。

摩擦がある世界とない世界

摩擦は減らしたい相手であると同時に、なければ何も始まらない力でもある。

靴底の溝も、タイヤのゴムも、摩擦を稼ぐための工夫です。減らす工夫と増やす工夫が、どちらも同じくらい使われている。

参考