荷物を持って歩いても仕事はゼロ：物理でいう仕事と仕事率

物体に力を加えて動かしたとき、その力がした仕事を次の式で定めます。

$$W=Fs\cos \theta$$

$F$ は力の大きさ、$s$ は動いた距離、$\theta$ は力と動く向きのなす角です。単位はジュール J を使う。

$1\mathrm{N}$ の力で、その向きに $1\mathrm{m}$ 動かせば $1\mathrm{J}$。$1\mathrm{J}=1\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$ という関係になる。

効くのは動く向きの成分だけ

力が動く向きとずれているとき、仕事に効くのは動く向きの成分です。$F\cos \theta$ がその成分になる。

垂直な成分は、どれだけ大きくても仕事をしません。物体をその向きに動かしていないからです。

荷物を斜め上に引いて水平に動かす場面を考えると、上向きの成分は荷物を持ち上げていない。水平の成分だけが距離を稼ぐ。

例：斜めに引いて動かす

$50\mathrm{N}$ の力で、水平から $60$ 度の向きに荷物を引き、水平に $4.0\mathrm{m}$ 動かします。

$$W=50\times 4.0\times \cos 60^{\circ }=100\mathrm{J}$$

同じ $50\mathrm{N}$ を水平に加えれば $200\mathrm{J}$ になる。角度がついたぶん、半分に落ちる。

角度を $0$ に近づけるほど仕事は増える。ロープで引くとき、なるべく水平に引くほうが効率がよい。

仕事が 0 になる場合

$3$ つの場合があります。力が $0$、距離が $0$、そして力と動く向きが直角のとき。

$\cos 90^{\circ }=0$ なので、直角では成分がまったく残りません。

重い荷物を持ったまま水平に歩いても、支える力は仕事をしていない。体は疲れるものの、物理でいう仕事は $0$ です。

壁を全力で押しても、壁が動かなければ仕事は $0$。力を出すことと仕事をすることは別だという例になる。

負の仕事

力が動く向きと逆を向いていると、$\cos \theta$ が負になります。仕事も負の値をとる。

負の仕事とは、その力が物体からエネルギーを奪っているという意味です。ブレーキも摩擦も空気の抵抗も、負の仕事をしている。

$\theta$ が $90$ 度を超えると負に転じる。真後ろ向きの $180$ 度で、大きさが最大になる。

例：ブレーキがする仕事

$200\mathrm{N}$ の摩擦力が働きながら $15\mathrm{m}$ 進んで止まりました。

$$W=200\times 15\times \cos 180^{\circ }=-3000\mathrm{J}$$

$3000\mathrm{J}$ が運動エネルギーから奪われたことになる。その分は熱に変わっている。

符号を落として $3000\mathrm{J}$ とすると、エネルギーが増えた計算になってしまう。向きの扱いがそのまま符号に出る。

仕事の合計を出す

複数の力が働くときは、それぞれの仕事を足します。正の仕事と負の仕事が混ざれば、打ち消し合う。

合計の仕事は、合力がした仕事と一致する。先に合力を出してから計算しても、力ごとに計算して足しても同じ値になる。

仕事とエネルギーの関係

合計の仕事は、運動エネルギーの変化に等しくなります。

$$W=\frac{1}{2}m{v}^{\prime 2}-\frac{1}{2}m{v}^2$$

経路の形も、かかった時間も、この式には出てきません。始めと終わりの速さだけで決まる。

力を積分せずに速さが出せる点が便利です。運動方程式を解くより早く答えに届く場面が多い。

例：仕事から速さを出す

静止していた $2.0\mathrm{kg}$ の物体に、合計 $36\mathrm{J}$ の仕事をしました。

$$\frac{1}{2}\times 2.0\times v^2=36$$

$$v=\sqrt{36}=6.0m/s$$

同じ仕事を $8.0\mathrm{kg}$ の物体にすると $3.0m/s$ にしかなりません。速さは質量の平方根に反比例する。

重力がする仕事は高さで決まる

重力がする仕事は、通った道のりによらず高さの差だけで決まります。

$$W=mgh$$

まっすぐ落ちても、斜面を回り道しても、同じ高さぶん下がれば同じ仕事です。水平に動いた区間では重力が仕事をしないため、勘定に入らない。

こうした性質を持つ力を保存力といいます。摩擦は逆で、道のりが長いほど奪う量が増える。

例：持ち上げる仕事

$10\mathrm{kg}$ の荷物を $2.0\mathrm{m}$ 持ち上げます。一定の速さで持ち上げるなら、加える力は重力とつり合う $98\mathrm{N}$ です。

$$W=98\times 2.0=196\mathrm{J}$$

このとき重力は $-196\mathrm{J}$ の仕事をしている。合計は $0$ で、運動エネルギーは変わりません。

加えた仕事は位置エネルギーとして蓄えられた形になる。手を離せば、落ちながら運動エネルギーへ戻っていく。

仕事率

同じ仕事でも、短い時間で終えるほど能力が高いといえます。単位時間あたりの仕事を仕事率という。

$$P=\frac{W}{t}$$

単位はワット W です。$1$ 秒あたり $1\mathrm{J}$ の仕事をする能力が $1\mathrm{W}$ にあたる。

仕事の総量が同じなら、仕事率が高いほど早く終わる。エンジンやモーターの性能をワットで表す理由もそこにある。

例：仕事率を出す

さきほどの $196\mathrm{J}$ を $4.0\mathrm{s}$ で持ち上げた場合を計算する。

$$P=\frac{196}{4.0}=49\mathrm{W}$$

$2.0\mathrm{s}$ で持ち上げれば $98\mathrm{W}$ になる。仕事は同じでも、仕事率は $2$ 倍。

仕事率を力と速度で書く

一定の速さで動かしている間は、別の形が使えます。$W=Fs$ と $s=vt$ を組み合わせる。

$$P=\frac{Fvt}{t}=Fv$$

力と速度の積が仕事率になる。同じ出力なら、速く動かすほど出せる力は小さくなる。

車が高速で加速しにくくなる事情もここにある。出力が一定なら、速さが増すほど余る力が減っていきます。

例：一定の速さで引く

$300\mathrm{N}$ の抵抗を受けながら、$2.0m/s$ で一定の速さを保って引きます。

$$P=300\times 2.0=600\mathrm{W}$$

速さを $4.0m/s$ に上げると $1200\mathrm{W}$ が要る。抵抗が同じでも、必要な出力は速さに比例して増える。

距離を稼がなければ、どれだけ力を出しても仕事は $0$ です。この $3$ 段を意識すると、仕事が $0$ の場面を見落とさなくなる。