斜方投射 - 最高点の高さ・水平到達距離・45 度で最大になる条件

斜めに投げ出された物体の運動は、水平方向と鉛直方向に分けて扱います。この $2$ つは互いに影響しない。

水平方向には力が働かないので、速度は変わりません。鉛直方向には重力だけが働くので、自由落下と同じ加速度になる。

分けて考えてよいという性質が、この問題を解けるものにしている。

初速度を成分に分ける

初速度の大きさを $v_0$、水平からの角を $\theta$ とすると、成分は次のようになります。

$$\begin{array}{rl}{v}_{0x}& =v_0\cos \theta \\ v_{0y}& =v_0\sin \theta \end{array}$$

角が大きいほど鉛直の成分が増え、水平の成分は減る。真上に投げれば水平成分は $0$ になる。

位置を時間で表す

水平は等速、鉛直は等加速度なので、位置の式がそのまま書けます。

$$\begin{array}{rl}x& =v_0\cos \theta \cdot t\\ y& =v_0\sin \theta \cdot t-\frac{1}{2}g{t}^2\end{array}$$

速度のほうも同じように分かれる。

$$\begin{array}{rl}{v}_x& =v_0\cos \theta \\ v_y& =v_0\sin \theta -gt\end{array}$$

$v_x$ に $t$ が入っていません。水平の速さは、投げてから落ちるまで変わらない。

例：軌道上の点を出す

$20m/s$ で $30$ 度の向きに投げた場合を計算する。$\cos 30^{\circ }=0.866$、$\sin 30^{\circ }=0.5$ を使う。

$$v_{0x}=17.3m/s,v_{0y}=10.0m/s$$

$1.0$ 秒後の位置を出す。

$$x=17.3\mathrm{m},y=10.0-4.9=5.1\mathrm{m}$$

$2.0$ 秒後は $x=34.6\mathrm{m}$、$y=20.0-19.6=0.4\mathrm{m}$ です。もうすぐ地面に届く。

軌道は放物線になる

$x$ の式を $t$ について解き、$y$ の式に代入します。

$$t=\frac{x}{v_0\cos \theta }$$

$$y=x\tan \theta -\frac{g}{2v_0^2{\cos }^2\theta }{x}^2$$

$x$ の $2$ 次式です。放物線を描くという結論が、ここから出てくる。

$2$ 次の項の係数が負なので、上に凸の形になる。$v_0$ が大きいほど係数の絶対値が小さくなり、放物線はゆるやかに広がる。

最高点にかかる時間

最高点では鉛直の速度が $0$ になります。$v_y=0$ を解けばよい。

$$t_1=\frac{v_0\sin \theta }{g}$$

このとき水平の速度は残ったままです。最高点でも物体は動いており、速度が $0$ になるわけではない。

最高点の高さ

$t_1$ を $y$ の式に入れると、最高点の高さが出ます。

$$H=\frac{v_0^2{\sin }^2\theta }{2g}$$

角が $90$ 度に近いほど高く上がる。真上に投げたとき $\sin \theta =1$ で最大になる。

例：最高点を出す

さきほどの $20m/s$、$30$ 度の場合を計算する。

$$t_1=\frac{10.0}{9.8}=1.0\mathrm{s}$$

$$H=\frac{10.0^2}{2\times 9.8}=5.1\mathrm{m}$$

鉛直成分だけを $10.0m/s$ で投げ上げた場合と同じ高さです。水平成分は高さに効かない。

滞空時間と水平到達距離

投げた高さへ戻るまでの時間は、最高点までの $2$ 倍です。上りと下りが対称になる。

$$t_2=\frac{2v_0\sin \theta }{g}$$

この時間に水平方向が進んだ距離が、水平到達距離になります。

$$R=v_0\cos \theta \cdot t_2=\frac{v_0^2\sin 2\theta }{g}$$

$2\theta$ が出てくるところが要です。$\sin \theta \cos \theta$ をまとめた形になっている。

例：到達距離を出す

$20m/s$、$30$ 度なら $\sin 60^{\circ }=0.866$ を使う。

$$R=\frac{400\times 0.866}{9.8}=35\mathrm{m}$$

$45$ 度で投げれば $\sin 90^{\circ }=1$ になります。

$$R=\frac{400}{9.8}=41\mathrm{m}$$

角度を変えるだけで $6\mathrm{m}$ 伸びる。初速度を変えなくても届く距離は変わります。

45 度で最大になる

$R$ の式で変えられるのは $\sin 2\theta$ だけです。$\sin$ が最大になるのは $2\theta =90^{\circ }$、つまり $\theta =45^{\circ }$ のとき。

角度を上げすぎると、高く上がるかわりに水平成分が減る。下げすぎると、水平成分は稼げても滞空時間が足りない。

そのつり合いがちょうどとれる角が $45$ 度になる。空気の抵抗を無視した場合の話です。

同じ距離を与える 2 つの角

$\sin 2\theta$ は $2\theta$ と $180^{\circ }-2\theta$ で同じ値をとります。つまり $\theta$ と $90^{\circ }-\theta$ が同じ距離を与える。

$30$ 度と $60$ 度は、どちらも $35\mathrm{m}$ です。違うのは軌道の形と滞空時間のほう。

落ちてくるときの速さ

投げた高さへ戻ってきたとき、速さは初速度と同じ $v_0$ になります。鉛直成分の大きさが対称に戻るため。

向きだけが変わっている。上向き $\theta$ で投げれば、下向き $\theta$ で戻ってくる。

高さのある場所から投げる

崖の上から投げる場合は、$y$ の原点を投げた位置にとります。地面は $y=-h$ になる。

上りと下りの対称性は崩れる。落ちるほうが長くなるので、滞空時間は $2t_1$ より大きくなる。

例：崖から水平に投げる

高さ $20\mathrm{m}$ の崖から、水平に $15m/s$ で投げます。$\theta =0$ なので鉛直の初速度は $0$ です。

落ちる時間は、自由落下と同じ式で出る。

$$t=\sqrt{\frac{2\times 20}{9.8}}=2.0\mathrm{s}$$

$$x=15\times 2.0=30\mathrm{m}$$

崖から $30\mathrm{m}$ 離れた地点に落ちます。同じ高さから静かに落とした物体と、着地の時刻はぴったり同じになる。

この順で解けば、たいていの問題は片づきます。時間が $2$ つの方向をつなぐ役をしている。

空気の抵抗があるとどうなるか

実際の物体では、軌道は放物線からずれます。水平の速度も落ちていくからです。

到達距離は短くなり、軌道は左右対称でなくなる。落ちる側のほうが急になります。

もっとも遠くへ届く角度も $45$ 度より小さくなる。野球やゴルフの打ち出し角が $45$ 度より低い理由も、この事情にある。